對一道不等式恒成立問題解法的探究

梁紅濤

不等式恒成立問題是不等式板塊中具有代表性的一類問題.這類問題的實質(zhì)是使不等式的解集包含于某一個區(qū)間，但我們往往無法直接求出不等式的解集，此時通常需將問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，運用函數(shù)的圖象、性質(zhì)以及不等式、導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)來解題.下面結(jié)合一道例題談一談如何解答不等式恒成立問題.

該題主要考查對數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)以及不等式.該不等式中含有對數(shù)式，很顯然，我們無法通過解不等式求得問題的答案，需將問題進(jìn)行合理轉(zhuǎn)化，從其他角度尋找解題的思路.通過分析，筆者找到以下的解題思路.

思路一：利用函數(shù)的單調(diào)性求解

利用函數(shù)的單調(diào)性求解不等式恒成立問題，要先根據(jù)不等式的特點構(gòu)造合適的函數(shù)模型，然后根據(jù)導(dǎo)函數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)單調(diào)性的定義來判斷函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)的最值.一般地，f（x）≥a恒成立可轉(zhuǎn)化為f（x）≥a;f（x）≤b恒成立可轉(zhuǎn)化為f（x）≤b.

當(dāng)a>l時，x→0，logx→-∞，x→0，

∴f（x）→-∞，這與f（x）>0相矛盾，

我們還可以將不等式中的參數(shù)a分離，然后構(gòu)造函數(shù)，再利用導(dǎo)函數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性之間的關(guān)系來判斷函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而求得最值，這樣也能將問題轉(zhuǎn)

化為函數(shù)最值問題，從而求得參數(shù)的取值范圍.

當(dāng)a>1時，不滿足題意;

思路二：借助函數(shù)的圖象求解

對于形如或者可以變形為f（x）>（<）g（x）的不等

式，我們可采用數(shù)形結(jié)合法，借助函數(shù)的圖象來分析

問題.首先畫出函數(shù)y=f（x）和y=g（x）的圖象，然后借助圖形分析兩個函數(shù)圖象之間的位置關(guān)系，討論使不等式恒成立的臨界情形，據(jù)此建立關(guān)系式，求得問題的答案.

解：由logx-x>0得logx>x，

設(shè)y=logx，y=x，

當(dāng)a>1時，不滿足題意;

可見，函數(shù)的單調(diào)性和圖象是解答不等式恒成立

問題的重要工具.因此在解題時，同學(xué)們要學(xué)會將不等式恒成立問題與函數(shù)關(guān)聯(lián)起來，將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，利用函數(shù)的單調(diào)性、圖象來解題.