無標度網(wǎng)絡上帶有隔離項的時滯SIQRS模型穩(wěn)定性分析

徐云程，胡 華寧夏大學數(shù)學統(tǒng)計學院，寧夏銀川750021

0 引言

隨著復雜網(wǎng)絡這門新興學科的迅速興起及無標度網(wǎng)絡的提出［1］，人們發(fā)現(xiàn)生活中大量的復雜系統(tǒng)均表現(xiàn)出無標度性（度分布為P(k)=Ck-γ(2＜γ≤3)），如萬維網(wǎng)、交通網(wǎng)、接觸網(wǎng)等［2，3］。于是利用復雜網(wǎng)絡研究傳染病的動力學行為引起了許多學者的廣泛關注［4～7］，其中最為經(jīng)典的是文獻［6］，它在研究無標度網(wǎng)絡上的SIS模型時發(fā)現(xiàn)：當網(wǎng)絡規(guī)模趨于無窮大時，傳播閾值趨于零，這很好地解釋了計算機病毒長期存在而不能絕跡的原因。隔離措施在控制傳染病的傳播中發(fā)揮著舉足輕重的作用，為探究隔離措施對控制疾病傳播的影響，文獻［7］提出了復雜網(wǎng)絡上帶有隔離項及疫苗接種的SIQRS傳染病模型

其中，Sk(t)，Ik(t)，Qk(t)，Rk(t)分別表示t時刻度為k(=1，2，…，n)的易感者、感染者、隔離者、恢復者的密度，Θ(t)=表示任意一條給定的邊與一個染病者相連的概率，k(=1，2，…，n)表示節(jié)點的度（即一個人在單位時間內(nèi)接觸的人數(shù)），β表示傳播率系數(shù)，α是易感者的疫苗接種率，δ是恢復者的失去免疫率，σ是感染者的隔離率，γ是感染者的治愈率，ε是隔離者的治愈率。

事實上，許多傳染病在傳播過程均表現(xiàn)出時滯性，主要有潛伏期時滯、免疫期時滯、感染期時滯［8，9］等。文獻［10］分析了時滯、非線性發(fā)病率等因素對無標度網(wǎng)絡上的SIS模型動力學行為的影響。文獻［11］研究了無標度網(wǎng)絡上具有時滯的SEIRS傳染病模型，表明時滯對基本再生數(shù)無影響。文獻［12］通過選取時滯作為分支參數(shù)，得到了具有非線性發(fā)病率的時滯SEIS模型Hopf分支存在的條件。文獻［13］研究了預警意識、延遲提供預警資金對經(jīng)典SEIR模型動力學行為的影響。這些研究在建立模型時均假設時滯為單值，然而許多病原體的感染期和潛伏期等會隨著環(huán)境的變化而發(fā)生變化，不同的感染者由于自身健康狀況的差異性，恢復期也會有所不同，為更好地揭示這種時滯現(xiàn)象，文獻［14］通過將t時刻的發(fā)病率假設為提出了復雜網(wǎng)絡上具有分布時滯的SIR模型，其中表示感染個體在潛伏期的存活概率，可積函數(shù)f(τ)用來描述感染性隨時間變化的情況，滿足f(τ)≥0，τ∈[0，∞)且

由于復雜網(wǎng)絡上的傳染病模型維數(shù)較高，分析其動力學行為較為困難，所以文獻［7］未討論地方病平衡態(tài)的穩(wěn)定性；文獻［14］所構建的SIR模型未考慮疫苗注射、隔離措施等因素的影響，所以模型耦合度較低，故作者將模型解耦后利用基爾霍夫矩陣樹定理分析了模型的全局動力學行為。本文綜合考慮了文獻［7］中的隔離措施、疫苗注射及文獻［14］中的時滯因素，提出了無標度網(wǎng)絡上帶有隔離項的時滯SIQRS模型

1 平衡態(tài)的存在性

顯然，模型（2）的初值滿足

定理1令(S1(t)，I1(t)，Q1(t)，R1(t)…，Sn(t)，In(t)，Qn(t)，Rn(t))為模型（2）滿足初值條件（3）的解，則當t＞0時，有0＜Sk(t)，Ik(t)，Qk(t)，Rk(t)＜1(k=1，2，…，n)且0＜Θ(t)＜1。

證首先證明當t＞0時，有Ik(t)＜1(k=1，2，…，n)。因為Ik(t)連續(xù)，所以存在一個ξ＞0，使得當t∈(0，ξ)有Ik(t)＜1。假設當t＞0時，Ik(t)=1(k=1，2，…，n)，則存在一個t0≥ξ＞0，使得Ik(t0)=1，且當t∈(0，t0)有Ik(t)＜1。

接著證明當t＞0時，有Ik(t)＞0(k=1，2，…，n)。對模型（2）的第二個式子兩邊從0到t積分可得

假設當t＞0時，有Ik(t)=0(k=1，2，…，n)，則存在一個t1＞0，使得Ik(t1)=0。而由（4）式可知

與假設矛盾，所以當t＞0時，有Ik(t)＞0(k=1，2，…，n)。

綜上可得，當t＞0時，有0＜Ik(t)＜1(k=1，2，…，n)。

顯然，當t＞0時，有0＜Θ(t)＜1。同理可證，當t＞0時，有0＜，Qk(t)，Rk(t)＜1(k=1,2,…,n)。

使用歸一化條件，有

將（5）式代入Θ得

2 平衡態(tài)的全局穩(wěn)定性

2.1 無病平衡態(tài)的穩(wěn)定性

為書寫方便，這里將“～”省略。接著探究線性模型（8）的穩(wěn)定性，不妨假設其有如下形式的指數(shù)解

其中Sk0，Ik0，Qk0，Rk0(k=1，2，…，n)表示模型（8）的初值，將（9）式代入模型（8）得

其中，ρ為模型（8）的特征值。令

通過計算得：矩陣A有n重特征值-μ，n重特征值-(μ+δ+α)及n重特征值-(μ+ε)，為得到矩陣A的其余特征值，定義

通過相似變換，可得矩陣Λ的相似矩陣

顯然，矩陣Λ*有n-1重特征值-(σ+γ+μ)及特征值

假設η=a+bi，則有

分離實部和虛部得

接著，考慮無病平衡態(tài)的全局穩(wěn)定性。

接著，構造一個滿足Mk(0)=Ik(0)≥0的等價系統(tǒng)如下

由比較原則得

令ε2→0有

2.2 地方病平衡態(tài)的穩(wěn)定性

定理5定義

定義李雅普諾夫函數(shù)

定的。對任意給定的ε＞0，定義

注1由

3 數(shù)值模擬

首先，利用BA算法［1］生成一個含有800個節(jié)點的無標度網(wǎng)絡Q，生成參數(shù)為m0=5，m=1，下面的數(shù)值模擬基于網(wǎng)絡Q進行。

例1選取參數(shù)μ=0.5，δ=0.7，σ=0.8，γ=0.5，α=0.9，β=0.6，ε=0.9，f(τ)=0.5e-0.5τ，0≤τ≤∞，得R0=易感者、感染者、隔離者、恢復者隨時間變化的軌跡如圖1。從圖1可以看出無病平衡態(tài)全局漸近穩(wěn)定，這說明了定理3的有效性。當τ分別取3、4、5，感染者的密度隨時間的變化軌跡如圖2，疾病最終消失。

圖1 R0＜1時的時間序列圖Fig.1 The time series with R0＜1

圖2 R0＜1時具有不同τ的時間序列圖Fig.2 The time series with differentτwhen R0＜1

例2選取參β=0.6，μ=0.05，δ=0.08，σ=0.06，γ=0.15，α=0.1，ε=0.1，f(τ)=0.5e-0.5τ，0≤τ≤易感者、感染者、隔離者、恢復者隨時間變化的軌跡如圖3。從圖3可看出地方病平衡態(tài)全局漸近穩(wěn)定，這說明了定理4的有效性。當τ分別取3、4、5，感染者的密度隨時間的變化軌跡如圖4，疾病永久存在?！?，得

圖3 R0＞1時的時間序列圖Fig.3 The time series with R0＞1

圖4 R0＞1時具有不同τ的時間序列圖Fig.4 The time series with differentτwhen R0＞1

4 結語

本文綜合考慮了接觸異質(zhì)性、隔離措施、疫苗注射、時滯等因素，建立了更加符合實際的無標度網(wǎng)絡上帶有隔離項的時滯SIQRS模型。分析了網(wǎng)絡的拓撲結構、時滯、隔離措施等因素對基本再生數(shù)R0大小的影響，發(fā)現(xiàn)基本再生數(shù)R0與網(wǎng)絡的異質(zhì)性呈正相關、與隔離率σ呈負相關、與疾病的感染性f(τ)呈正相關。通過構造合適的李雅普諾夫函數(shù)證明了平衡態(tài)的全局穩(wěn)定性，結果表明：當R0≤1時，無病平衡態(tài)全局漸近穩(wěn)定，即疾病最終消失；否則地方病平衡態(tài)全局漸近穩(wěn)定，即疾病永久存在。利用MATLAB軟件對分析結果進行了數(shù)值模擬，發(fā)現(xiàn)當R0＜1時，時滯減緩了疾病的傳播；當R0＞1時，時滯促進了疾病的傳播。

雖然隔離措施可以降低基本再生數(shù)，但由于隔離措施會對經(jīng)濟發(fā)展產(chǎn)生消極的影響，且當基本再生數(shù)R0≤1時，隔離措施無法起到控制疾病傳播的作用，只有當基本再生數(shù)R0＞1時，隔離措施可以在一定程度控制疾病的傳播。因此，選擇恰當?shù)臅r機實施隔離措施既能有效地控制疾病的傳播，也不會對經(jīng)濟發(fā)展產(chǎn)生太大的影響。

由于本文所建模型耦合度較高，所以如何構造合適的李雅普諾夫函數(shù)來分析其動力學行為有一定的挑戰(zhàn)性，故本文利用歸一化條件和線性變換將模型進行降維及線性化處理。其次，由于復雜網(wǎng)絡上的傳染病模型維度較高，因此如何從理論上給出復雜網(wǎng)絡上的時滯傳染病模型Hopf分支存在的條件是一個值得研究的課題。事實上，由于生物系統(tǒng)中環(huán)境的變化，疾病在傳播過程中或多或少都會受到隨機噪聲的影響，所以將隨機干擾引入到模型中是隨后的一個研究方向。