一種高頻率分辨率的諧波、間諧波分析模型

李文番 張國鋼 鐘浩杰 陳沐傈 耿英三

一種高頻率分辨率的諧波、間諧波分析模型

李文番 張國鋼 鐘浩杰 陳沐傈 耿英三

（電力設備電氣絕緣國家重點實驗室（西安交通大學） 西安 710049）

非線性負載、電力電子設備等給電力系統(tǒng)引入了大量的諧波、間諧波，對電力系統(tǒng)的安全穩(wěn)定運行造成威脅。離散傅里葉變換（DFT）技術頻率分辨率較低，當間諧波與基波或者諧波之間的頻率間隔較小時，無法對鄰近頻率分量進行準確分辨；矩陣束法等頻率分辨率較高的算法通常運算量較大，只能進行諧波、間諧波的離線分析。該文結合全相位傅里葉變換（ApFFT）和泰勒傅里葉多頻模型，提出一種頻率分辨率高、計算量小的諧波、間諧波分析模型，其頻率分辨率遠大于傳統(tǒng)DFT技術，運算速度約是矩陣束法的39倍。該文對該模型的噪聲魯棒性、頻率分辨率、運算速度進行了仿真分析和實驗驗證。仿真和實驗結果表明，所提出的模型具有良好的噪聲魯棒性，頻率分辨率可以達到12Hz，進行諧波、間諧波分析時的頻率誤差小于0.01Hz，幅值誤差小于5%，可以實現(xiàn)諧波、間諧波的快速檢測。

間諧波分析 泰勒-傅里葉 頻率分辨率 噪聲魯棒性

0 引言

諧波、間諧波檢測對電能質(zhì)量評估與治理、電能計量等具有重要的意義[1-4]。諧波頻率為基波頻率的整數(shù)倍，其頻率分布比較固定，相對來說比較容易檢測，檢測方法豐富多樣[5-8]；間諧波頻率分布具有不確定性，且與其他分量之間的頻率間隔較小，較難檢測。目前，諧波、間諧波分析方法主要有離散傅里葉變換（Discrete Fourier Transform, DFT）、希爾伯特-黃變換（Hilbert-Huang Transform, HHT）、矩陣束法（Matrix Pencil Method, MPM）和泰勒傅里葉變換（Taylor Fourier Transform, TFT）等。

DFT在非同步采樣時存在嚴重的頻譜泄漏和柵欄效應，使得分析結果誤差較大，有學者提出了同步化采樣[9]等技術，在一定程度上降低了頻譜泄漏和柵欄效應引入的誤差。卿柏元等[10]提出了頻譜泄漏抑制性能優(yōu)良的窗函數(shù)，實現(xiàn)了改進的DFT譜分析方法，進一步提高了DFT分析的準確度。He Wen等[11-13]提出多種針對DFT的插值校正方法，即使在非整周期截斷和非同步采樣條件下，也能夠?qū)Ψ怠㈩l率和初相位的分析結果進行插值校正，得到更為精確的分析結果。王兆華等[14]提出了具有相位不變特性的全相位快速傅里葉變換（All phase Fast Fourier Transformation, ApFFT），并對其插值校正方法進行了研究，實現(xiàn)了具有更強頻譜泄漏抑制能力的ApFFT插值校正技術。此外，學者們還提出了很多參數(shù)化模型及其他動態(tài)信號分析方法。F. F. Costa等將濾波算法加入到經(jīng)典Prony算法中，提出一種改進的諧波、間諧波分析算法[15]，增強了Prony算法分析精度和抗噪性能，但是運算量也相應增加。K. Sheshyekani等[16]和L. Bernard等[17]基于矩陣束法提出了各自的諧波、間諧波分析方法，MPM和Prony模型求解精度高，但運算量較大，難以實現(xiàn)快速分析。A. Bracale等通過對多重信號分類（Multiple Signal Classification, MUSIC）[18]、旋轉不變技術信號參數(shù)估計（Estimation of Signal Parameters via Rotational Invariance Techniques, ESPRIT）[19]等研究和改進，提出了相應的諧波、間諧波分析算法，該類型分析算法由于計算量巨大，多用于離線分析計算場合。除了上面提到的方法外，還有如稀疏分解法[20]和改進TFT法[21]等，TFT技術具有良好的動態(tài)信號分析能力，但使用TFT進行間諧波分析需要預先知道各分量的頻率信息。M. Bertocco等對TFT技術進行擴展，結合壓縮感知（Compressed Sensing, CS）技術提出考慮間諧波分量的泰勒傅里葉多頻（Taylor Fourier Multifrequency, TFM）模型，實現(xiàn)了一種能夠用于同步相量測量的CSTFM模型，并對模型的運算速度在一定程度上進行了優(yōu)化，但頻率分辨率依然較低[22-23]。

本文提出一種頻率分辨率高、計算量小的諧波、間諧波分析模型ApTFM，并對ApTFM模型的噪聲魯棒性、頻率分辨能力進行了仿真分析和實驗驗證。

1 ApTFM模型介紹

1.1 ApFFT插值校正技術

ApFFT具有相位不變性。以單一頻率信號對ApFFT插值校正過程進行介紹，令輸入信號()為單一頻率信號，即

進而得到頻率校正公式為

幅值校正公式為

本文采用的窗函數(shù)為漢寧窗，其表達式為

由于ApFFT具有相位不變性，因此不需要進行相位校正。上述推導采用單一頻率信號作為輸入信號，根據(jù)信號的疊加性可知，上述推導及結論同樣適用于包含復雜諧波、間諧波的輸入信號。

1.2 TFM模型

實際電力系統(tǒng)中的電信號()由系統(tǒng)基波、諧波和間諧波構成，其離散化數(shù)學模型可以表示為

輸入信號()的TFM模型可以表示為[23]

由最小方差法得到列向量為

進一步可以求得各分量的頻率和頻率變化率為

1.3 ApTFM模型

TFM模型用于間諧波分析時具有良好的動態(tài)性能，但需要預先求得所有分量的頻率估計值。ApFFT相對于傳統(tǒng)FFT分析精度更高，因此本文采用ApFFT求取各頻率分量。分析時先采用ApFFT求出諧波分量，將其從原信號中減去，再進行間諧波頻率計算，以降低各分量之間的相互干擾，提高頻率分辨率。最后根據(jù)ApFFT得到的各分量頻率，結合TFM模型求解各分量精確參數(shù)。本文所提出的ApTFM模型實現(xiàn)流程如圖1所示。

圖1 ApTFM模型實現(xiàn)流程

詳細實現(xiàn)流程可以分為以下五步：

（1）利用加窗、插值校正ApFFT對采樣序列()進行分析，得到基波和諧波的幅值、頻率f和初相位參數(shù)，并根據(jù)計算出的參數(shù)值重構出基波、諧波分量。

（2）從原數(shù)據(jù)()中減去基波、諧波分量，得到剩余分量()。

（3）利用加窗、插值校正ApFFT對剩余分量()進行分析，得到間諧波頻率f。

（4）根據(jù)步驟（1）、步驟（3）計算得到的基波、諧波頻率0、f和間諧波頻率f生成相應的TFM系數(shù)矩陣。

（5）通過TFM模型得到基波、諧波、間諧波的參數(shù)值。

取采樣頻率為10kHz，=20，=2 001，=2，窗口長度為10個基波周期0.2s。ApTFM模型總共需要194 159 373次實數(shù)乘法、192 045 544次實數(shù)加法運算，總計需要386 204 917次浮點運算。以TI公司的TMS320C6712D芯片為例，它的時鐘頻率為150MHz，運算速度達到900MFLOPS。如果采用該系列處理器進行計算，總計算時間約0.43s。為了進一步對比ApTFM和MPM模型的運算速度，采用ApTFM和MPM模型對長度為20s的采樣數(shù)據(jù)進行分析。使用Intel(R) Core(TM) i5-10400F CPU @ 2.9GHz雙核處理器，在64位Matlab R2017a上進行測試，測得ApTFM、MPM模型每個窗口的平均計算時間分別為17.5ms、687.5ms，ApTFM模型的運算速度大約為MPM的39倍。

2 綜合性能仿真分析

仿真中，在每種實驗條件下進行1 000次仿真，每次仿真中各分量的初相位取0～360°之間的隨機數(shù)，用1 000次仿真得到的平均相對誤差（MRE）代表幅值誤差，平均絕對誤差（MAE）代表頻率、相位誤差。ApTFM模型進行諧波、間諧波分析時，窗口長度設置為10個基波周期，采樣頻率設置為10kHz，待分析頻率分量設置為20個。

2.1 噪聲魯棒性分析

本文進行噪聲魯棒性測試的信號中包含了諧波和間諧波，其數(shù)學表達式為

測試時加入白噪聲，使信號信噪比（Signal Noise Ratio, SNR）從40dB以10dB為步長逐步增加到100dB。ApTFM模型在不同信噪比下對基波、諧波和間諧波的分析誤差如圖2所示。圖例中，“50Hz”、“70Hz”、“150Hz”分別表示基波、間諧波和諧波的誤差。

圖2 不同信噪比下各分量幅值、頻率、初相位分析誤差

研究結果表明，SNR=60dB時，ApTFM模型得到各分量的幅值、頻率、初相位誤差分別小于0.01%、0.04Hz、0.56°，基波分量的幅值誤差、頻率誤差、初相位誤差分別小于0.01%、0.32mHz、0.005°。在電力系統(tǒng)精確測量中，通常采用16位甚至更高的數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)，其信噪比可以達到90dB以上，即便采用12位采集系統(tǒng)，其信噪比也能達到70dB。ApTFM模型在SNR=60dB時，測量結果已經(jīng)能夠滿足諧波、間諧波分析需求。

2.2 頻率分辨能力分析

在諧波、間諧波檢測中，間諧波的頻率可能會比較接近基波或者諧波，給諧波、間諧波的檢測帶來困難。下面對ApTFM、IpDFT和MPM的頻率分辨率進行對比，研究中采用的信號表達式為

保持基波頻率不變，當間諧波頻率從65Hz以2Hz為步長減小到55Hz時，基波與間諧波之間的頻率間隔從15Hz減小到5Hz。研究結果表明，IpDFT在間諧波與基波之間的頻率間隔為13Hz時，基波分析的幅值、頻率、初相位誤差分別為0.77%、0.25Hz、9.09°，頻率間隔減小后基波分析誤差進一步增大；間諧波測量結果基本失去意義，仿真結果不再給出。MPM和ApTFM模型得到的仿真結果如圖3所示，圖中MPM-0、ApTFM-0和MPM-f、ApTFM-f分別表示兩種模型對基波、間諧波進行分析的結果。ApTFM模型在間諧波與基波之間的頻率間隔為9Hz時，基波分析的幅值、頻率、初相位誤差分別0.00%、0.00Hz、0.02°，間諧波分析對應的幅值、頻率、初相位誤差分別0.04%、0.06Hz、0.62°。頻率間隔為11Hz時，基波分析的幅值、頻率、初相位誤差在保留兩位小數(shù)時接近于0；間諧波的幅值、頻率、初相位誤差分別0.0%、0.01Hz、0.23°。MPM模型的分析誤差最小，ApTFM分析精度接近于MPM模型，但是運算量更小，兩種算法各有優(yōu)劣。

圖3 間諧波靠近基波時MPM和ApTFM的分析誤差

調(diào)整間諧波與3次諧波之間的頻率間隔，使間諧波頻率從135Hz以2Hz為步長增大到145Hz，間諧波與三次諧波之間的頻率間隔從15Hz減小到5Hz。IpDFT在間諧波與基波之間的頻率間隔為13Hz時，3次諧波分析的幅值、頻率、初相位誤差分別為0.41%、3.97Hz、122.71°，間諧波分析的幅值、頻率、初相位誤差分別為0.41%、7.03Hz、116.9°，頻率間隔減小后基波分析誤差進一步增大，分析結果失去實際意義，仿真結果不再給出。MPM和ApTFM模型得到的仿真結果如圖4所示，圖中MPM-3、ApTFM-3和MPM-f、ApTFM-i分別表示三次諧波、間諧波的分析結果。

圖4 間諧波靠近3次諧波時MPM和ApTFM的分析誤差

對于ApTFM模型，當間諧波與3次諧波之間的頻率間隔為9Hz時，對間諧波和3次諧波的分析誤差較大，圖中不再給出。當頻率間隔為11Hz時，3次諧波分量的幅值、頻率、初相位誤差分別0.02%、0.02Hz、0.22°，間諧波分量的幅值、頻率、初相位誤差分別0.02%、0.07Hz、0.62°，此時ApTFM能夠較準確的提出各分量的參數(shù)。MPM模型的分析誤差最小，當頻率間隔大于11Hz時，ApTFM分析精度接近于MPM模型，說明ApTFM模型可以分辨頻率間隔為11Hz的分量。

綜上所述，ApTFM模型頻率分辨率遠大于傳統(tǒng)IpDFT技術，達到11Hz；MPM模型頻率分辨率比ApTFM更高，但是運算量較大。相比之下，ApTFM模型運算量小、頻率分辨率尚可，具有自身的優(yōu)勢。

3 實驗驗證

為了分析ApTFM模型的諧波、間諧波檢測能力，本文搭建了相關的實驗平臺，實驗平臺如圖5所示。通過實驗平臺生成包含基波、諧波、間諧波的電流，通過電流傳感器測得諧波電流。實驗平臺主要包括1臺程控交流源、1臺信號發(fā)生器、1臺音頻功率放大器、1個耦合器、高精度寬帶電流傳感器、導線等。程控交流源的型號為安捷倫AC6804A，額定交流輸出功率為4 000V·A，最大穩(wěn)態(tài)輸出電流為40A，輸出頻率范圍為40～500Hz，在該實驗中用于產(chǎn)生基波、諧波電流。音頻功率放大器用來對信號發(fā)生器產(chǎn)生的特定頻率電壓信號進行功率放大，生成特定頻率的間諧波電流。耦合器的作用是利用變壓器原理，使二次繞組的輸出電流為兩個一次繞組電流的疊加，實現(xiàn)不同頻率電流的疊加。通過16位采集卡進行采樣，再采用諧波、間諧波分析模型對采集到的電流數(shù)據(jù)進行諧波、間諧波分析，評估ApTFM模型頻率分辨率等性能。

圖5 實驗平臺示意圖

實驗中待測電流的幅值真值未知，MPM模型雖然耗時巨大，但是其結果很精確，本文在實驗中采用MPM、ApTFM模型對實測電流波形進行分析，并以MPM模型的分析結果作為參照，對ApTFM模型的性能進行評價。實驗時保持基波頻率為51Hz，即基波頻率存在1Hz的頻率偏移。實驗分為間諧波頻率靠近基波頻率、3次諧波頻率（153Hz）兩種情況進行。通過實驗平臺產(chǎn)生實驗電流，采用電流傳感器對其進行測量，使用IpDFT、APTFM、MPM模型對電流測量數(shù)據(jù)進行分析、對比。

3.1 調(diào)整間諧波與基波之間的頻率間隔

加入的間諧波頻率為61Hz時，間諧波與基波之間的頻率間隔為10Hz，IpDFT不能分辨間諧波分量，且分析得到的基波誤差較大。ApTFM模型得到的間諧波頻率為60.78Hz，誤差為0.22Hz。ApTFM和MPM得到的61Hz間諧波幅值分別為1.04A、0.96A，以MPM的結果作為參照，ApTFM模型在頻率間隔為10Hz時間諧波分析結果誤差較大。

當間諧波頻率為63Hz時，間諧波與基波之間的頻率間隔為12Hz，實驗得到各分量的幅值、頻率見表1。IpDFT整體分析誤差較大，且分辨不出間諧波分量。ApTFM得到63Hz間諧波的頻率、頻率誤差分別為63.03Hz、0.03Hz，ApTFM與MPM得到的各分量幅值、頻率基本一致，以MPM模型的分析結果作為參照，得到ApTFM的分析誤差見表1?？梢钥闯?，ApTFM模型的基波幅值誤差約為0，頻率誤差約為0Hz；間諧波的幅值誤差約為3.03%，頻率誤差約為0.01Hz；其他諧波的最大幅值誤差低于3%，相關標準對諧波、間諧波測量的幅值誤差要求低于5%，ApTFM模型滿足要求。

表1 間諧波與基波頻率間隔為12Hz時實驗結果

3.2 調(diào)整間諧波與諧波之間的頻率間隔

當間諧波頻率為143Hz時，間諧波與3次諧波之間的頻率間隔分別為10Hz，IpDFT分析誤差較大，且不能分辨間諧波分量。MPM得到的間諧波頻率為143.13Hz，頻率誤差為0.13Hz；ApTFM得到的間諧波頻率為145.78Hz，頻率誤差達到2.78Hz，說明頻率間隔為10Hz時，ApTFM模型分析誤差較大。

當間諧波頻率為141Hz時，間諧波與3次諧波之間的頻率間隔分別為12Hz，實驗得到各分量幅值、頻率見表2。

表2 間諧波與3次諧波頻率間隔為12Hz時實驗結果

IpDFT分析誤差較大，且不能分辨間諧波分量。ApTFM得到的間諧波頻率為141.13Hz，頻率誤差為0.13Hz。ApTFM與MPM得到的各分量幅值、頻率結果非常接近，以頻率分辨率更高的MPM模型的分析結果作為參照，得到ApTFM的分析誤差見表2?？梢钥闯觯珹pTFM模型分析得到的3次諧波幅值誤差約為0.31%，頻率誤差約為0Hz；間諧波的幅值誤差約為0.79%，頻率誤差約為0.01Hz；其他諧波的最大幅值誤差低于5%，GBT 14549—1993、GBT 24337—2009、IEC 61000-4-7—2009等標準對諧波、間諧波測量的幅值誤差要求低于5%，ApTFM模型滿足要求。

綜上所述，所提出的ApTFM模型頻率分辨率可以達到12Hz，即當間諧波與基波、諧波之間的頻率間隔大于12Hz時，ApTFM模型能夠?qū)﹂g諧波分量進行精確分辨，對基波、諧波、間諧波的頻率分析精度較高，對各分量幅值分析的誤差低于5%，達到了GBT 14549—1993、GBT 24337—2009、IEC 61000-4-7—2009對諧波、間諧波分析的要求。

4 結論

本文提出一種頻率分辨率高、運算速度快的諧波、間諧波分析模型ApTFM，并對其運算速度、噪聲魯棒性、頻率分辨率進行了仿真分析和實驗驗證。仿真和實驗結果表明，ApTFM模型的運算速度約為MPM模型的39倍，頻率分辨率達到12Hz，對各分量進行分析的頻率誤差小于0.01Hz，幅值誤差小于5%，滿足GBT 14549—1993、GBT 24337—2009、IEC 61000-4-7—2009對諧波、間諧波分析的要求。ApTFM模型的綜合性能能夠滿足諧波、間諧波分析與電能計量等應用場合的基本要求，但對頻率間隔小于12Hz的密集頻率分量無法進行準確檢測。

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A High Frequency Resolution Harmonic and Interharmonic Analysis Model

Li Wenfan Zhang Guogang Zhong Haojie Chen Muli Geng Yingsan

（State Key Laboratory of Electrical Insulation and Power Equipment Xi’an Jiaotong University Xi’an 710049 China）

The nonlinear loads and power electronic equipment have introduced a large number of harmonics and inter-harmonics into the power system, posing a threat to the safe and stable operation of the power system. The existing DFT technology has a low frequency resolution. When the frequency interval between the interharmonic and the fundamental or harmonic is small, the adjacent frequency components cannot be accurately distinguished. Algorithms with higher frequency resolution, such as Matrix Pencil Method, usually require a lot of calculations and can only perform offline analysis of harmonics and inter-harmonics. Combining ApFFT and Taylor Fourier multi-frequency model, this paper proposes a harmonic and interharmonic analysis model with high frequency resolution and small calculation amount, and its frequency resolution is much greater than that of traditional DFT technology, and its operation speed is about 39 times that of the Matrix Pencil Method. The noise robustness, frequency resolution, calculation speed of it have been simulated and verified by experiments in this paper. The simulation and experimental results show that the proposed model has good noise robustness and needs small amount of calculation, the frequency resolution can reach 12Hz. The frequency error and amplitude error during harmonic and inter-harmonic analysis is less than 0.01Hz and 5% respectively, and it can realize rapid detection of harmonics and inter-harmonics.

Inter-harmonic analysis, Taylor-Fourier, frequency resolution, noise robustness

10.19595/j.cnki.1000-6753.tces.210983

TM93

李文番 男，1989年生，博士研究生，研究方向為電流測量、諧波分析、同步相量檢測等。E-mail：18109314169@163.com

張國鋼 男，1976年生，教授，博士生導師，研究方向為智能電器理論與工程、儲能與新能源電力系統(tǒng)以及電弧等離子體與電接觸等。E-mail：ggzhang@mail. xjtu.edu.cn（通信作者）

2021-07-05

2021-08-16

國家重點研發(fā)計劃（2016YFF0201205）和電力設備電氣絕緣國家重點實驗室開放課題（EIPE20211）資助項目。

（編輯 赫蕾）