四足機(jī)器人足端復(fù)合軌跡運(yùn)動特性研究*

齊曉宇，王赫瑩，郭忠峰

(1.沈陽工業(yè)大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，遼寧 沈陽 110870；2.沈陽工業(yè)大學(xué)遼寧省智能制造與工業(yè)機(jī)器人重點(diǎn)實驗室，遼寧 沈陽 110870)

0 引言

與更適應(yīng)平整地面運(yùn)動的輪式移動機(jī)器人以及履帶式移動機(jī)器人相比，腿足式移動機(jī)器人運(yùn)動更靈活，具備能通過復(fù)雜崎嶇地形的能力[1]，其中四足機(jī)器人已經(jīng)成為國內(nèi)外機(jī)器人研究領(lǐng)域的熱點(diǎn)，更強(qiáng)的地形適應(yīng)能力是四足機(jī)器人未來的發(fā)展大趨勢[2]。合理的足端運(yùn)動軌跡規(guī)劃不僅能保證四足機(jī)器人運(yùn)動效率，還能提高機(jī)器人運(yùn)動平穩(wěn)性[3]，因此針對四足機(jī)器人足端軌跡規(guī)劃和運(yùn)動特性進(jìn)行研究，具有十分重要意義。

國內(nèi)外對四足機(jī)器人的足端軌跡規(guī)劃研究，基于機(jī)器人在平地運(yùn)動平穩(wěn)性上考慮多選用簡單的擺線函數(shù)[4]、多項式函數(shù)[5]、橢圓函數(shù)[6]等完整統(tǒng)一的曲線規(guī)劃足端軌跡。本文將綜合考慮機(jī)器人運(yùn)動平穩(wěn)性、運(yùn)動效率、地形適應(yīng)能力等方面因素，對機(jī)器人足端軌跡進(jìn)行設(shè)計，以運(yùn)動效率較高的對角步態(tài)運(yùn)動方式在Adams和matlab/simulink仿真環(huán)境搭建機(jī)器人模型和虛擬模型控制系統(tǒng)，研究機(jī)器人在該足端軌跡規(guī)劃下的運(yùn)動特性。

1 四足機(jī)器人模型介紹

1.1 四足機(jī)器人模型結(jié)構(gòu)

本文以前肘后膝式的四足機(jī)器人為對象，機(jī)器人每條腿具有髖關(guān)節(jié)前擺、側(cè)擺和膝關(guān)節(jié)前擺3個主動自由度，整體共有12個自由度，機(jī)器人的控制方法采用虛擬模型控制方法，研究機(jī)器人以運(yùn)動效率較高的對角步態(tài)在平地和崎嶇地形的運(yùn)動特性。

如圖1所示，機(jī)器人大腿長度為l1，小腿長度為l2，機(jī)器人前后髖關(guān)節(jié)距離的一半為A，左右髖關(guān)節(jié)距離的一半為B，設(shè)機(jī)器人質(zhì)心坐標(biāo)為{O}，以右前腿為例設(shè)其髖關(guān)節(jié)坐標(biāo)為{A}，右前腿足端坐標(biāo)系為{Q}，髖關(guān)節(jié)側(cè)擺角度為θ0，前擺角度為θ1，膝關(guān)節(jié)前擺角度為θ2。足端在髖關(guān)節(jié)的坐標(biāo)系{A}下的位置表示為P(x，y，z)，其中x代表前進(jìn)方向，y代表側(cè)向，z代表豎直方向，則方程式如下：

x=-l1cosθ1-l2cos(θ2+θ1)

y=l1cosθ0sinθ1+l2cosθ0sin(θ2+θ1)

z=-l1sinθ1cosθ1-l2sinθ0sin(θ2+θ1)

(1)

圖1 四足機(jī)器人模型和單腿模型

通過對式(1)中的髖關(guān)節(jié)前擺角度和側(cè)擺角度以及膝關(guān)節(jié)的前擺角度進(jìn)行求導(dǎo)并轉(zhuǎn)置可得到力雅可比矩陣：

(2)

其中，c0=cosθ0，s0=sinθ0；

c1=cosθ1，s1=sinθ1；

c2=cosθ2，s2=sinθ2；

c12=cos(θ1+θ2)，s12=sin(θ1+θ2)。

1.2 四足機(jī)器人控制方法

虛擬模型控制方法(VMC，Virtual model control)是直覺控制方法的一種，其控制原理為在機(jī)器人上的作用點(diǎn)與外部期望運(yùn)動軌跡之間通過虛擬假想的彈簧、阻尼器等構(gòu)件連接，使其產(chǎn)生好像真實構(gòu)件存在產(chǎn)生的虛擬力實現(xiàn)類似實際構(gòu)件驅(qū)動的運(yùn)動狀態(tài)[8]。

對于四足機(jī)器人的控制來說就是足端和髖關(guān)節(jié)之間建立虛擬的彈簧元件和阻尼元件，生成機(jī)器人各腿部關(guān)節(jié)所需的力矩驅(qū)動機(jī)器人腿部運(yùn)動從而達(dá)到跟隨期望速度和位移的目的。

設(shè)控制膝關(guān)節(jié)和髖關(guān)節(jié)的力矩為：

τ=JTf

(3)

代入(2)式可得：

(4)

其中，τh1、τh2、τh3分別代表髖關(guān)節(jié)側(cè)擺和前擺力矩和膝關(guān)節(jié)力矩，F(xiàn)hx、Fhy、Fhz分別代表虛擬的彈簧和阻尼構(gòu)件牽引機(jī)器人足端按照期望的足端軌跡運(yùn)動的XQ、YQ、ZQ三個方向上的虛擬力[9]，其本構(gòu)方程為：

(5)

2 四足機(jī)器人足端軌跡規(guī)劃

2.1 足端軌跡規(guī)劃要求

不考慮機(jī)器人的視覺處理系統(tǒng)，對四足機(jī)器人在崎嶇地形行走設(shè)計一種足端軌跡，設(shè)計目標(biāo)主要有：

①機(jī)器人能順利越過高度不超過足端最大抬腿高度80%的不規(guī)則障礙物。

②機(jī)器人能夠適應(yīng)由地面高度變化引起機(jī)身翻轉(zhuǎn)，即質(zhì)心處的橫滾角、俯仰角以及偏移角±0.1 rad內(nèi)的波動，并在完全通過障礙后恢復(fù)平衡。

③機(jī)器人通過障礙時側(cè)向偏移位移不應(yīng)超過前進(jìn)位移的7%，以保證機(jī)器人的運(yùn)動效率。

將機(jī)器人的足端運(yùn)動軌跡分為起步、跨步、落地三個階段進(jìn)行設(shè)計，整體的運(yùn)動軌跡為：機(jī)器人足端收腿運(yùn)動從P0到P1，然后豎直抬腿到P2，再從P2跨步運(yùn)動經(jīng)過抬腿最高點(diǎn)P3后到P4完成跨步運(yùn)動，從P4運(yùn)動到P6完成豎直落地運(yùn)動，機(jī)器人的足端行走軌跡如圖2所示。

圖2 足端行走軌跡

2.2 足端軌跡規(guī)劃起步階段

足端軌跡在擺動相起步時，模仿生物狗的足端運(yùn)動軌跡，先向后收腿再豎直抬起然后進(jìn)行跨步，可在起步階段繞過未知突出障礙物；向后收腿并豎直抬起一定高度后再進(jìn)行跨步向前，可防止機(jī)器人足端在起步階段就碰到障礙，導(dǎo)致機(jī)器人足端運(yùn)動突變引起機(jī)器人傾覆，如圖3所示。

圖3 起步階段繞過凸出障礙的足端軌跡示意圖

因此添加以下約束：

(6)

足端起步階段的軌跡采用五次多項式曲線擬合，設(shè)起步軌跡方程為：

x=ft5+et4+dt3+ct2+bt+a

(7)

z=lt5+kt4+jt3+it2+ht+g

(8)

其中，a、b、c、d、e、f為前進(jìn)方向軌跡方程的系數(shù)，g、h、i、j、k、l為豎直方向軌跡方程系數(shù)，帶入以上約束(6)，解得起步階段足端軌跡方程：

(9)

(10)

2.3 足端軌跡規(guī)劃跨步階段

選擇復(fù)合擺線曲線規(guī)劃作為跨步階段足端軌跡，其主要優(yōu)勢有以下兩點(diǎn)：

①復(fù)合擺線曲線平滑流暢，可避免機(jī)器人在跨步運(yùn)動時由于規(guī)劃的足端軌跡突變引起運(yùn)動不穩(wěn)定。

②復(fù)合擺線曲線規(guī)劃的足端運(yùn)動到最大抬腿高度時曲線變化較平緩，與其他帶尖頂?shù)淖愣塑壽E相比，可以在障礙物不高于規(guī)劃的最大抬腿高度的情況下，盡可能的跨越障礙物，如圖4所示。

圖4 跨步階段越過障礙的足端軌跡對比示意圖

(11)

設(shè)跨步階段的復(fù)合擺線軌跡曲線前進(jìn)加速度方程為：

(12)

通過積分得出速度方程：

(13)

再次積分得到位移方程：

(14)

分別代入以上約束(11)，可得跨步階段前進(jìn)方向足端軌跡方程為：

(15)

同理，可得跨步階段豎直方向足端軌跡方程：

(16)

2.4 足端軌跡整體規(guī)劃

最后落地部分，規(guī)劃足端以一定高度跨步到要求位置后豎直下落，使其能夠適應(yīng)足端提前落地或者滯后落地的情況，可盡量避免機(jī)器人落地打滑的發(fā)生。從跨步運(yùn)動結(jié)束后，機(jī)器人足端的前進(jìn)方向的位移、速度和加速度均為零，豎直方向采用同起步階段對稱的五次多項式曲線軌跡規(guī)劃。

綜上所述，四足機(jī)器人擺動相足端軌跡規(guī)劃前進(jìn)方向和豎直方向的數(shù)學(xué)方程式為：

(17)

(18)

令足端軌跡的步長L為0.08 m，抬腿高度為0.045 m，擺動相運(yùn)動周期為1 s，前進(jìn)方向起始位置在距離跨步起點(diǎn)的0.0025 m處，將軌跡方程相關(guān)程序在matlab軟件中運(yùn)行得到前進(jìn)方向和豎直方向位移曲線和速度曲線如圖5(a)、(b)、(c)、(d)所示，位移曲線和速度曲線均平滑流暢無較大突變。

圖5 足端軌跡主要數(shù)據(jù)曲線

由于機(jī)器人在支撐相時，足端不離開地面，只有一個足端相對髖關(guān)節(jié)向后方向的運(yùn)動，因此無需對足端豎直方向軌跡規(guī)劃，前進(jìn)方向的軌跡與擺動相的前進(jìn)方向相反，則有：

(19)

zf(t)=0

(20)

其中Th為支撐相周期。

3 四足機(jī)器人仿真試驗驗證

3.1 四足機(jī)器人仿真環(huán)境介紹

為檢驗機(jī)器人以設(shè)計的足端軌跡規(guī)劃運(yùn)動特性，搭建機(jī)器人分別在平地上和崎嶇地形的以目前使用較多的五次多項式曲線規(guī)劃足端軌跡與設(shè)計的足端軌跡進(jìn)行運(yùn)動仿真實驗。

圖6 機(jī)器人模型圖

在Adams軟件完成機(jī)器人的運(yùn)動模型搭建，如圖6所示，機(jī)器人的控制系統(tǒng)在matlab/simulink下搭建，并進(jìn)行聯(lián)合仿真。機(jī)器人結(jié)構(gòu)參數(shù)如表1所示，軀干重量分布于四個髖關(guān)節(jié)位置和軀干幾何中心位置，運(yùn)動模式為對角小跑步態(tài)。

表1 機(jī)器人結(jié)構(gòu)參數(shù)表

3.2 四足機(jī)器人的平地運(yùn)動仿真

在Adams軟件中的平地運(yùn)動環(huán)境設(shè)置兩種足端軌跡步長均為0.07 m，抬腿高度為0.04 m，運(yùn)動周期為2 s。以下仿真數(shù)據(jù)中實線和虛線分別代表設(shè)計的足端軌跡和五次多項式曲線足端軌跡的機(jī)器人運(yùn)動數(shù)據(jù)曲線，如圖7(a)中，兩種足端軌跡規(guī)劃的機(jī)器人運(yùn)動在30 s后前進(jìn)方向的位移幾乎一致；如圖7(b)所示，以五次多項式曲線足端軌跡運(yùn)動的機(jī)身質(zhì)心俯仰角的波動大致在-0.013～0.015 rad，以設(shè)計的足端軌跡運(yùn)動的機(jī)身質(zhì)心俯仰角的波動大致在-0.015～0.022 rad；如圖7(c)所示，以五次多項式曲線足端軌跡運(yùn)動的機(jī)身質(zhì)心橫滾角的波動在-0.01～0.003 rad，以設(shè)計足端軌跡運(yùn)動的機(jī)身質(zhì)心橫滾角的波動在-0.012～0.005 rad。

圖7 機(jī)器人平地行走的仿真實驗主要數(shù)據(jù)曲線

以上仿真數(shù)據(jù)證明，以設(shè)計的足端軌跡規(guī)劃運(yùn)動和五次多項式曲線規(guī)劃運(yùn)動的機(jī)器人在平地上能保證一定運(yùn)動平穩(wěn)性，且采用設(shè)計的足端軌跡并沒有因為是分段式函數(shù)不如完全使用五次多項式曲線規(guī)劃的行走曲線更平滑，而導(dǎo)致運(yùn)動效率下降，機(jī)器人運(yùn)動平穩(wěn)性也沒有受到過大影響。

3.3 四足機(jī)器人的崎嶇地形仿真

崎嶇地形多是由高低不平的地面和未知的可移動障礙物組成，因此通過Adams軟件設(shè)置多個高度不同的凸臺和可移動的球體隨機(jī)分布在機(jī)器人運(yùn)動范圍內(nèi)模擬崎嶇地形，如圖8所示。其中凸臺高度最大的為0.055 m，最小的為0.03 m，可移動球體直徑最高為0.055 m，最小為0.03 m，設(shè)置兩種足端軌跡步長為0.07 m，抬腿高度為0.06 m，運(yùn)動周期為2 s。

圖8 仿真環(huán)境下建立的崎嶇地形

圖9為機(jī)器人通過崎嶇地形時在0 s、10 s、28 s、44 s時的仿真截圖，機(jī)器人總共前進(jìn)了約3 m，歷時50 s，在44 s左右完全通過了仿真環(huán)境中所有障礙物。

圖9 機(jī)器人通過崎嶇地形的仿真截圖

圖10(a)為四足機(jī)器人在崎嶇地形運(yùn)動時兩種足端軌跡運(yùn)動的前進(jìn)方向位移，兩者差距不大。由于機(jī)器人受崎嶇地形中的凸臺影響，不可避免的發(fā)生側(cè)向運(yùn)動的偏移，如圖10(b)所示，機(jī)器人采用設(shè)計的足端軌跡通過障礙時的側(cè)向偏移位移約為前進(jìn)位移的6.7%，隨后便保持穩(wěn)定不再增大。而五次多項式足端軌跡通過障礙時的側(cè)向偏移位移約為前進(jìn)位移的9.0%。如圖10(e)的數(shù)據(jù)曲線顯示五次多項式足端軌跡機(jī)身質(zhì)心偏移角，明顯大于設(shè)計的足端軌跡的質(zhì)心偏移角，并在完全通過障礙后仍繼續(xù)增大。

如圖10(c)，在機(jī)器人完全通過障礙以后，設(shè)計的足端軌跡的機(jī)器人整體恢復(fù)平衡質(zhì)心俯仰角逐漸穩(wěn)定在±0.015 rad范圍內(nèi)，而采用五次多項式曲線的足端軌跡的機(jī)器人質(zhì)心俯仰角在-0.02～0.025 rad范圍內(nèi)波動。另外觀察圖10(d)的數(shù)據(jù)曲線波動情況，采用五次多項式曲線的足端軌跡運(yùn)動的機(jī)身質(zhì)心橫滾角在通過崎嶇地面以后仍逐漸變大，容易導(dǎo)致機(jī)器人運(yùn)動側(cè)翻，而采用設(shè)計的足端軌跡運(yùn)動的橫滾角在通過崎嶇地面以后則逐漸穩(wěn)定在±0.01 rad附近。

圖10 機(jī)器人崎嶇地面行走的仿真實驗主要數(shù)據(jù)曲線

綜上所述，可以證明機(jī)器人采用設(shè)計的足端軌跡能更好地抵御崎嶇地形對機(jī)器人運(yùn)動的干擾，保證一定的運(yùn)動平穩(wěn)性和方向準(zhǔn)確性，達(dá)到了足端軌跡規(guī)劃預(yù)期要求。

4 結(jié)論

本文提出了一種可適應(yīng)崎嶇地形的復(fù)合足端軌跡規(guī)劃方法，對設(shè)計的足端軌跡的運(yùn)動特性進(jìn)行分析研究，并且在matlab/simulink與Adams聯(lián)合仿真環(huán)境下采用設(shè)計的足端軌跡與五次多項式足端軌跡分別在平地、崎嶇環(huán)境下進(jìn)行運(yùn)動情況對比，仿真結(jié)果顯示采用以五次多項式軌跡運(yùn)動和以設(shè)計的足端軌跡運(yùn)動的機(jī)器人均能順利通過平地和障礙物不超過足端軌跡步長80%的崎嶇地面，在平地上運(yùn)動時以設(shè)計的足端軌跡運(yùn)動與以五次多項式軌跡運(yùn)動相比平穩(wěn)性稍遜，在崎嶇地形上以設(shè)計的足端軌跡運(yùn)動的機(jī)器人能夠適應(yīng)橫滾角、俯仰角以及偏移角±0.1 rad內(nèi)的波動，并在完全通過障礙后恢復(fù)平衡，側(cè)向偏移位移為前進(jìn)位移的6.7%，而以五次多項式軌跡運(yùn)動在完全通過障礙后并未恢復(fù)到平衡狀態(tài)，側(cè)向偏移位移為前進(jìn)位移的9.0%，因此可以證明以設(shè)計的足端軌跡運(yùn)動的機(jī)器人能更好地抵御崎嶇地形的干擾，具有更好的運(yùn)動平穩(wěn)性和地形適應(yīng)能力。