圖基BCJ關系的弦論導出

柳景沛，杜一劍

武漢大學物理科學與技術學院，湖北武漢430072

0 引言

近年來研究表明，楊-米爾斯理論樹級色排序散射振幅滿足非平庸的Bern-Carrasco-Johansson（BCJ）關系［1］，這與早期發(fā)現的Kleiss-Kuij（f KK）關系［2］一起對樹級色排序振幅的計算起到化簡作用。近期對愛因斯坦-楊-米爾斯理論振幅遞推展開公式［3～5］的研究引出了楊-米爾斯理論樹級色排序振幅的圖基BCJ關系。由于已有的KK和BCJ關系可以由弦論振幅關系的場論極限給出［6］，而場論中的圖基BCJ關系是已有BCJ關系的組合［7］，因此我們期望通過適當組合弦論散射振幅，導出場論中的圖基BCJ關系。

本文從具體例子出發(fā)，借助弦論中的KK和BCJ關系，找到弦論振幅滿足的圖基關系。這一關系在場論極限下給出了楊-米爾斯場振幅的圖基BCJ關系以及與其伴隨的圖基KK關系。

1 已知的弦論與場論散射振幅關系

樹級色排序楊-米爾斯場散射振幅滿足以下的KK關系［2］

其中，A(1，σ，n)表示給定排序(1，σ，n)下的楊-米爾斯場散射振幅；α，β是給定的粒子排序；βT表示β中粒子排序的逆序；符號表示兩個有序集的有序并集，在這個并集中每個有序集中元素保持原來的相對順序。楊-米爾斯場樹級色排序振幅還滿足以下BCJ關系

（2）式左邊定義為

在弦論中，開弦樹級散射振幅滿足如下關系［1，8］

AI表示相應色排序的開弦散射振幅。當考慮外線為開弦無質量態(tài)并取場論極限α'→0后，（4）式左右兩邊的實部相等，所以可推出（1）中的KK關系，等式右邊虛部為零則（2）式成立。因此，場論中的KK和BCJ關系可視為弦論中對應關系的近似。

文獻［5］提出了如下圖基BCJ關系

其中，F表示由點和線構成的樹圖；βi是任意選定的圖中的一個點，稱為基點；f(βi，βj)表示圖中βi與βj的距離，即圖中兩點相隔的最短路線的線段數表示一個排序的集合，其中元素的排序由下列規(guī)則確定：1）βi在排序最左邊；2）任意相鄰兩點與βi距離較近的排在左邊；3）當兩個分支連在同一點上時，可能的排序集合為各自分支排序的有序并集。這里以一個四點圖作為例子，如圖1所示，圖中的點表示一部分外粒子。

圖1 四點圖F4的一種情況Fig.1 A case of four-point graph F4

對應圖1的表達式為

文獻［7］證明了圖基BCJ關系等號左邊的式子可以表示為（2）式左邊項的組合。于是可以證明有如下的圖BCJ關系

本文給出弦論中的圖基散射振幅關系，這些關系在場論極限下可以導出相應的楊·米爾斯場圖基BCJ關系（5）。

2 少點弦散射振幅圖基關系及與場論的對應

通過整合弦論振幅關系，計算兩點、三點和一個四點的圖基BCJ關系。這一計算方法可以推廣至任意形式的圖基BCJ關系。

對于楊-米爾斯場理論，單點的圖基BCJ關系（5）會退化到一般BCJ關系（2）。因此，只需使用與文獻［6］中相同的方法，便可得到最終結果，同時得到相應的KK關系。在這里，可以看見弦散射振幅的BCJ及KK關系與場論的BCJ及KK關系有著一一對應的關系。后面可以看到，證明高點的圖基BCJ關系依賴于低點的這種對應。

先考慮兩點圖情況的弦論散射振幅關系，也就是選取β1為基點，且（5）式中F取圖2的情況。

圖2 兩點圖F2Fig.2 Two-point graph F2

為了找到與此情況對應的弦論中的關系，考慮如下的弦散射振幅組合

為了表示方便，有如下簡記

對于（8）式中的第一項，可以同樣利用（4）式寫成如下的關系

同理，對于（8）式第二項有

組合后?。?）式的虛部，因為式子是散射振幅的組合，其應該是實數，故虛部應為0，即

考慮（8）式的實部有如下關系

這兩個關系就是弦散射振幅的圖基BCJ和KK關系。在場論極限α'→0下，（13）式變?yōu)?/p>

（14）式就是相應的圖基KK關系。下面證明在場論極限下，（12）式退回到場的圖基BCJ關系。場論極限α'→0下，（12）式可寫為

（15）式等號左邊的第二項和（12）式第一項中i=2的項相加，可以得到

可以看到（16）式和（15）式第一項i=1的組合，正是楊-米爾斯場兩點圖基BCJ關系等式的右邊。由此印證了弦散射振幅與楊-米爾斯場之間的對應關系。

弦散射振幅在三點圖的情況下有兩種不同的形式，但是它們對應著場論中的同一個關系。下面考慮三點圖的弦論散射振幅關系，也就是定義式（5）中F取圖3時的情況。

圖3 三點圖F3Fig.3 T hree-point graph F3

我們首先考慮選取β1為基點。

考慮如下的弦散射振幅組合

對（17）式中的第一項，利用（4）式的規(guī)則寫成如下的關系

同理，對（17）式第二項有

對（17）式第三項有

組合后，由于（17）式是散射振幅的組合，故虛部為0，得到如下關系

再?。?7）式的實部，得到如下等式

這兩個關系就是弦散射振幅的圖基BCJ和KK關系。在場論極限下，（22）式變?yōu)?/p>

下面證明在場論極限下，（21）式退回到場的圖基BCJ關系。場論極限下（21）式可寫為

聯系之前寫出的BCJ關系式，（24）式中的第一項中i=2，3的部分可以記作

（25）式中B的定義與（3）式中的定義相同，β1?β2表示只包含在色排序中β1排在β2的左邊的那些項。（25）式和（24）式中的第二項結合得到

（26）式再與（24）式的最后一項合并，可以得到

對（27）式和（24）式的第一項求和，可以看到這正是三點的圖基BCJ關系。三點圖還有另一種情況，即依舊使用圖3，但以其中的中間點β2為基點。此時考慮如下的弦振幅組合

運用同樣的方法可以得到

這也是三點的圖基BCJ關系，只是基點不相同，因此與前一種方法得到的結果是相符合的。

考慮四點圖的弦論散射振幅關系。對于四點圖的散射振幅，也有多種不同情況，這里只重點計算最非平凡和有代表性的例子?？疾於x式（5）中F如圖1所示，以β4為基點的情況。考慮如下的弦散射振幅組合

對（30）式中的第一項，同樣利用公式（4）的規(guī)則寫成如下的關系

同理，對（30）式第二項有

對（30）式第三項有

對（30）式第四項有

與前面同樣的理由，等式（31）～（34）兩邊求和后式子的虛部為0，得到如下的關系

（31）～（34）式的實部相等，有

（35）和（36）式這兩個關系就是弦散射振幅的圖基BCJ和KK關系。在場論極限下，（36）式變?yōu)?/p>

下面證明在場論極限下，（35）式退回到場的圖BCJ關系。場論極限下（35）式可寫為

（38）式右邊的第四項i=1部分可以寫成

其中F1表示由β1組成的單點圖。（39）式和（38）式右邊第一項相加，得到如下結果

同樣的方法處理（38）式右邊的第四項i=2，3部分也能得到

3 結語

從本文的證明中可以看出，弦論中的開弦散射振幅關系與楊-米爾斯場的散射振幅關系存在對應。通過找到弦論振幅的圖基關系，并對其虛部取場論極限，就能方便地得到場論中的圖基BCJ關系。若對其實部取場論極限，可得到與圖基BCJ關系相伴隨的新關系。這一證明方法更加清晰地揭示了場論振幅與弦理論振幅之間的關聯。如何將相關討論推廣至圈級振幅，仍有待進一步研究。