次線性期望空間下END陣列加權(quán)和的完全收斂性

陳曉聰, 吳群英

(桂林理工大學理學院, 廣西桂林 541004)

1.引言及引理

極限理論是數(shù)理統(tǒng)計的重要研究課題, 它在數(shù)學、統(tǒng)計和經(jīng)濟等領(lǐng)域得到廣泛運用.隨著極限理論在金融、風險度量等領(lǐng)域的應(yīng)用不斷深入, 只在模型確定的條件下成立的經(jīng)典極限理論局限性逐漸突顯, 為此, 彭實戈[1]院士率先提出了次線性期望空間理論, 并建立了次線性期望空間的完整理論體系.次線性期望為解決次線性概率問題提供了一個更為靈活的框架, 近年來引起了廣大學者的關(guān)注和研究, 并取得了許多相關(guān)的研究成果.ZHANG[2?4]研究了次線性期望下的END隨機變量序列的Kolmogorov強大數(shù)定律, 推廣得到了次線性期望空間下的指數(shù)不等式和Rosenthal’s不等式, WU和JIANG[5]在次線性期望下對強大數(shù)律和Chover’s重對數(shù)律進行了研究和推廣, 馬曉晨和吳群英[6]得到了END序列加權(quán)和的完全收斂性.

1947年, 完全收斂性首次由統(tǒng)計學家HSU和ROBBINS提出, 目前, 在概率空間中關(guān)于完全收斂性的研究已經(jīng)取得了許多成果.如BAO等[7]研究了行END陣列加權(quán)和的收斂性.由于次線性期望和容度不具有線性性, 一些適用于傳統(tǒng)概率空間的方法不再適用于次線性期望空間.本文在現(xiàn)有的理論基礎(chǔ)上, 將文[7]中的定理2.1END陣列加權(quán)和的完全收斂性, 從概率空間推廣到次線性期望空間, 得到比文[6]更強的結(jié)果.

我們使用彭實戈院士[1]所構(gòu)建的次線性期望空間的基本概念和框架, 假設(shè)(?,F)是給定的可測度空間, H是定義在(?,F)上由實函數(shù)所構(gòu)成的線性空間, 如果X1,··· ,Xn∈H, 則對?φ ∈Cl,Lip(Rn), 有φ(X1,··· ,Xn) ∈H, 其中Cl,Lip(Rn)表示在線性空間的局部Lipschitz函數(shù), 即對任意Cl,Lip(Rn), 存在常數(shù)c > 0, m ∈N的選取取決于φ, 使得對任意x,y ∈Rn, 都有|φ(x)?φ(y)|≤c(1+|x|m+|y|m)|x ?y|.也稱H是由隨機變量所構(gòu)成的空間, 并記X ∈H.

定義1.1[3]次線性期望?E:H →[?∞,∞], ?E 滿足下列四個條件:

1) 單調(diào)性: 如果X ≥Y, 則?E(X)≥?E(Y);

2.主要結(jié)果及其證明

注定理2.1是將文[7]中定理2.1的相應(yīng)結(jié)論從概率空間推廣到了次線性期望空間, 將有限加權(quán)和延伸到了無限加權(quán)和, 得到了更一般的結(jié)果.相比較于文[6]的定理2.1中同分布條件, 本文的隨機控制條件更弱, 同時將結(jié)論從END隨機變量序列推廣到END隨機變量陣列, 得到的結(jié)果范圍更廣.

根據(jù)定義1.4以及(2.9)和(2.10)有

于是, 由(2.2)和(2.11)可得

從而得到(2.5)式, 即完成了定理2.1的證明.