基于偏好矩陣和覆蓋需求的護士排班模型研究

楊 媚

（樂山職業(yè)技術(shù)學(xué)院 財經(jīng)管理系，四川 樂山 614000）

引言

隨著醫(yī)療模式的轉(zhuǎn)變，護理理念發(fā)生了巨大變化。如何合理配置護理人力，提高護理工作質(zhì)量與服務(wù)水平，是我國護理管理者積極探索的重要問題。

已有文獻對護士排班、加班進行研究，大多側(cè)重對算法研究[1,2,3]，但對護士排班模型對影響護士排班的偏好、人員需求等因素進行定量研究研究較少[4,5]，本文結(jié)合我國醫(yī)院的實際情況考慮護士排班的連續(xù)性、均衡性、合理性、公平性、人性化等多方面因素，構(gòu)建以APN 護士排班模式為基礎(chǔ)，考慮護士偏好和覆蓋需求的整數(shù)規(guī)劃模型，改進已有文獻的偏好矩陣與覆蓋需求產(chǎn)生方法，運用Gurobi 優(yōu)化器和python 語言編程，選取滿意的偏好和覆蓋需求指標(biāo)[6,7,8]，得到較優(yōu)的排班方案，合理地縮減了醫(yī)院成本、提高了護士滿意度、提升了病人滿意度。

1 偏好矩陣和覆蓋需求

1.1 符號說明

N：護士總?cè)藬?shù)；S：班次類型總數(shù)；D：排班周期（天）；yil=1：護士i 對某一天某個班次選擇的偏好程度為l；yil=0：護士i 對某一天某個班次選擇的偏好程度不為l；rjz：第j 天班次z 對護士的需求量；rˉ：整個排班周期中每一天護士的平均需求量；rˉj：第j 天每個班次護士的平均需求量；pijz：護士i 在第j 天對班次z 的偏好。

1.2 護士偏好及覆蓋需求分布指標(biāo)

1.2.1 護士偏好分布

護士偏好分布（Nurse-preference distribution，NPD）

1.2.2 班次偏好分布

班次偏好分布（Shift-preference distribution，SPD）

1.2.3 工作日偏好分布

工作日偏好分布（Day-preference distribution，DPD）

1.2.4 總體覆蓋約束總體覆蓋約束(Total-coverage constrainedness，TCC)

1.2.5 日需求分布

日需求分布（Day-coverage distribution，DCD）

1.2.6 班次需求分布

班次需求分布（Shift-coverage distribution，SCD）

1.3 偏好矩陣的生成

在已知1.2 六個指標(biāo)值的情況下，獲得相應(yīng)的多組隨機偏好矩陣。根據(jù)Maenhout B,Vanhoucke M 提出給出的護士排班實例產(chǎn)生法（NSPGen），引入兩個約束條件簡化矩陣的產(chǎn)生過程。在指標(biāo)取表1 所示的不同數(shù)值時，隨機產(chǎn)生護士偏好矩陣。

表1 指標(biāo)取值

1.3.1 改進的護士偏好矩陣的產(chǎn)生法

Maechout B, Vanhoucke M 提出，首先隨機產(chǎn)生班次列，然后在班次列產(chǎn)生的基礎(chǔ)上隨機組合產(chǎn)生日矩陣，最后在隨機組合產(chǎn)生日矩陣的基礎(chǔ)上產(chǎn)生周期矩陣。由式（1）得到一個方程組（7），x 表示護士對班次S1 的偏好人數(shù)，y 表示護士對班次S2 的偏好人數(shù)，z 表示護士對班次S3 的偏好人數(shù)，考慮到排班的實際情況，每個班次都需要有護士上班，且在實際情況下，同一護士一天上兩種以上班次可能性小，故假設(shè)對三種班次偏好人數(shù)之和為護士人數(shù)之和。m 為N/S，M 表示NPD 與的乘積。因此，式（7）的N、M、m 為常數(shù)，可產(chǎn)生符合NPD 值的可能的班次列，再通過C 語言編程產(chǎn)生偏好矩陣，減少了計算機重復(fù)運算次數(shù)。

1.3.2 改進的護士覆蓋需求的產(chǎn)生法

由式（4）、（5）、（6）得到式（8）。x1、x2、…、xD分別表示每天上班的護士數(shù)，yj1、yj2、yj3分別表第j天每個班次上班的護士數(shù)，G 表示可能的 最 大值 與DCD 的 乘積，H 表 示可能的最大值與SCD 的乘積。因此，式（8）的TCC、N、G、H 均為常數(shù)，得方程的可行解，通過C 語言編程隨機產(chǎn)生需要的覆蓋需求分布。

2 護士排班模型

2.1 符號說明

z：采用APN 排班模型，上班類型有早（A）、中（P）、晚（N）三種類型：A 班07：30 -15:30，P 班15:00-22:30，N 班22:00-8:00；n：護士數(shù)量；g：護士等級；m：排班周期；Cijz：第i 名護士在第j 天上第z種類型的班所獲得的工資；xijz：是否第i 名護士在第j 天上第z 種類型的班，如果是取值為1，否則為0；Dgjz：在第j 天z 種班次時對等級為g 的護士的需求數(shù)；qig：如果第i 名護士的等級不低于g，qig取值為1，否則為0；low: 護士在一個排班周期內(nèi)工作班次數(shù)的下限；up: 護士在一個排班周期內(nèi)工作班次數(shù)的上限；wijz：是否第i 名護士在第j 天z 種類型的班請假，如果是取值為1，否則為0；ai3：第i 名護士是否上夜班。α：醫(yī)院成本的權(quán)重；β：護士偏好的權(quán)重。

2.2 排班模型

根據(jù)我國醫(yī)院護士排班的一般情況建立規(guī)劃模型的數(shù)學(xué)表達式如下：

式(9)為目標(biāo)函數(shù)，由工資成本和護士偏好兩部分組成，表示醫(yī)院成本最小化和護士偏好值最小化（即護士滿意度最大化），一般可分別考慮Cijz和pijz為工資等級（系數(shù)）與偏好等級（系數(shù)）。式(10)至式(17)為約束條件，式(10)表示第j 天第z種類型的班對級別為g 的護士的需求數(shù)不能低于Dgjz；式(11)、(12)表示對排班周期內(nèi)每位護士上班天數(shù)的上下限；式(13)表示每位護士每天只能上某一種類型的班；式(14)表示護士上完夜班之后緊鄰的一天地需要休息一天；式(15)表示護士不能連續(xù)三天上班，即連續(xù)三天中，至少有一天休息；式(16)表示第i 位護士在第j 天上第z 種類型的班請假；式(17)表示第i 位護士不上晚班。

2.3 模型復(fù)雜度分析

該模型是一個典型的0-1 規(guī)劃模型，包含n×m×z 個決策變量，該模型中z 的取值為3，包含m×z+2n+2×m×n+m×n×z 個約束條件。約束條件和目標(biāo)函數(shù)都是線性的。

3 算例分析

假設(shè)某醫(yī)院科室有護士18 名，排班周期為14天，護士的等級和上班日工資系數(shù)見表2；每天每個班次的人員需求數(shù)見表3。其中N1 為護士長，不上夜班；N6、N7、N12 已經(jīng)滿50 歲也不上夜班，N8 在第7 個排班日請假。排班周期內(nèi)每位護士至少上5 次班，最多上10 次班。α、β的取值分別為0.7 和0.3。進行排班。

表2 護士等級及工資表

表3 各班次需求人數(shù)

根據(jù)偏好矩陣的生成方法（見1.3），在指標(biāo)取不同數(shù)值（見表1）時，產(chǎn)生100 個指定指標(biāo)值下的班次列，再由班次列產(chǎn)生40 組符合指標(biāo)值的日偏好矩陣，接著由日偏好矩陣組合產(chǎn)生算例中所需要的周期偏好矩陣。產(chǎn)生多組不同的偏好矩陣后，將產(chǎn)生的每組偏好矩陣代入排班模型進行求解，直到有10 組可行解為止，最后分別計算這10 組解的CPU 運算時間與目標(biāo)函數(shù)值的平均值，如表4，它們的對比情況見圖1。本文采用python語言編程由Gurobi5.0.0 優(yōu)化器對該模型求解。

圖1 不同指標(biāo)下的運算時間（s）和目標(biāo)值

表4 不同指標(biāo)值下的CPU 運算時間（s）和目標(biāo)值

從圖1 可看出，NPD 值越高，即護士對某班次的偏好程度越高，排班就越復(fù)雜，目標(biāo)值也越高。SPD 值由低到高時，CPU 值呈現(xiàn)出一種高低高的狀態(tài)，當(dāng)SPD 值為0.25 時，CPU 速度最快，即排班最容易，目標(biāo)值也比較低。DPD 取值由低到高時，也呈現(xiàn)出高低高的狀態(tài)，說明護士對排班周期中的班次存在一定的偏好是比較好的，有利于排班的需要。SCD 表明當(dāng)每一班次護士需求數(shù)相同和某一班次護士需求數(shù)最多，其他班次需求量幾乎為0 時，排班最快捷，目標(biāo)值最小。DCD表明護士需求分布平均容易排班，且目標(biāo)值最小。TCC 表明利用率越低越容易排班。

從圖1 中可以看到，當(dāng)SPD 和DPD 在取值為0.25 時，CPU 速度最快且目標(biāo)值最低，其他值則是越小也好，因此，為了得到較優(yōu)的排班結(jié)果，我們?nèi)PD 和DPD 的值為0.25，同樣用2.3 提到的方法產(chǎn)生偏好矩陣，并計算出這些矩陣的指標(biāo)值，選取NPD 值最低（NPD=0.3）的一組數(shù)據(jù)，代入3.2 中的排班模型中進行計算，排班方案結(jié)果見表5。

表5 護士排班方案（SPD=0.25 DPD=0.25 NPD=0.3）

4 結(jié)束語

本文根據(jù)我國醫(yī)院護士排班的實際情況建立較為合理的整數(shù)規(guī)劃模型，并改進了護士偏好和覆蓋分布指標(biāo)的求解方法，最后通過編程對算例給出了較優(yōu)的排班方案。結(jié)果表明，考慮醫(yī)院成本和護士偏好，更好地體現(xiàn)了醫(yī)院護士排班工作的人性化，同時有利于醫(yī)院高效地有針對性地招聘護士，應(yīng)用偏好矩陣分配各科室護士等。