基于無跡卡爾曼濾波的無刷直流電動機無位置傳感器控制

馬相如，楊澤斌

(1.國網(wǎng)漣水縣供電公司，淮安 223400；2. 江蘇大學(xué) 電氣信息工程學(xué)院，鎮(zhèn)江 212013)

0 引 言

無刷直流電動機(以下簡稱BLDCM)的傳統(tǒng)位置傳感器控制方法，增加了硬件成本和體積，且位置傳感器易受電磁信號、粉塵等干擾，使得控制性能下降。目前BLDCM常用的無位置傳感器控制方法包括反電動勢法、磁鏈觀測法、續(xù)流二極管導(dǎo)通檢測法、擴展卡爾曼濾波法等，其中擴展卡爾曼濾波法是卡爾曼濾波在非線性系統(tǒng)中的擴展，其利用較容易獲得的電壓、電流信號，結(jié)合BLDCM狀態(tài)方程，實現(xiàn)對轉(zhuǎn)子位置和轉(zhuǎn)速信號的觀測，具有魯棒性好、調(diào)速范圍寬等優(yōu)點，是目前BLDCM無位置傳感器控制研究的熱點。但是這種方法是通過泰勒展開式逼近非線性函數(shù)，由于僅保留到一階精度，觀測到的轉(zhuǎn)速和轉(zhuǎn)子位置信號誤差較大[1-2]。

為了提高擴展卡爾曼濾波器觀測的精度，本文提出了一種改進的無跡卡爾曼濾波(以下簡稱UKF)算法，相較于擴展卡爾曼濾波算法，可有效提升估算精度。UKF沒有忽略高階項，最低可達到非線性函數(shù)的二階精度，因此具有更高的估算精度。本文將其應(yīng)用于BLDCM轉(zhuǎn)速和轉(zhuǎn)子位置觀測中，實現(xiàn)了BLDCM無傳感器控制[3-4]，仿真和實驗結(jié)果證實了理論分析的正確性。

1 BLDCM數(shù)學(xué)模型

本文的BLDCM為三相星形連接，采用全橋逆變器驅(qū)動、兩兩導(dǎo)通方式，其連接示意圖如圖1所示。

圖1 BLDCM連接示意圖

理想情況下，BLDCM電壓方程如下：

(1)

式中：ua、ub、uc，ia、ib、ic，ea、eb、ec分別為定子繞組相電壓，相電流，反電動勢；R、L、M分別為每相繞組電阻、自感和相間互感。

BLDCM電磁轉(zhuǎn)矩方程如下：

(2)

式中：ω是角速度。

BLDCM運動方程如下：

(3)

式中:J、Bv、Tl分別為轉(zhuǎn)動慣量、摩擦系數(shù)和負載轉(zhuǎn)矩。

2 UKF算法原理

2.1 卡爾曼濾波算法分析

卡爾曼濾波器結(jié)構(gòu)如圖2所示，其采用遞歸方法在考慮外部干擾的情況下仍然能夠獲得最優(yōu)估測值，并且便于數(shù)字化實現(xiàn)，在導(dǎo)航制導(dǎo)、信號處理等領(lǐng)域應(yīng)用廣泛。

圖2 卡爾曼濾波器系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

卡爾曼濾波器工作原理如下：控制系統(tǒng)的狀態(tài)變量同時輸入至系統(tǒng)模型和卡爾曼濾波器模型，系統(tǒng)模型估測值與卡爾曼濾波器模型估測值作差后，由卡爾曼濾波器模型估測出最優(yōu)值，再將其反饋至卡爾曼濾波器模型，通過不斷遞推與迭代，最終估計值收斂于接近真實值的范圍。

系統(tǒng)的狀態(tài)方程和量測方程如下：

(4)

式中：x(k)為系統(tǒng)狀態(tài)向量；Φ(k+1,k)為轉(zhuǎn)移矩陣；H(k)為測量矩陣；w(k)和v(k)分別為系統(tǒng)本身和測量過程中的干擾信號。

w(k)和v(k)的統(tǒng)計特性如下：

(5)

系統(tǒng)初值的統(tǒng)計特性如下：

(6)

(7)

根據(jù)上面的結(jié)果求出卡爾曼濾波增益Kk：

(8)

(9)

最后計算迭代過程所用最優(yōu)估測方差矩陣Pk：

Pk=Pk/k-1-KkHkPk/k-1

以上的卡爾曼濾波算法分析是基于線性模型，而實際系統(tǒng)多為非線性模型，為了彌補卡爾曼濾波算法不適應(yīng)非線性系統(tǒng)的缺陷，提出擴展卡爾曼濾波算法(以下簡稱EKF)，先對非線性系統(tǒng)線性化變換，再作離散化處理。然而，傳統(tǒng)EKF方法在對非線性系統(tǒng)方程進行線性化處理時，只具有泰勒級數(shù)的一階精度，導(dǎo)致誤差較大。在實際應(yīng)用中，需要對EKF方法進一步優(yōu)化。以確定性采樣為思路，Julier等學(xué)者進一步將無跡變換與EKF算法相結(jié)合，提出了UKF算法，它具有更高的估測精度。

2.2 無跡變換

對于任意非線性系統(tǒng)，其非線性函數(shù)可用下式表示：

y=f(x)

(10)

無跡變換[5-6]過程如下：

首先，選取合適的Sigma點χi，實際選擇過程中可參考下式：

(11)

其次，對2n+1個Sigma點作非線性傳播，如下：

yi=f(χi) (i=0,…,2n)

(12)

計算可得：

(13)

2.3 UKF算法原理

UKF算法主要利用比例無跡變換替換EKF算法中的雅克比矩陣，從而實現(xiàn)非線性系統(tǒng)的線性化變換，其遞推過程主要包括4個步驟[7-8]。假設(shè)存在某非線性系統(tǒng)，離散化表示如下式：

(14)

式中：xk代表系統(tǒng)狀態(tài)向量；uk代表輸入向量；σk、μk代表相互獨立的高斯白噪聲，且滿足下式關(guān)系：

(15)

第一步初始化。計算初始狀態(tài)統(tǒng)計特性如下式：

(16)

(17)

第二步采樣。根據(jù)Sigma點的選取規(guī)則，取2n+1個Sigma點，并計算其權(quán)值：

(18)

第三步時間更新。利用非線性狀態(tài)函數(shù)f(·)對采樣中所得Sigma點作非線性傳播，如下：

(19)

進而可得：

(20)

(21)

(22)

式中:α值通常在0.000 1～1內(nèi)，β值通常等于2。

(23)

(24)

(25)

(26)

進一步可得：

(27)

式中：Kk代表濾波增益矩陣。

根據(jù)新的測量yk即可進行量測更新：

(28)

(29)

3 UKF在BLDCM中的應(yīng)用

BLDCM非線性數(shù)學(xué)模型如下：

(30)

式中：x(t)代表狀態(tài)變量；u(t)、y(t)分別代表輸入、輸出變量；δ(t)代表系統(tǒng)擾動、轉(zhuǎn)速波動、參數(shù)誤差等所有系統(tǒng)噪聲；μ(t)代表測量噪聲。

各變量方程如下：

為了將本文研究的UKF算法運用到BLDCM控制中，需進一步對BLDCM系統(tǒng)方程作離散化處理，結(jié)果如下：

(31)

根據(jù)上式，結(jié)合前文分析的UKF原理，可得基于UKF算法的BLDCM無傳感器算法實現(xiàn)流程，如圖3所示[9-10]。

圖3 UKF算法實現(xiàn)流程圖

進一步可得BLDCM基于UKF算法的無位置傳感器、雙閉環(huán)控制結(jié)構(gòu)框圖[11-12]，如圖4所示。

圖4 BLDCM基于UKF算法的雙閉環(huán)控制

控制系統(tǒng)采用無跡卡爾曼濾波器觀測得出轉(zhuǎn)速和轉(zhuǎn)子位置信號，并將其應(yīng)用于BLDCM轉(zhuǎn)速、電流雙閉環(huán)控制中。

4 仿真分析

利用MATLAB軟件自帶的S函數(shù)功能模塊編寫UKF算法，并嵌入到模型中，搭建MATLAB仿真模型，BLDCM仿真參數(shù)如表1所示。

表1 仿真參數(shù)

針對不同轉(zhuǎn)速、轉(zhuǎn)速發(fā)生突變、負載發(fā)生擾動三種情況進行仿真。

4.1 不同轉(zhuǎn)速下仿真分析

當(dāng)BLDCM給定轉(zhuǎn)速分別為2 000 r/min和200 r/min時，UKF觀測與實際測量的轉(zhuǎn)速和轉(zhuǎn)子位置分別如圖5、圖6所示。需要說明的是UKF算法得到的轉(zhuǎn)子位置信號是連續(xù)的角度，在BLDCM驅(qū)動控制中還需要對其進行轉(zhuǎn)換，轉(zhuǎn)換原理如圖7所示。

圖5 給定轉(zhuǎn)速為2 000 r/min時仿真結(jié)果

圖6 給定轉(zhuǎn)速為200 r/min時仿真結(jié)果

圖7 UKF算法獲取轉(zhuǎn)子位置轉(zhuǎn)換原理

由圖5、圖6可見，高、低速情況下UKF觀測與實際測量的轉(zhuǎn)速和轉(zhuǎn)子位置之間誤差較小，且高速時的觀測精度優(yōu)于低速情況。

4.2 轉(zhuǎn)速發(fā)生突變時仿真分析

初始狀態(tài)下BLDCM給定轉(zhuǎn)速為1 500 r/min，0.1 s時轉(zhuǎn)速突增至2 000 r/min，UKF觀測與實際測量的轉(zhuǎn)速和轉(zhuǎn)子位置如圖8所示。

圖8 轉(zhuǎn)速發(fā)生突變時的仿真結(jié)果

由圖8可見，轉(zhuǎn)速發(fā)生突變時UKF觀測器仍能夠準確觀測轉(zhuǎn)速和轉(zhuǎn)子位置，觀測精度較高，與實際測量值之間誤差較小，動態(tài)觀測效果良好。

4.3 負載發(fā)生擾動時的仿真分析

初始狀態(tài)下負載轉(zhuǎn)矩為0.66 N·m，0.1 s時負載轉(zhuǎn)矩開始增大，0.15 s時達到最大值0.96 N·m，之后逐漸恢復(fù)至0.66 N·m，UKF觀測與實際測量的轉(zhuǎn)速和轉(zhuǎn)子位置如圖9所示。

圖9 負載發(fā)生擾動時的仿真結(jié)果

由圖9可見，當(dāng)負載轉(zhuǎn)矩發(fā)生擾動時，UKF算法仍然能夠準確觀測轉(zhuǎn)速和轉(zhuǎn)子位置，具有較好的抗負載擾動能力。可見，UKF算法可以實現(xiàn)BLDCM高、低速無位置傳感器控制，且在轉(zhuǎn)速發(fā)生突變、負載發(fā)生擾動等情況下，仍然能夠準確觀測轉(zhuǎn)速和轉(zhuǎn)子位置，具有較好的動、靜態(tài)性能及觀測精度。

5 實驗研究

為進一步驗證理論分析的正確性，基于DSP28335+FPGA的控制器結(jié)構(gòu)進行實驗驗證，實驗現(xiàn)場接線如圖10所示。

圖10 實驗接線圖

實驗主程序、定時器中斷子程序及捕獲單元中斷子程序流程圖如圖11所示。

實驗所用BLDCM參數(shù)與仿真參數(shù)一致，BLDCM空載起動過程中電壓、電流波形如圖12所示。

由圖12可見，由于電機電感、換相及小功率BLDCM齒槽效應(yīng)等原因，空載狀態(tài)下電流波形并不是理想的方波。

圖11 程序流程圖

圖12 BLDCM電壓、電流波形

為了比較UKF估測的轉(zhuǎn)子位置與實際轉(zhuǎn)子位置間差異，本文同時采用霍爾傳感器進行實測。然而霍爾傳感器輸出信號并不是連續(xù)的角度，而UKF輸出信號是連續(xù)的角度，難以直接對比。因此，本文按照圖7的霍爾傳感器輸出脈沖信號與轉(zhuǎn)子位置之間關(guān)系對UKF輸出結(jié)果進行轉(zhuǎn)換。

當(dāng)BLDCM轉(zhuǎn)速分別為200 r/min、2 000 r/min時，霍爾傳感器實測轉(zhuǎn)子位置信號與UKF觀測轉(zhuǎn)子位置信號轉(zhuǎn)換后波形如圖13所示。

圖13 轉(zhuǎn)子位置測量結(jié)果

由圖13可見，無論BLDCM工作在高速或者低速狀態(tài)，UKF算法觀測的轉(zhuǎn)子位置與霍爾位置傳感器測量結(jié)果基本一致，二者之間誤差較小，可見UKF算法具有較高的轉(zhuǎn)子位置觀測精度。

在DSP28335中UKF觀測的轉(zhuǎn)速信號和實際轉(zhuǎn)速信號均為數(shù)字量，若采用示波器顯示，則需要將其轉(zhuǎn)化成模擬信號，而在數(shù)模轉(zhuǎn)換過程中會受到噪聲干擾等產(chǎn)生誤差，影響判斷結(jié)果。為了避免此問題，本文將UKF觀測的轉(zhuǎn)速和實際轉(zhuǎn)速分別存放在兩個變量中，再通過MATLAB繪制出來進行分析。

當(dāng)BLDCM給定轉(zhuǎn)速分別為2 000 r/min、200 r/min時，UKF觀測轉(zhuǎn)速與實際轉(zhuǎn)速如圖14所示，由于轉(zhuǎn)速是根據(jù)CCS中數(shù)組變量繪制而來，圖中橫坐標是數(shù)組變量的下標值。

圖14 實際轉(zhuǎn)速與UFK觀測轉(zhuǎn)速

由圖14可見，在高、低速情況下BLDCM起動初期UKF算法觀測轉(zhuǎn)速與實際轉(zhuǎn)速之間存在一定誤差，經(jīng)過短暫收斂后，轉(zhuǎn)速趨于穩(wěn)定，UKF算法觀測轉(zhuǎn)速與實測轉(zhuǎn)速基本一致，誤差較小。

當(dāng)給定轉(zhuǎn)速由1 000 r/min增至2 000 r/min時，UKF觀測轉(zhuǎn)速與實際轉(zhuǎn)速如圖15所示。

圖15 轉(zhuǎn)速突變時實際轉(zhuǎn)速與測量轉(zhuǎn)速

由圖15可見，當(dāng)給定轉(zhuǎn)速參考值發(fā)生突變時，UKF算法仍可以準確跟蹤并觀測轉(zhuǎn)速，且與實際測量值之間誤差較小。

由以上實驗結(jié)果可見，基于UKF算法的BLDCM無位置傳感器控制方法具有良好的動、靜態(tài)性能，能夠有效提高BLDCM轉(zhuǎn)速、轉(zhuǎn)子位置的觀測精度，具有一定的推廣應(yīng)用價值。

6 結(jié) 語

針對擴展卡爾曼濾波器算法觀測精度不夠高的問題，本文提出了一種改進的UKF算法。相較于EKF算法，UKF算法可有效提升估算精度，將其應(yīng)用于BLDCM無位置傳感器控制中，理論證明UKF算法至少可以達到非線性函數(shù)的二階精度。仿真和實驗結(jié)果表明，UKF算法在BLDCM高、低速運行情況下，均可以準確觀測轉(zhuǎn)速和轉(zhuǎn)子位置，并且在轉(zhuǎn)速、負載轉(zhuǎn)矩發(fā)生突變時，仍然能夠準確跟蹤觀測，具有較好的動、靜態(tài)性能和觀測精度。