由一道多元變量最值題引發(fā)的思考

王金萍

多元變量最值問題中通常會涉及兩個或兩個以上的變量，因而此類問題的難度一般較大，且對同學們的代數(shù)運算、邏輯推理、數(shù)學抽象等能力有較高的要求.對此，筆者對一道典型的多元變量最值問題及其解法進行了研究，下面談一談個人的一些看法.

一、問題呈現(xiàn)

二、解法分析

方法1.基本不等式法

解：由4a-2ab+4b-c=0可得4（a+b）=c+10ab

通過對方程進行變形，得到ab，便可利用基本不等式得到關(guān)于的不等關(guān)系式.再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，分兩個情況：a=b>0和a=b<0討論a+b+c的最值.

方法2.判別式法

對于有關(guān)二次方程、函數(shù)、不等式的最值問題，我們都可將問題轉(zhuǎn)化為一元二次方程問題，利用方程的判別式來建立不等關(guān)系式.一般地，若變量的取值范圍為R，則判別式△≥0;若方程無解，則判別式△<0，據(jù)此建立關(guān)于目標式的不等式.通過解不等式，即可確定目標式的最值.

解：設a+b=t，則b=t-a，

將其代入4a-2ab+4b-c=0，整理可得10a-10at+4t-c=0，

顯然，關(guān)于非零實數(shù)a的二次方程有實數(shù)根，

結(jié)合題目中的已知條件，將目標式進行換元，便可構(gòu)建出一元二次方程，利用方程的判別式法來建立不等式，根據(jù)不等式的性質(zhì)來巧妙地將關(guān)系式a+b+c轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)式，再利用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，就能求得最值.

方法3.三角換元法

三角換元法是解答二元變量最值問題的常用方法.在解題時，可根據(jù)同角的三角函數(shù)關(guān)系式：sinθ+cosθ=1進行換元，如令x=sinθ、y=cosθ，將其代入題設中，便將問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)最值問題，根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性、有界性、圖象求得最值.

解：由4a-2ab+4b-c=0可得4a-2ab+4b=c>0，

方法4.權(quán)方和不等式法

解：由4a-2ab+4b-c=0 可得4a-2ab+4b=c>0，

方法5.導數(shù)法

導數(shù)法是解答有關(guān)函數(shù)、不等式、方程的最值問題的重要工具.在解題時，需首先根據(jù)題意構(gòu)造出函數(shù)模型，然后對其進行求導，通過分析導函數(shù)與0之間的關(guān)系，判斷出函數(shù)的單調(diào)性，確定極值;或根據(jù)導函數(shù)的幾何意義來確定臨界情形：曲線與直線相切，順利求得最值.

解：設f（a）=4a-2ab+4b-c，

把b=a代入4a-2ab+4b-c=0可得c=6a，

根據(jù)題意以a為自變量、b為因變量、c為常數(shù)，構(gòu)造函數(shù)f（a），通過求導，根據(jù)導函數(shù)的幾何意義求得切線的斜率，便可找到a+b取得最大值時的臨界情形，確定a、b的取值，從而根據(jù)關(guān)于c的二次函數(shù)式及其性質(zhì)求得最值.

可見，基本不等式法、判別式法、權(quán)方和不等式法、三角換元法、導數(shù)法均是解答多元變量最值問題的重要方法.在解答多元變量最值問題時，同學們要學會將問題與函數(shù)、方程、不等式、三角函數(shù)、解析幾何、導數(shù)等知識關(guān)聯(lián)起來，從不同的角度尋找不同的解題思路.