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    一道“恒成立問題”模擬題的解法探析

    2022-07-12 02:52:54周聰寅云南師范大學數(shù)學學院云南昆明650500
    數(shù)學學習與研究 2022年11期
    關(guān)鍵詞:易知數(shù)形單調(diào)

    ◎周聰寅(云南師范大學數(shù)學學院,云南 昆明 650500)

    1 問題呈現(xiàn)

    (1)若x=1為函數(shù)f(x)的極值點,求a的值.

    (2)若|f(x)|≤6e在x∈[0,2]上恒成立,求a的取值范圍.

    通過讀題,第二小題中“|f(x)|≤6e在x∈[0,2]上恒成立”為恒成立問題中非常經(jīng)典的表述,因此第二小題是一道非常經(jīng)典的恒成立問題.本文將從四個不同的角度破解該恒成立問題.

    2 思路分析

    由于題中的不等式中含有絕對值,且含絕對值的問題較為棘手,一般首先考慮去絕對值.

    解法一:最值分析法

    ∴g′(x)=(3ex-2a)(6xex+3ex-2a).

    首先考慮同向性:

    (1)當a≤0時,

    由于x∈[0,2],易知g′(x)=(3ex-2a)(6xex+3ex-2a)>0,

    ∴g(x)在[0,2]上單調(diào)遞增,

    gmax(x)=g(2)=2(3e2-2a)2,

    ∴2(3e2-2a)2≤36e2,

    ∵a≤0,∴此時a∈?.

    (2)當a>0時,

    令h(x)=6xex+3ex-2a,易知h(x)在[0,2]上單調(diào)遞增,

    ∴3-2a=h(0)≤h(x)≤h(2)=15e2-2a.

    h(x)≥0,3ex-2a≥3-2a≥0,

    此時gmax(x)=g(2)≤36e2,

    h(x)≤0,3e2-2a<3e2-15e2=-12e2<0,

    ∴g′(x)≥0,此時gmax(x)=g(2)≤36e2,

    ?x0∈[0,2],使得h(x0)=6x0ex0+3ex0-2a=0,

    則有3ex-2a≤0,∴g(x)在[0,x0)上單調(diào)遞增,在(x0,2]上單調(diào)遞減,

    ∴gmax(x)=g(x0)=x0(3ex0-2a)2=x0(-6x0ex0)2≤36e2(利用h(x0)=0替換),

    解得:0≤x0≤1.

    ∵3ex1-2a=0,6x0ex0+3ex0-2a=0,

    兩式相減得:3ex1-3ex0=6x0ex0>0,

    點評:最值分析法是恒成立問題的常用解法之一,常需要構(gòu)造差值函數(shù),例如:對于含參不等式af(x)≤g(x),需要構(gòu)造F(x)=af(x)-g(x),只要令Fmax(x)≤0即可求得a的取值范圍,這種方法往往伴隨著分類討論出現(xiàn),學生容易漏解.另外,從以上解題過程來看,該題利用該方法時運算量較大,對學生的邏輯推理能力水平要求較高.

    解法二:分離參數(shù)法

    根據(jù)解法一可以發(fā)現(xiàn),如果用不等式兩邊平方來去絕對值,不容易將參數(shù)a分離,因此考慮利用解絕對值不等式的方法去絕對值.

    ∵|f(x)|≤6e,

    若x=0,則不等式恒成立;若x≠0,則分離參數(shù)a可得:

    易知g′(x)在(0,2]上單調(diào)遞增,且g′(1)=0,

    ∴g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,在(1,2]上單調(diào)遞增,

    易知h(x)在(0,2]上單調(diào)遞增,

    點評:顯然,該題利用分離參數(shù)法更加簡單,利用分離參數(shù)法解決恒成立問題流程單一,思路簡單,學生較容易理解,但部分題目參數(shù)不容易分離,因此分離參數(shù)法對于這種題適用范圍不大.

    解法三:數(shù)形結(jié)合法

    圖1

    點評:一般地,若f(x)≤g(x)恒成立,從圖形上理解即為f(x)的圖像恒在g(x)的下方,利用數(shù)形結(jié)合法解恒成立問題較之前的方法來說不再抽象,更加直觀.但缺點也更加明顯,其過于依賴圖像的精確性,若圖像不夠精確便容易解出錯誤的答案.此外,數(shù)形結(jié)合適用于每個函數(shù)圖像都容易畫出的情形,所以要盡可能地將不等式的兩邊化為容易畫出圖像的函數(shù).

    解法四:特殊點效應(yīng),必要性探路

    ∵|f(x)|≤6e在x∈[0,2]上恒成立,

    ∴|f(1)|≤6e,|f(0)|≤6e,|f(2)|≤6e也成立,

    ∴|g(x)|≤6e恒成立,同理可得|h(x)|≤6e,

    3 解后反思

    以上就是解決恒成立問題的四種常用方法,在實際考試中,我們需要根據(jù)解題經(jīng)驗選取合適的解題方法.就本題而言,方法一顯然過于煩瑣,如果我們一開始就從解法二、三、四的角度思考該問題,便能感到“山重水復(fù)疑無路,柳暗花明又一村”.

    恒成立問題作為高考中的常見題型,常常以不同的形式與載體出現(xiàn),但萬變不離其宗,抓住恒成立問題的本質(zhì),歸納常用方法,定能勢如破竹地解決恒成立問題.

    本文以恒成立問題為例,希望說明:解百題不如透解一題.在平時的教與學中,教師如果能夠抓住典型例題,一題多解,多題歸一,引導(dǎo)學生從不同的角度思考問題,往往能夠發(fā)展學生的創(chuàng)造性思維,減輕學生的學習負擔,提高學生的學習效率,培育學生的核心素養(yǎng).

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