奇異平面微分系統(tǒng)周期解的存在性

李欣,梁載濤,李勝軍

(1.安徽理工大學(xué)數(shù)學(xué)與大數(shù)據(jù)學(xué)院,安徽淮南 232001;2.海南大學(xué)理學(xué)院,海南?？?570228)

1.引言

近些年, 徑向?qū)ΨQ(chēng)系統(tǒng)的周期解及動(dòng)力學(xué)行為引起了一些專(zhuān)家學(xué)者們的關(guān)注, 此類(lèi)系統(tǒng)在天體力學(xué)、物理學(xué)、電磁學(xué)等應(yīng)用學(xué)科中都有著廣泛而又重要的應(yīng)用, 因此, 研究其動(dòng)力學(xué)行為具有現(xiàn)實(shí)意義.例如, 意大利的Fonda教授及其合作者應(yīng)用拓?fù)涠壤碚撓到y(tǒng)深入地研究了如下徑向?qū)ΨQ(chēng)系統(tǒng)

周期解的存在性, 其中f ∈C(R×R+→R)關(guān)于第一個(gè)變量是周期函數(shù)且關(guān)于第二個(gè)變量在零點(diǎn)是奇異的.[6?11]其基本思想是通過(guò)極坐標(biāo)變換, 將系統(tǒng)(1.1)轉(zhuǎn)化為與之等價(jià)的含角動(dòng)量的二階奇異微分方程, 其結(jié)果深刻地揭示了周期解與角動(dòng)量之間的緊密關(guān)系和漸進(jìn)行為.值得注意的是, 此類(lèi)系統(tǒng)和已有文獻(xiàn)中所研究的奇異微分系統(tǒng)有著本質(zhì)的不同, 因?yàn)樵撓到y(tǒng)所隱含的角動(dòng)量在其中扮演著重要作用.近幾年, 國(guó)內(nèi)儲(chǔ)繼峰教授等在文[2]中將研究二階奇異微分方程周期解存在性的非線性二擇一定理推廣到徑向?qū)ΨQ(chēng)系統(tǒng)(1.1), 以及劉期懷教授等在文[16]中通過(guò)對(duì)Poincar′e映射的定性分析, 探討了一類(lèi)具有排斥型奇異的徑向?qū)ΨQ(chēng)系統(tǒng)周期解和擬周期解的存在性.此外, 關(guān)于徑向?qū)ΨQ(chēng)系統(tǒng)(1.1)周期解穩(wěn)定性的研究, 請(qǐng)參考文[3,14-15].

受上述文獻(xiàn)的啟發(fā), 本文考慮如下奇異平面微分系統(tǒng)

系統(tǒng)(1.2)在物理學(xué)中應(yīng)用廣泛.例如, 描述玻色―愛(ài)因斯坦凝聚體中渦旋偶極子的運(yùn)動(dòng)方程, 通過(guò)引入相關(guān)的變量變換, 將方程等價(jià)于形如(1.2)的奇異平面系統(tǒng), 詳見(jiàn)文[17].運(yùn)用Leray-Schauder二擇一定理[12], 我們將證明系統(tǒng)(1.2)存在一族周期解.

注意到該系統(tǒng)是一類(lèi)徑向?qū)ΨQ(chēng)系統(tǒng).通過(guò)引入極坐標(biāo)變換u(t) =r(t)cos ψ(t),r(t)sin ψ(t),其中r(t)>0, 極角ψ(t)∈R, 因此系統(tǒng)(1.3)等價(jià)于

其中, ω沿著系統(tǒng)的解為常數(shù).定義u的角動(dòng)量為μ(t) = r2(t)ψ′(t), 由系統(tǒng)(1.4)的第二個(gè)等式,可得μ(t) = ωa(t).顯然, 為了研究系統(tǒng)(1.2)徑向周期解的存在性, 首先需要討論系統(tǒng)(1.4)周期解的存在性.本文受儲(chǔ)繼峰教授等在文[4-5,13]中的思想和方法啟發(fā), 研究系統(tǒng)(1.4)周期解的存在性, 得到了一些周期解的存在性結(jié)果.在文[4-5,13]中, 儲(chǔ)繼峰教授等主要應(yīng)用Leray-Schauder二擇一定理以及一些不動(dòng)點(diǎn)定理探究了不同類(lèi)型的二階奇異微分方程周期解的存在性和多解性.

本文創(chuàng)新之處如下: 1)將文[2]中關(guān)于二階徑向?qū)ΨQ(chēng)系統(tǒng)周期解的存在性結(jié)果推廣到一階奇異平面系統(tǒng); 2)除了周期解的存在性, 本文還得到了周期解的一些動(dòng)力學(xué)行為; 3)首次分析了周期問(wèn)題(2.1)格林函數(shù)的符號(hào).

2.格林函數(shù)的符號(hào)

考慮如下周期邊值問(wèn)題

首先, 回顧Sobolev不等式中最佳常數(shù)公式

其中Γ是伽瑪函數(shù).

定理2.1假設(shè)

且存在1 ≤p ≤+∞, 使得

由文[1]中推論2.3可知, 當(dāng)

3.主要結(jié)果

為方便起見(jiàn), 列出如下假設(shè)條件:

(H1)存在連續(xù)非負(fù)函數(shù)e(r)和h(r),使得0 ≤g(t,r)≤e(r)+h(r),?(t,r)∈[0,T]×(0,+∞),其中e(r)>0, 且關(guān)于r單調(diào)不增, h(r)/e(r)關(guān)于r單調(diào)不減;

證首先證明?ω >0, 系統(tǒng)(1.4)的第一個(gè)方程存在一個(gè)T-周期正解.為此, 先證明方程

存在一個(gè)T-周期正解r滿足r(t)+?(t)>0.若其成立, 則容易得到?r =r(t)+?(t)是系統(tǒng)(1.4)第一個(gè)方程的T-周期正解, 因?yàn)?/p>

由于(H3)成立, ?ω >0, 選擇n0∈{1,2,...}(與ω有關(guān))滿足<σRω+??和

令N0={n0,n0+1,...}, 考慮如下一族方程

其中λ ∈[0,1],n ∈N0, gn(t,s)為截?cái)嗪瘮?shù), 即

顯然, 尋找方程(3.3)的T-周期解與尋找下列問(wèn)題的不動(dòng)點(diǎn)等價(jià)

其中b0=1/n, Tn是全連續(xù)算子, 其定義為

因此(3.6)式中的Hω=2∥a∥∥b∥1Rω.

引理3.4?ω >0, 存在常數(shù)δω>0, 當(dāng)n充分大時(shí), 方程(3.5)的任意T-周期解rn滿足

為了證明(3.7)式, 我們先證明

引理3.5??>0, 存在常數(shù)ω(?)≥1, 若ω ≥ω(?), 且r是方程(1.4)的T-周期解, 則∥r∥≥?.

證反證法, 設(shè)rn是方程

下面完成定理3.1的證明.?θ ∈[0,ˉθ], 由引理3.7可知, 系統(tǒng)(1.2)的解滿足u(t + T) =u(t)eiθ, ?t ∈R.當(dāng)θ =2π/k,其中正整數(shù)k ≥1時(shí),由于ψ(t+kT)=ψ(t)+2π,因此,u(t)是周期的, 其最小周期為kT, 且在周期時(shí)間kT里剛好圍繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周.則對(duì)任意正整數(shù)k ≥2π/ˉθ,我們有kT-周期解, 設(shè)為uk(t), 其極坐標(biāo)用(rk(t),ψk(t))表示, 令角動(dòng)量μk(t) = ωka(t), 故有(ωk,rk,ψk)滿足系統(tǒng)(1.4), (ωk,rk)∈C, 且