基于變正則化參數(shù)仿射投影算法的PMSM參數(shù)辨識(shí)

汪世平，祝海榮，蔡 慧，鄒志楊，馬玉龍

(1.南瑞集團(tuán)有限公司(國網(wǎng)電力科學(xué)研究院有限公司)，南京 211106；2.國電南瑞科技股份有限公司，南京 211106；3.中國計(jì)量大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，杭州 310018)

0 引 言

永磁同步電機(jī)(以下簡(jiǎn)稱PMSM)憑借其較高的轉(zhuǎn)矩密度和優(yōu)越的控制性能，在工業(yè)要求日趨嚴(yán)苛的環(huán)境下，占領(lǐng)的市場(chǎng)份額逐漸擴(kuò)大。電機(jī)控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)一般都基于電機(jī)的機(jī)器參數(shù)，但PMSM是一個(gè)非線性、強(qiáng)耦合、多變量的復(fù)雜系統(tǒng)，其參數(shù)會(huì)隨工作環(huán)境和工作狀態(tài)時(shí)刻變化[1-2]。不管是精確的電機(jī)控制器的設(shè)計(jì)，還是實(shí)時(shí)控制算法的設(shè)計(jì)，都離不開準(zhǔn)確的電機(jī)參數(shù)。如果搭建的電機(jī)模型不準(zhǔn)確，勢(shì)必會(huì)降低控制器的效率和動(dòng)態(tài)性能，影響電機(jī)控制算法的穩(wěn)定運(yùn)行。這使得電機(jī)參數(shù)在線辨識(shí)逐漸成為一個(gè)研究熱點(diǎn)。

目前，電機(jī)參數(shù)辨識(shí)主要有兩大類：離線辨識(shí)和在線辨識(shí)。離線辨識(shí)具有局限性，其辨識(shí)的電機(jī)參數(shù)是在特定條件下得到的，不具備實(shí)時(shí)性。參數(shù)在線辨識(shí)更能實(shí)時(shí)地體現(xiàn)電機(jī)動(dòng)態(tài)特性，提高電機(jī)實(shí)時(shí)控制算法的有效性和可靠性。參數(shù)在線辨識(shí)的方法主要包括遞推最小二乘法、模型參考自適應(yīng)法、擴(kuò)展卡爾曼濾波法和各類智能算法等。遞推最小二乘法具有較好的魯棒性，但是會(huì)隨著數(shù)據(jù)量的增多趨于飽和，影響辨識(shí)的靈敏性和可靠性[3-5]；模型參考自適應(yīng)法能通過系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)來調(diào)整自適應(yīng)率，但在模型參考自適應(yīng)辨識(shí)算法中，自適應(yīng)機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)較為復(fù)雜，不同工作點(diǎn)下PI增益同步困難[6-7]；擴(kuò)展卡爾曼濾波法能為非線性系統(tǒng)提供較好的遞推估計(jì)器，通過最小誤差方差估計(jì)系統(tǒng)的狀態(tài)變量，但是它的準(zhǔn)確性依賴于系統(tǒng)模型，若系統(tǒng)的模型不準(zhǔn)確，則最終得到的結(jié)果也會(huì)存在偏差；神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法雖然具有較好的魯棒性，但是計(jì)算量較大，計(jì)算復(fù)雜，會(huì)占用較多CPU資源，實(shí)際應(yīng)用中也較少采取此類智能算法[8]。

仿射投影算法(以下簡(jiǎn)稱APA)是一種較有吸引力的回波消除算法。但是在APA中需要矩陣求逆，這個(gè)矩陣需要正則化，即在其主對(duì)角線的元素上加一個(gè)正常數(shù)。這個(gè)正則化參數(shù)非常重要，如果選擇不當(dāng)，APA可能永遠(yuǎn)不會(huì)收斂，特別是在低信噪比條件下[9-11]。針對(duì)現(xiàn)有文獻(xiàn)中辨識(shí)算法計(jì)算量大的問題，為了減少辨識(shí)過程中的計(jì)算量，并保證參數(shù)的收斂性，本文采用APA對(duì)電機(jī)參數(shù)進(jìn)行辨識(shí)，并提出了一種變正則化參數(shù)的APA，以提高參數(shù)辨識(shí)的準(zhǔn)確性和收斂速度。

1 PMSM參數(shù)辨識(shí)

1.1 PMSM數(shù)學(xué)模型

為了方便分析研究，將三相靜止坐標(biāo)系下的數(shù)學(xué)模型變換到d，q坐標(biāo)系下，其電流的狀態(tài)空間表達(dá)式如下：

(1)

將其轉(zhuǎn)換為離散狀態(tài)下的時(shí)間模型：

(2)

式中：ud,uq為d，q軸下定子電壓；id,iq為d，q軸下定子電流；Rs為定子電阻；Ld,Lq為d，q軸下電感分量，表貼式PMSM中，Ld=Lq=L；ω為電機(jī)電角速度;ψf為永磁體磁鏈；Ts為采樣時(shí)間。

1.2 變正則化參數(shù)仿射投影辨識(shí)方法

傳統(tǒng)仿射投影算法表達(dá)式：

(3)

為了提高算法辨識(shí)的收斂速度和穩(wěn)態(tài)誤差，本文采用了變正則化參數(shù)APA。通過隨機(jī)梯度下降法，尋找參數(shù)辨識(shí)過程中的正則化參數(shù)的最優(yōu)解，使參數(shù)辨識(shí)過程能夠較為快速且準(zhǔn)確，提升辨識(shí)算法性能。結(jié)合APA的權(quán)值更新公式，可以定義代價(jià)函數(shù)如下：

(4)

式中：e(n+1)為當(dāng)前的期望輸出與辨識(shí)算法實(shí)際輸出之間的偏差；n+1為當(dāng)前時(shí)刻。

正則化參數(shù)η的更新方程：

(5)

對(duì)代價(jià)函數(shù)J(n+1)求梯度可得：

μkek(n+1)xk(n+1)xT(n)·

Δk(n+1)e(n)

(6)

式中：

Δk(n+1)=[η(n)+xT(n)x(n)]-1·

(7)

為了消除數(shù)據(jù)處理過程中不同量綱之間的影響，加快梯度下降求解最優(yōu)解的速度，對(duì)代價(jià)函數(shù)的梯度進(jìn)行歸一化處理，表達(dá)式如下：

(8)

式中：N可以看作是一個(gè)符號(hào)函數(shù)。

為了保證變正則化參數(shù)APA的穩(wěn)定性，一方面需要對(duì)梯度算法的學(xué)習(xí)率參數(shù)進(jìn)行合理的選擇；另一方面，由于辨識(shí)算法在初始收斂后，可能導(dǎo)致正則化參數(shù)向負(fù)值跳躍或不斷增大，因此，需要設(shè)定正則化參數(shù)的最小允許值和最大允許值。

假設(shè)當(dāng)正則化參數(shù)的值小于輸入信號(hào)的10 000倍時(shí)，認(rèn)為正則化參數(shù)繼續(xù)減小對(duì)參數(shù)辨識(shí)的收斂速度和穩(wěn)態(tài)誤差基本無影響；同理，當(dāng)正則化參數(shù)的值過大時(shí)，會(huì)嚴(yán)重影響參數(shù)辨識(shí)的收斂速度，導(dǎo)致參數(shù)收斂速度很慢，正則化參數(shù)的上限可根據(jù)實(shí)際情況設(shè)定，正則化參數(shù)的最小值可定義為如下形式：

(9)

式中：I2為2×2階單位矩陣。正則化參數(shù)的最終表達(dá)式如下：

(10)

其中，學(xué)習(xí)率參數(shù)可根據(jù)實(shí)際的運(yùn)行狀況選擇，一般選擇較小的參數(shù)。為了能夠加快收斂，本文采用變學(xué)習(xí)率參數(shù)法。當(dāng)誤差較大時(shí)，學(xué)習(xí)率參數(shù)相應(yīng)放大；當(dāng)誤差較小時(shí)，則縮小學(xué)習(xí)率參數(shù)。為了防止收斂過慢，學(xué)習(xí)率參數(shù)Z的最小倍數(shù)設(shè)定為1，放大倍數(shù)根據(jù)期望輸出與辨識(shí)結(jié)果的比值確定，表達(dá)式：

(11)

式中：odesire為期望輸出值；oetimate為辨識(shí)結(jié)果；ξ為正則因子。該學(xué)習(xí)率在算法開始時(shí)會(huì)設(shè)定一個(gè)初始參數(shù)，通過反推法得出正則因子。最終正則化參數(shù)的更新表達(dá)式：

ηk(n+1)=ηk(n)-Zαsign(N)

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

由于辨識(shí)方程存在欠秩問題[12]，本文的參數(shù)辨識(shí)主要分為兩步進(jìn)行，即快采樣的參數(shù)辨識(shí)和慢采樣的參數(shù)辨識(shí)，辨識(shí)流程如圖1所示。具體步驟如下：

圖1 參數(shù)辨識(shí)流程圖

① 當(dāng)PMSM進(jìn)入穩(wěn)態(tài)運(yùn)行時(shí)，設(shè)置快采樣時(shí)間Tfast=Tpwm，在此過程中，認(rèn)為電阻值R是準(zhǔn)確且穩(wěn)定的，將其代入辨識(shí)算法中，計(jì)算出電機(jī)的交軸電感Lq和永磁磁鏈ψf。

② 判斷第一步中辨識(shí)的交軸電感和永磁磁鏈?zhǔn)欠裼行?，若有效，則當(dāng)其收斂穩(wěn)定后，將其代入慢采樣參數(shù)辨識(shí)算法中，計(jì)算出定子電阻Rs值，設(shè)置慢采樣時(shí)間Tslow=10Tpwm。

2 仿真研究

本文采用id=0的控制方式實(shí)現(xiàn)對(duì)表貼式PMSM的矢量控制，其矢量控制框圖如圖2所示。

圖2 id =0矢量控制框圖

該矢量控制系統(tǒng)是一個(gè)雙閉環(huán)的控制結(jié)構(gòu)，由速度環(huán)和電流環(huán)串級(jí)結(jié)構(gòu)組成。其中，速度環(huán)為外環(huán)，其作用是敏銳地跟蹤上級(jí)系統(tǒng)的速度給定，并減小轉(zhuǎn)速波動(dòng)，使系統(tǒng)工作在穩(wěn)定狀態(tài)。電流環(huán)作為內(nèi)環(huán)控制器，其輸入信號(hào)為電流偏差，輸出為參考電壓，控制電機(jī)的轉(zhuǎn)矩。電流內(nèi)環(huán)能夠在電機(jī)的起動(dòng)過程中給予允許的最大起動(dòng)電流，同時(shí)抑制外部擾動(dòng)，加快系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)，提高系統(tǒng)穩(wěn)定性。

圖3為在MATLAB/Simulink環(huán)境中搭建的仿真模型,電機(jī)仿真模型內(nèi)部參數(shù)如表1所示。根據(jù)參數(shù)辨識(shí)流程圖和系統(tǒng)框架圖，搭建基于APA的參數(shù)辨識(shí)仿真模型，具體模型如圖4所示。

圖3 表貼式PMSM矢量控制仿真模型

表1 PMSM內(nèi)部參數(shù)

圖4 基于APA的參數(shù)辨識(shí)模型

為了驗(yàn)證本文方法的優(yōu)點(diǎn)，首先采用傳統(tǒng)APA對(duì)電機(jī)參數(shù)進(jìn)行辨識(shí)。設(shè)定仿真模型中，電感和磁鏈辨識(shí)算法中的迭代步長μ=[0.1,0;0,0.5]，正則化參數(shù)η=[0.1,0;0,0.1]，電阻辨識(shí)算法中迭代步長μ=0.1，正則化參數(shù)η=0.08。電機(jī)在轉(zhuǎn)速800 r/min，負(fù)載轉(zhuǎn)矩3 N·m下運(yùn)行，電感和磁鏈從0.08 s開始辨識(shí)，電阻在電感和磁鏈辨識(shí)結(jié)果基本穩(wěn)定后再進(jìn)行辨識(shí)。辨識(shí)結(jié)果如圖5所示。

圖5 傳統(tǒng)APA辨識(shí)波形

為了驗(yàn)證所提出的參數(shù)辨識(shí)方法能夠在保證收斂速度的同時(shí)，降低辨識(shí)的穩(wěn)態(tài)誤差，取較小的正則化參數(shù)值進(jìn)行對(duì)比，設(shè)定將電感磁鏈辨識(shí)中的正則化參數(shù)η=[0.000 1,0;0,0.000 1]。辨識(shí)的穩(wěn)態(tài)波形如圖6所示。

圖6 傳統(tǒng)APA辨識(shí)穩(wěn)態(tài)電感磁鏈波形

圖7為基于變正則化參數(shù)APA的辨識(shí)波形圖。仿真條件如下：給定轉(zhuǎn)速為1 000 r/min，t=0時(shí)轉(zhuǎn)矩為3 N·m，t=0.3 s時(shí)轉(zhuǎn)矩突變至5 N·m，電感磁鏈辨識(shí)算法中，迭代步長μ=[0.1,0;0,0.5]，正則化參數(shù)初始值η=[0.1,0;0,0.1]，學(xué)習(xí)率參數(shù)Z=0.01。電阻辨識(shí)算法中，μ=0.1，η=0.5，α=0.1。

圖7 轉(zhuǎn)矩突變時(shí)，基于變正則化參數(shù)APA辨識(shí)波形

圖7中，基于變正則化參數(shù)的APA能快速有效地辨識(shí)出待估參數(shù)，其中電感L的辨識(shí)結(jié)果為0.011 99 H，辨識(shí)誤差為0.1%；磁鏈的辨識(shí)結(jié)果為0.018 25 Wb，辨識(shí)誤差為0.1%；電阻R的辨識(shí)結(jié)果為0.955 Ω，辨識(shí)誤差為0.3%。圖7圈中放大部分的縱坐標(biāo)尺度與圖6相同。對(duì)比圖7與圖5可得，改進(jìn)的變正則化參數(shù)APA收斂速度更快，且收斂后的穩(wěn)態(tài)誤差也較小。對(duì)比圖7和圖6可得，改進(jìn)的參數(shù)辨識(shí)算法能夠有效降低辨識(shí)的穩(wěn)態(tài)誤差，提高了電感參數(shù)的辨識(shí)精度。

圖7仿真條件下，電感、磁鏈和電阻辨識(shí)算法中的正則化參數(shù)變化波形如圖8所示。

圖8 改進(jìn)算法中的正則化參數(shù)波形

同時(shí)，為了驗(yàn)證改進(jìn)算法在電機(jī)轉(zhuǎn)速突變時(shí)也能快速地跟蹤響應(yīng)，設(shè)置仿真條件為給定初始轉(zhuǎn)速為800 r/min，負(fù)載轉(zhuǎn)矩為3 N·m，t=0.3 s時(shí)轉(zhuǎn)速突變?yōu)? 000 r/min。以電感和磁鏈為例，仿真波形如圖9所示，圖9(a)為參數(shù)辨識(shí)波形，圖9(b)為正則化參數(shù)變化波形。

圖9 轉(zhuǎn)速突變條件下改進(jìn)算法的辨識(shí)波形

通過圖7和圖9可以看出，由于本算法的迭代步長可以自適應(yīng)選取，故基于變正則化參數(shù)的APA在轉(zhuǎn)矩、轉(zhuǎn)速突變的情況下，依然能快速有效地辨識(shí)出待估參數(shù)，有較好的收斂性和可靠性，跟蹤性能良好。

3 結(jié) 語

實(shí)際應(yīng)用中，PMSM參數(shù)辨識(shí)算法應(yīng)當(dāng)在保證參數(shù)收斂性的條件下，盡可能地減少計(jì)算量，降低計(jì)算復(fù)雜度，保證辨識(shí)算法擁有較好的魯棒性。針對(duì)此目標(biāo)，本文采用APA實(shí)現(xiàn)電機(jī)參數(shù)的在線辨識(shí)，APA的收斂性逼近遞推最小二乘法，計(jì)算復(fù)雜度低于遞推最小二乘法。為了提高辨識(shí)算法的收斂速度，提高辨識(shí)的精度和魯棒性，本文采用變正則化參數(shù)APA，通過梯度下降法尋求最優(yōu)的正則化參數(shù)。仿真證明，變正則化參數(shù)APA能夠在保證較快的收斂速度的條件下，降低穩(wěn)態(tài)誤差，在轉(zhuǎn)矩和轉(zhuǎn)速突變的條件下，也能較快地跟蹤響應(yīng)，魯棒性較強(qiáng)。

本文的參數(shù)辨識(shí)方法，其中學(xué)習(xí)率參數(shù)的自適應(yīng)還有待改進(jìn)，今后在本文方法的基礎(chǔ)上，仍須進(jìn)一步完善。