見微知著 明理啟教

鄒信武

1 高中數(shù)學(xué)新舊教材對比的必要性

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》（下文簡稱《標(biāo)準(zhǔn)》），提出了高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)要求：“四基”“四能”及“六核心素養(yǎng)”.2019年秋季學(xué)期，部分省份率先使用新教材，教材在《標(biāo)準(zhǔn)》下做了哪些改變？新教材對比舊教材有哪些優(yōu)勢？又是如何體現(xiàn)核心素養(yǎng)下的數(shù)學(xué)教學(xué)？教師應(yīng)如何利用好教材落實(shí)“素養(yǎng)”教學(xué)？……這些都是擺在高中教師面前的問題.因此，對比新舊教材，尋找和分析差異，探求編寫意圖，明確教學(xué)要求，是高中數(shù)學(xué)教師加深對教材理解、落實(shí)《標(biāo)準(zhǔn)》理念的必然要求.

本文選取了人教A版《普通高中數(shù)學(xué)教科書·數(shù)學(xué)》（2019年）的《等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)》和人教A版《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)試驗(yàn)教科書-數(shù)學(xué)》（2004年）《不等式與不等關(guān)系》為例進(jìn)行比較分析（分別簡稱為“新教材”和“舊教材”）.這節(jié)內(nèi)容是不等式的初始課，學(xué)生經(jīng)歷用不等式描述現(xiàn)實(shí)中不等關(guān)系，推導(dǎo)與證明不等式性質(zhì)的學(xué)習(xí)過程，并用不等式解決實(shí)際問題，恰好可以體現(xiàn)“用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，用數(shù)學(xué)的思維思考世界，用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界”.因此，選擇這一節(jié)內(nèi)容進(jìn)行新舊教材的對比，對理解《標(biāo)準(zhǔn)》理念下教材編寫意圖和教師教學(xué)指導(dǎo)都是極其有幫助的.

2 高中數(shù)學(xué)新舊教材“不等式性質(zhì)”編排對比

2.1教材位置和章節(jié)名稱的比較

新教材將舊教材必修5第三章《不等式》中3.1節(jié)《不等式與不等關(guān)系》調(diào)整至新教材第一冊第二章《一元二次函數(shù)、方程和不等式》2.1節(jié)，章節(jié)標(biāo)題也發(fā)生了改變-《等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)》.在新教材中，第一冊的第一章和第二章是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的預(yù)備知識，在這節(jié)內(nèi)容之前，學(xué)生學(xué)習(xí)了集合的有關(guān)概念、關(guān)系和運(yùn)算，還學(xué)習(xí)了充分條件、必要條件，全稱量詞、存在量詞、全稱量詞命題和存在量詞命題的否定等簡易邏輯知識.

2.2 教學(xué)內(nèi)容的比較

比較新舊教材，該節(jié)教學(xué)內(nèi)容基本沒有變化，主要分為兩個部分：第一部分是通過生活和數(shù)學(xué)的例子，引導(dǎo)學(xué)生體會不等式的實(shí)際背景，感受不等式的重要性和廣泛應(yīng)用，進(jìn)而總結(jié)實(shí)數(shù)大小關(guān)系的基本事實(shí);第二部分是類比得到等式性質(zhì)的方法，歸納不等式的性質(zhì)并進(jìn)行簡單應(yīng)用.

2.3教學(xué)課時的比較

舊教材中沒有明確將這一內(nèi)容劃分課時，教學(xué)時往往根據(jù)教師對內(nèi)容的理解分為兩課時，部分教師拓展教材內(nèi)容，引入大量生活素材，引導(dǎo)學(xué)生用不等式描述客觀世界作為第一課時，實(shí)數(shù)以，6大小比較的事實(shí)及不等式性質(zhì)作為第二課時;也有部分教師將實(shí)數(shù)以，6大小比較的事實(shí)及簡單應(yīng)用放在第一課時，將不等式性質(zhì)作為第二課時，都有其合理之處.而新教材中明確了課時分配，不等式實(shí)際問題抽象和“基本事實(shí)”作為一個課時，不等式性質(zhì)單獨(dú)作為一課時，并且各自配備了練習(xí).

2.4 教材的整體性

本輪課改另一個熱點(diǎn)就是“單元設(shè)計”.單元教學(xué)設(shè)計倡導(dǎo)按內(nèi)容或思想方法重新整理教學(xué)內(nèi)容，形成一個相對獨(dú)立的大單元.在新教材中，實(shí)數(shù)大小關(guān)系的基本事實(shí)是本章不等式知識的起始點(diǎn)，它是后面不等式知識的基礎(chǔ).而等式與不等式的類比，是本章內(nèi)容敘述的線索，其后面內(nèi)容“解一元二次不等式”，也是基于對二次函數(shù)、二次方程、二次不等式的幾何直觀的理解上.在細(xì)節(jié)上，也處處體現(xiàn)著在這樣的安排，比如第一課時中問題2中的“二次不等式”，為2.3節(jié)“解二次不等式”埋下伏筆，引出探究案例趙爽弦圖，并證明重要不等式，為其后基本不等式提供邏輯基礎(chǔ).這樣的安排，兼顧了知識的關(guān)聯(lián)性，保障了知識整體性，也更符合學(xué)生的思維規(guī)律，使學(xué)生從中領(lǐng)會數(shù)學(xué)思想，提升理性思維.

3“核心素養(yǎng)”視角下的新舊教材中的“不等式性質(zhì)”

3.1數(shù)學(xué)抽象與直觀想象

數(shù)學(xué)抽象是指舍去事物的一切物理屬性，得到數(shù)學(xué)研究對象的思維過程[1].-般地，抽象經(jīng)歷兩個過程：感性具體一理性具體一理性一般，它是符號化，形式化的過程.直觀想象主要包括幾何直觀與空間想象兩個方面.直觀想象是認(rèn)識抽象對象的另一條途徑，它是符號化語言的直觀解釋.因此，教學(xué)中數(shù)學(xué)抽象對象與幾何直觀經(jīng)常相輔相成，

在本節(jié)內(nèi)容中，新教材更注重數(shù)學(xué)抽象形成過程，多角度、多維度地幫助學(xué)生經(jīng)歷和體會抽象過程，感悟抽象對象的本質(zhì).在自然語言與符號語言的轉(zhuǎn)化過程中，新教材往往會給出它的幾何直觀，重視學(xué)生借助直觀理解數(shù)學(xué)內(nèi)容，借助圖形描述和理解代數(shù)問題，比如“引入基本事實(shí)”過程中，舊教材僅僅限于自然語言抽象至符號語言，而新教材中在原有自然語言基礎(chǔ)上，加入圖象語言（數(shù)軸），更清晰地將抽象過程展露出來.又如：不等式性質(zhì)3中，新教材增加了該性質(zhì)在數(shù)軸上的幾何解釋，并給出提示：“從不同角度表述不等式的性質(zhì)，可以加深理解，對其他不等式的性質(zhì)，你能用文字語言表述嗎？”從符號語言再轉(zhuǎn)向自然語言或者幾何直觀，這是由理性一般轉(zhuǎn)向理性具體的過程，也是對抽象事物的更深層理解.

3.2 邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算

邏輯推理是指從一些事實(shí)和命題出發(fā)，依據(jù)規(guī)則推出其他命題的思維過程，在本課時中，邏輯推理是最重要的培養(yǎng)素養(yǎng)之一.邏輯推理主要包括合情推理和演繹推理.數(shù)學(xué)運(yùn)算本質(zhì)上是邏輯推理的一種形式.

邏輯思維素養(yǎng)的落實(shí)，首先要注意教學(xué)安排的邏輯性.新教材中，在《等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)》第一課時中，教材內(nèi)容的線索如圖1，在第二課時中，教材內(nèi)容的線索如圖2.從圖中可以發(fā)現(xiàn)，新教材中，知識點(diǎn)間環(huán)環(huán)相扣，前后聯(lián)系，使學(xué)生對不等式的認(rèn)識層層遞進(jìn)，這樣的安排，既體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識的內(nèi)在聯(lián)系，也符合學(xué)生認(rèn)知規(guī)律，更能培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)思考問題的習(xí)慣.

邏輯推理素養(yǎng)的生成，需要學(xué)生經(jīng)歷、感受推理的過程.對比發(fā)現(xiàn)，新教材更注重遵循學(xué)生思維規(guī)律，讓學(xué)生參與感受發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)關(guān)系、數(shù)學(xué)規(guī)律的方法，通過邏輯推理證明結(jié)論的過程.如圖2，教材在等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)采用了類比推理，讓學(xué)生從已有經(jīng)驗(yàn)中思考未經(jīng)驗(yàn)的內(nèi)容，經(jīng)歷分析、聯(lián)系、對比、猜想的過程;得到猜想之后，又從實(shí)數(shù)大小關(guān)系的基本事實(shí)出發(fā)，證明猜想，采用演繹推理的方式，從特殊到一般，再由一般到特殊，從性質(zhì)再推導(dǎo)出新性質(zhì).在一節(jié)課上，學(xué)生就經(jīng)歷了合情推理和演繹推理兩種推理過程，因此這塊內(nèi)容是本節(jié)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，是學(xué)生邏輯推理素養(yǎng)的養(yǎng)成關(guān)鍵性素材.

在本節(jié)內(nèi)容中，數(shù)學(xué)運(yùn)算在內(nèi)容上是數(shù)學(xué)知識的紐帶，推進(jìn)著數(shù)學(xué)知識的生成和學(xué)生的內(nèi)化過程.如不等式性質(zhì)的發(fā)現(xiàn)與證明過程，教材先是讓學(xué)生觀察，找到發(fā)現(xiàn)等式性質(zhì)的基本方法——自身定義與運(yùn)算，猜想出性質(zhì)1～4，使用實(shí)數(shù)大小關(guān)系的基本事實(shí)進(jìn)行證明（作差運(yùn)算），再運(yùn)用性質(zhì)2、性質(zhì)3和性質(zhì)4推導(dǎo)性質(zhì)5和性質(zhì)6.再如例1的旁白注解“0是正數(shù)與負(fù)數(shù)的分界點(diǎn)，它為實(shí)數(shù)比較大小提供了標(biāo)桿”，點(diǎn)出了問題的本質(zhì)，明確了運(yùn)算目的，讓學(xué)生探求運(yùn)算思路，設(shè)計計算方法，這都體現(xiàn)了《標(biāo)準(zhǔn)》的要求.

3.3 數(shù)學(xué)模型

不等式作為描述現(xiàn)實(shí)世界不等關(guān)系的模型，兩套教材都設(shè)置了不等式的實(shí)際應(yīng)用題，相比之下，新教材的例子更具趣味性，比如新教材中在習(xí)題2.1里面增加了第9題：“證明：圓的面積大于與它具有相同周長的正方形的面積，并據(jù)此說明，人們通常把自來水管的橫截面制成圓形，而不是正方形的原因”，第10題“糖水不等式問題”，給出了非常生活化的應(yīng)用，用數(shù)學(xué)關(guān)系去描述和解釋生活現(xiàn)象，同時深化對不等式的理解，培養(yǎng)數(shù)學(xué)創(chuàng)新意識和實(shí)踐能力.

4 新舊教材《等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)》對比的啟示

在《標(biāo)準(zhǔn)》下，新教材更注重學(xué)生的思維發(fā)展，教材處處體現(xiàn)著“學(xué)生主體”意識，知識作為載體，學(xué)生在經(jīng)歷知識的產(chǎn)生、發(fā)展和應(yīng)用，而要點(diǎn)不僅是知識本身，更重要的是在這一過程的體驗(yàn)，以及在此過程中的程序性知識，這才是觸及學(xué)生核心素養(yǎng)的地方.基于本節(jié)內(nèi)容，有如下幾點(diǎn)思考：

4.1 教學(xué)應(yīng)遵循數(shù)學(xué)知識發(fā)生發(fā)展的邏輯

相比舊教材，新教材有更清晰、更完整的數(shù)學(xué)知識生成脈絡(luò).教學(xué)中應(yīng)注意把握數(shù)學(xué)知識的聯(lián)系與發(fā)展，使得數(shù)學(xué)知識的生成過程更自然.特別是第二課時，涵蓋數(shù)學(xué)知識多，涉及數(shù)學(xué)思想多，關(guān)系復(fù)雜，教學(xué)中應(yīng)充分理解教材編排的意圖，把控全局，合理地調(diào)控“教學(xué)內(nèi)容秩序”，展現(xiàn)給學(xué)生一個完整的知識系統(tǒng).

4.2教學(xué)應(yīng)留給學(xué)生更大的“思維空間”

《標(biāo)準(zhǔn)》的“四基”其中一條是“基本活動經(jīng)驗(yàn)”.在課堂上，除了生生、師生之間這類外在探討研究活動之外，更需要學(xué)生“獨(dú)立的思維活動”.本節(jié)內(nèi)容包含大量的類比、推理和論證，需要學(xué)生進(jìn)行大量深層次的思維活動.因而，遵循學(xué)生的思維規(guī)律，把握課堂節(jié)奏，在這些關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)上留下足夠思考與交流的空間，是學(xué)生發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，從數(shù)學(xué)角度思考、分析和解決問題的保障.

4.3 挖掘教材隱性素材，促進(jìn)學(xué)生思考

在教材中，許多表述會較為簡潔，部分知識“點(diǎn)而不破”，預(yù)留“空白”，教學(xué)中，教師應(yīng)該挖掘教材中“空白處”，這是留給教師發(fā)揮的空間.如新教材中不等式性質(zhì)1，教材沒有給出證明，我們可以提出問題：該如何證明性質(zhì)17證明的依據(jù)是什么？這個證明看似簡單，但要有理有據(jù)，并不容易，需要使用實(shí)數(shù)大小的基本事實(shí)和實(shí)數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行證明.又如：在不等式性質(zhì)3推導(dǎo)性質(zhì)5的過程，蘊(yùn)含了特殊到一般的思想，性質(zhì)6推導(dǎo)性質(zhì)7，又蘊(yùn)含了一般到特殊的思想，這些都是需要教師在教學(xué)中提煉和升華，使學(xué)生從中領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想，生成數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

4.4 依托教育技術(shù)，將抽象直觀化

“符號化、形式化和公理化”是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的重要特征.本節(jié)內(nèi)容涉及較多符號化描述及運(yùn)算，還有公理化的證明，具有高抽象、難理解的特點(diǎn)，教學(xué)中可以適當(dāng)采用多種教育技術(shù)，加強(qiáng)其符號化的抽象表述的幾何直觀解釋，多角度呈現(xiàn)它的抽象過程，進(jìn)而幫助學(xué)生加深對抽象對象的理解，

參考文獻(xiàn)

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