基于多性能約束的連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化設計

占金青，彭怡平，劉 敏，黃志超

(華東交通大學 機電與車輛工程學院，江西 南昌 330013)

0 引言

拓撲優(yōu)化是在給定的結(jié)構(gòu)設計域、作用載荷、固定邊界及約束條件下尋求最佳材料分布，使其性能指標達到最優(yōu)，它是一種非常有效的概念設計方法[1-3]?，F(xiàn)有研究大多采用剛度最大化的拓撲優(yōu)化模型[4-5]獲得具有最佳載荷傳遞路徑的拓撲結(jié)構(gòu)，計算效率較高，然而獲得的拓撲結(jié)構(gòu)通常不能達到靜強度和疲勞性能的要求，難以滿足實際工程需要。因此，考慮靜強度和疲勞性能約束進行連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化設計非常必要。

為了滿足靜強度要求，需要采用應力約束進行結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化設計。DUYSINX等[6]首先采用局部應力約束進行連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化研究，然而局部應力約束導致計算效率較低；CHU等[7-8]采用應力懲罰方法處理局部應力約束，進行多相材料結(jié)構(gòu)應力約束拓撲優(yōu)化設計，避免了大量的局部應力約束；LE等[9]和MENG等[10]采用P范數(shù)將大量局部應力約束轉(zhuǎn)為全局應力約束，進行結(jié)構(gòu)全局應力約束拓撲優(yōu)化設計研究，大大提高了計算效率，但是拓撲結(jié)構(gòu)邊界容易出現(xiàn)較多中間密度單元；王選等[11]提出一種改進的雙向漸進結(jié)構(gòu)優(yōu)化法，進行全局應力約束下的柔順度最小化結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化設計，能夠減少結(jié)構(gòu)邊界出現(xiàn)的灰度單元；占金青等[12]采用可分離插值模型計算多相材料結(jié)構(gòu)的各相材料結(jié)構(gòu)應力，利用全局應力約束方法進行多相材料結(jié)構(gòu)拓撲撲優(yōu)化設計；易桂蓮等[13]引入單元重量懲罰函數(shù)和材料許用應力懲罰函數(shù)，以構(gòu)造結(jié)構(gòu)畸變能約束代替應力約束，建立了板殼結(jié)構(gòu)強度拓撲優(yōu)化模型；LONG等[14]在諧激勵作用下進行基于全局動應力約束的結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化設計；COLLET等[15]采用qp方法進行周期微結(jié)構(gòu)應力約束拓撲優(yōu)化設計，能夠避免應力約束奇異解問題，而且有效限制了材料微結(jié)構(gòu)的應力水平。

相對于考慮應力約束的拓撲優(yōu)化問題，有關(guān)基于疲勞性能約束的結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化設計研究較少。LEE等[16]采用頻域疲勞評估方法進行結(jié)構(gòu)疲勞壽命約束拓撲優(yōu)化設計；葉紅玲等[17]引入疲勞壽命過濾函數(shù)，提出基于獨立、連續(xù)、映射方法的結(jié)構(gòu)疲勞壽命約束拓撲優(yōu)化設計方法；ZHAO等[18]在周期性隨機動態(tài)載荷作用下，提出基于Crossland準則的結(jié)構(gòu)疲勞約束拓撲優(yōu)化設計方法；COLLET等[19]提出基于Goodman準則的結(jié)構(gòu)疲勞約束拓撲優(yōu)化設計方法，將結(jié)構(gòu)疲勞約束轉(zhuǎn)化為局部應力約束。在此基礎上，NABAKI等[20]提出連續(xù)體結(jié)構(gòu)全局疲勞約束拓撲優(yōu)化設計方法；侯杰等[21]等在機械連接載荷作用下，將疲勞準則作為設計約束進行結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化設計。上述研究僅單獨考慮靜強度約束或疲勞性能約束進行結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化設計，獲得的拓撲構(gòu)型通常難以同時滿足靜強度和疲勞多性能指標的要求。

為了滿足多性能指標要求，本文提出一種考慮靜強度和疲勞約束的連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化設計方法，以帶符號的von Mises等效應力的幅值和均值絕對值之和評定結(jié)構(gòu)靜強度，用修正的Goodman疲勞準則評價結(jié)構(gòu)疲勞強度，將結(jié)構(gòu)靜強度和疲勞約束分別轉(zhuǎn)化為不同的應力約束，再采用P范數(shù)對局部單元應力進行近似最大處理，將多個局部約束轉(zhuǎn)化為全局應力約束，以結(jié)構(gòu)的體積份數(shù)最小化為目標函數(shù)，建立考慮靜強度和疲勞性能約束的連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化模型，并將移動漸近線算法用于求解多性能約束優(yōu)化問題，研究不同幅值和均值參數(shù)對拓撲優(yōu)化結(jié)果的影響。

1 結(jié)構(gòu)疲勞分析

假設在正弦載荷作用下，采用準靜態(tài)分析方法進行有限元分析，有限元平衡方程為

KU=Fmax。

(1)

式中：K為總裝剛度矩陣；U為單元節(jié)點位移列陣；Fmax為最大載荷列陣。

因此，單元應力及其幅值和均值分別為：

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

式中：Fmax和Fmin分別為正弦載荷的最大值和最小值。

(7)

(8)

由式(8)可知，單元von Mises等效應力總為正值，實際上結(jié)構(gòu)的單元von Mises等效應力均值可能為負值。如果采用恒為正值的von Mises等效應力評估疲勞強度，則不能準確反映結(jié)構(gòu)動特性特征的等效應力。因此，采用帶符號的von Mises等效應力[22]表征單元應力均值

(9)

采用修正的Goodman疲勞準則評估疲勞強度，將疲勞性能約束轉(zhuǎn)為單元e(e=1,2,3,…,N)應力約束：

(10)

(11)

式中：σNf為無限循環(huán)次數(shù)(疲勞壽命次數(shù)Nf≥107)下的許用臨界應力幅值；σut為拉伸強度；N為有限元單元數(shù)。

許用臨界應力幅值σNf采用Basquin方程求得：

(12)

2 基于靜強度和疲勞性能約束的拓撲優(yōu)化模型

2.1 拓撲優(yōu)化模型

采用材料屬性有理近似(Rational Approximation of Material Properties, RAMP)模型[23]對單元的材料彈性模量進行懲罰，使任一單元的彈性模量與單元密度呈一定的非線性函數(shù)關(guān)系：

(13)

式中：Ee為單元的彈性模量；ρe為單元的密度變量，即單元設計變量；k為懲罰因子；E0為實體材料的彈性模量。

為了同時滿足靜強度和疲勞性能要求，用帶符號的von Mises等效應力的幅值和均值絕對值之和評定結(jié)構(gòu)靜強度，用修正的Goodman疲勞準則評價結(jié)構(gòu)的疲勞強度，形成由4個L1,e，L2,e，L3,e，L4,e約束和坐標軸圍成的安全區(qū)域，如圖1所示，其中應力約束L1,e和L2,e為疲勞性能約束，L3,e和L4,e為靜強度約束。以結(jié)構(gòu)的體積份數(shù)最小化為優(yōu)化目標，建立考慮靜強度和疲勞性能約束的結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化數(shù)學模型：

s.t.

0≤ρe≤1，e=1,2,3,…,N。

(14)

2.2 全局應力約束

為了避免應力約束優(yōu)化問題的奇異解現(xiàn)象，采用應力松弛方法[25]對單元應力矢量進行懲罰，任一單元的應力可表示為

(15)

式中q為松弛因子，取值為0.5。

由式(14)的數(shù)學模型可知，將結(jié)構(gòu)的優(yōu)化區(qū)域劃分為N個單元，添加靜強度和疲勞性能約束，意味著每個單元都有4個局部應力約束，總的局部約束為4N個，求解靈敏度的計算成本巨大。因此，采用P范數(shù)[9]對各類局部應力約束Li,e(i=1,2,3,4)進行近似最大處理，將其轉(zhuǎn)化為多個全局約束優(yōu)化問題，從而大大提高計算效率。對于任一應力約束Li,e，P范數(shù)應力約束值Li,PN可以表示為

(16)

式中p為P范數(shù)的參數(shù)。

理論上，當參數(shù)p趨近無窮大時，P范數(shù)應力約束Li,PN(i=1,2,3,4)近似等于對應的最大約束Li,max，然而參數(shù)p的值越大，引起多性能約束優(yōu)化問題的非線性程度越明顯，甚至導致優(yōu)化迭代不收斂[9]，因此一般p的取值范圍為6～12，本文取p=8，數(shù)值算例能夠獲得很好的拓撲優(yōu)化結(jié)果。

由于p=8，P范數(shù)應力約束值Li,PN(i=1,2,3,4)與對應的最大約束值Li,max的差異較大。為此，采用自適應約束縮放方法[26]將P范數(shù)應力約束改寫為

Li,max=γiLi,PN,i=1,2,3,4。

(17)

式中γi為縮放參數(shù)。當?shù)綌?shù)為n時，

i=1,2,3,4。

(18)

(19)

(20)

2.3 靈敏度分析

采用基于梯度的移動漸近線算法[27]求解考慮靜強度和疲勞性能約束的結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化問題，需要進行優(yōu)化目標和約束的靈敏度分析。

結(jié)構(gòu)體積份數(shù)對單元密度變量的靈敏度表示為

(21)

由式(14)、式(16)和式(17)求得任一Li,max(i=1,2,3,4)應力約束的靈敏度為

(22)

引入伴隨矢量λ，使下列伴隨方程成立：

(23)

則有

(24)

由式(14)和式(16)可得Li,PN對ue的偏導：

(25)

(26)

同理可得Li,PN對ρe的偏導：

(27)

(28)

(29)

(30)

(31)

(32)

式中：x和y為任意兩個實數(shù)；ε為無窮小量。

由式(14)和式(32)有：

(33)

(34)

(35)

(36)

由式(2)可得σe分別對ρe和ue的偏導：

(37)

(38)

由式(13)可得Ke對ρe的靈敏度

(39)

3 數(shù)值算例

3.1 L型梁

圖2所示為L型梁的設計域、固定邊界與載荷條件，尺寸為100 mm×100 mm。L型梁的左上端為固定邊界，載荷作用在右下端中點，正弦載荷的最大值為150 N，均勻施加在6單元節(jié)點上(如圖2的局部放大圖)，以避免施加集中載荷造成區(qū)域應力集中。L型梁設計域劃分為6 400個四節(jié)點單元。

首先，采用基于靜強度和疲勞性能約束拓撲優(yōu)化模型對L型梁進行設計，并與僅考慮剛度優(yōu)化的拓撲優(yōu)化結(jié)果進行比較。剛度優(yōu)化設計采用體積約束下的柔順度最小化拓撲優(yōu)化模型，結(jié)構(gòu)的體積份數(shù)允許值由考慮靜強度和疲勞性能約束拓撲優(yōu)化結(jié)果確定，其他所有設計參數(shù)的取值均相同，并在相同的正弦載荷條件下采用修正的Goodman圖對剛度優(yōu)化獲得的拓撲結(jié)構(gòu)進行疲勞性能評價。在ca=0.4，cm=0.6的正弦載荷條件下，基于靜強度和疲勞性能約束的L型梁結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化結(jié)果如圖3所示，僅考慮剛度優(yōu)化的L型梁結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化結(jié)果如圖4所示，不同拓撲優(yōu)化模型獲得的L型梁優(yōu)化結(jié)果如表1所示。

表1 不同拓撲優(yōu)化模型獲得的L型梁優(yōu)化結(jié)果

剛度優(yōu)化獲得的L梁拓撲構(gòu)型的內(nèi)凹角拐角區(qū)域存在突變邊界，導致明顯的應力集中現(xiàn)象，結(jié)構(gòu)的最大von Mises等效應力為212.603 MPa，由修正的Goodman圖(如圖4c)和表1可知獲得的L梁拓撲結(jié)構(gòu)不滿足L1,e和L3,e應力約束，因此既不能滿足靜強度又不能滿足疲勞性能要求。與剛度優(yōu)化結(jié)果不同，考慮靜強度和疲勞性能拓撲優(yōu)化獲得的L型梁拓撲構(gòu)型，其內(nèi)凹角拐角區(qū)域有近似弧形的結(jié)構(gòu)，能夠有效抑制應力集中現(xiàn)象，使應力分布更加均勻，最大的von Mises等效應力為165.054 MPa，由修正的Goodman圖(如圖3c)和表1可知，所得L型梁拓撲構(gòu)型滿足L1,e，L2,e，L3,e，L4,e4個應力約束，能夠同時滿足靜強度和疲勞多性能指標的要求。

考慮不同幅值系數(shù)和均值參數(shù)的正弦載荷作用對結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化結(jié)果的影響，選取(ca=0.2,cm=0.8)，(ca=0.6，cm=0.4)，(ca=0.8，cm=0.2)3種正弦載荷條件，進行考慮靜強度和疲勞性能的L型梁結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化設計，L型梁拓撲構(gòu)型的內(nèi)凹角拐角區(qū)域均出現(xiàn)近似弧形的邊界，結(jié)構(gòu)應力分布均勻，分別如圖5～圖7所示，不同正弦載荷條件下的L型梁優(yōu)化結(jié)果如表2所示；由修正的Goodman線圖(圖5c、圖6c和圖7c)和表2可知，3種載荷條件獲得的L型梁拓撲構(gòu)型均滿足L1,e，L2,e，L3,e，L4,e4個應力約束，能夠同時滿足靜強度和疲勞多性能指標的要求。隨著正弦作用載荷的幅值系數(shù)ca的增加，L型梁拓撲結(jié)構(gòu)需要更多用材，以同時滿足靜強度和疲勞性能的要求。

表2 不同正弦載荷條件下的L型梁優(yōu)化結(jié)果

3.2 懸臂梁

圖8所示為懸臂梁的設計域、固定邊界和載荷條件，尺寸為100 mm×50 mm，其左端為固定邊界，載荷作用在右下端，正弦載荷的最大值為150 N，均勻分布在六單元節(jié)點上，設計域劃分為5 000個四節(jié)點單元。

在σa=0.5,cm=0.5正弦載荷條件下，進行考慮靜強度和疲勞性能的懸臂梁拓撲優(yōu)化設計，優(yōu)化結(jié)果如圖9所示，僅考慮剛度優(yōu)化的懸臂梁拓撲優(yōu)化結(jié)果如圖10所示，不同拓撲優(yōu)化模型獲得的懸臂梁優(yōu)化結(jié)果如表3所示。剛度優(yōu)化獲得的懸臂梁拓撲構(gòu)型存在明顯的應力集中現(xiàn)象，最大應力集中在固定邊界區(qū)域，最大的von Mises等效應力為243.369 MPa；由修正的Goodman圖(如圖10c)和表3可知，獲得的懸臂梁結(jié)構(gòu)不滿足L1,e，L2,e，L3,e，L4,e4個應力約束，既不能滿足靜強度又不能滿足疲勞性能的要求。不同于剛度優(yōu)化，考慮靜強度和疲勞性能拓撲優(yōu)化獲得的懸臂梁拓撲構(gòu)型的應力分布更加均勻，其最大的von Mises等效應力更小，為164.439 MPa；但是由于存在較小尺寸的空洞，可能給制造加工帶來一定困難，可以添加制造尺寸約束來消除空洞。同樣地，由修正的Goodman圖(如圖9c)和表3可知，優(yōu)化獲得的懸臂梁拓撲結(jié)構(gòu)很好地滿足了L1,e，L2,e，L3,e，L4,e4個應力約束，說明其能夠同時滿足靜強度和疲勞多性能指標的要求。

表3 不同拓撲優(yōu)化模型獲得的懸臂梁優(yōu)化結(jié)果

同樣選取σa=0.3，cm=0.7和σa=0.7，cm=0.3兩種正弦載荷條件，進行考慮靜強度和疲勞性能的懸臂梁拓撲優(yōu)化設計，獲得的懸臂梁拓撲構(gòu)型分別如圖11和圖12所示，結(jié)構(gòu)的應力分布均勻，不同正弦載荷條件下的懸臂梁優(yōu)化結(jié)果如表4所示。由修正的Goodman圖(如圖11c和圖12c)和表4可知，這兩種正弦載荷條件下獲得的懸臂梁拓撲結(jié)構(gòu)均滿足L1,e，L2,e，L3,e，L4,e4個應力約束，能夠同時滿足靜強度和疲勞多性能指標的要求。隨著正弦作用載荷幅值系數(shù)ca的增加，懸臂梁拓撲結(jié)構(gòu)需要更多用材，以同時滿足靜強度和疲勞性能的要求。

表4 不同正弦載荷條件下的懸臂梁優(yōu)化結(jié)果

4 結(jié)束語

本文提出一種基于多性能約束的連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化設計方法。該方法以結(jié)構(gòu)的體積最小化為優(yōu)化目標函數(shù)，以結(jié)構(gòu)靜靜強度和疲勞強度為約束，采用P范數(shù)將結(jié)構(gòu)靜強度和疲勞局部約束轉(zhuǎn)化為多個全局應力約束，實現(xiàn)了同時考慮靜強度約束和疲勞約束的連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化設計，并通過數(shù)值算例驗證了所提方法的有效性。

數(shù)值算例表明，不同于僅考慮剛度優(yōu)化，考慮靜強度和疲勞性能拓撲優(yōu)化獲得的結(jié)構(gòu)拓撲構(gòu)型能夠同時滿足靜強度和疲勞多性能指標的要求，并有效抑制應力集中現(xiàn)象，使結(jié)構(gòu)的應力分布更加均勻，最大的von Mises等效應力更?。浑S著正弦載荷幅值系數(shù)的增加，基于靜強度和疲勞性能約束拓撲優(yōu)化獲得的拓撲結(jié)構(gòu)需要更多用材，以同時滿足結(jié)構(gòu)的靜強度和疲勞多性能指標的要求。然而，本文方法獲得的拓撲結(jié)構(gòu)存在不光滑的鋸齒邊界，如何將所提優(yōu)化模型與水平集方法結(jié)合進行多性能約束的連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化設計，獲得具有光滑邊界的拓撲結(jié)構(gòu)，將是今后的工作重點。