三角形中角平分線的一個(gè)結(jié)論及應(yīng)用

吳國(guó)慶 朱杰

【摘要】學(xué)習(xí)了三角形角平分線后，經(jīng)常會(huì)遇到涉及三角形中線段的比的問(wèn)題，本文對(duì)其圖形結(jié)論進(jìn)行歸納，并例析其應(yīng)用.

【關(guān)鍵詞】三角形角平分線;結(jié)論;應(yīng)用

八年級(jí)學(xué)生學(xué)習(xí)了三角形角平分線后，經(jīng)常會(huì)遇到涉及三角形中線段的比的問(wèn)題，本文對(duì)其圖形結(jié)論進(jìn)行歸納，并例析其應(yīng)用.

分析問(wèn)題條件只有一個(gè)三角形和該三角形的一條角平分線，學(xué)生初步接觸三角形的相關(guān)知識(shí)，如何得到這四條線段的比例關(guān)系？

由于學(xué)生的知識(shí)不足，方法不豐富，顯然有難度，這里可以用面積的相關(guān)知識(shí)來(lái)證明.

證明過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AC，垂足分別為E，F(xiàn).

因?yàn)锳D平分∠CAB，

所以DE=DF.

上面結(jié)論為：三角形的一條角平分線分對(duì)邊所得的兩條線段和這個(gè)角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例.問(wèn)題結(jié)論非常和諧，在解決相關(guān)問(wèn)題中，發(fā)現(xiàn)并應(yīng)用這一結(jié)論，對(duì)于問(wèn)題解決尤為重要，下面舉例說(shuō)明.

例1如圖2，Rt△ABC和Rt△DEC中，∠ACB=∠ECD=90°，C4=CB=3，CE=CD，點(diǎn)A在DE上，若AE：AD=1：2則Rt△ABC和Rt△DEC重疊部分的面積為（）

分析問(wèn)題中求△ACF的面積，直接由三角形面積公式難求出，由于△ACB的面積可求，問(wèn)題可以思考△ACF和△ACB的面積關(guān)系，能夠求出AF和AB的關(guān)系即可.

解連接BD，設(shè)AB和CD交于點(diǎn)F.

因?yàn)椤螦CB=∠ECD=90°

所以∠ACE=∠BCD.

又因?yàn)镋C=DC，AC=BC，

所以△ECA≌△DCB，

所以∠CDB=∠AEC=∠ADC=45°

BD=AE.

因?yàn)锳E：AD=1：2，

所以BD：AD=1：2.

由“角平分線結(jié)論”知

BD：AD=BF：AF=1：2，

即AF：AB=2：3，

故選（C）.

接AE，交BC于F，若BF=a，CB=b，則AC=________.（用含a，b的式子表示）.

分析問(wèn)題中隱藏著“EA為∠CAB的角平分線”，即∠FAB=∠FAC=20°，由BF=a，CB=b可得CF=b-a，構(gòu)造等邊三角形BKA，由三角形全等可以用a，b表示等邊三角形BKA的邊長(zhǎng)BK，即表示出AB，再由“角平分線結(jié)論”可以進(jìn)一步表示出AC.

解過(guò)點(diǎn)E作EI⊥AD，EH⊥CB，EG⊥AB交AB延長(zhǎng)線于G，延長(zhǎng)BC至K使得BK=AB，連接AK.

因?yàn)椤螩BA=60°，

所以△ABK為等邊三角形.

因?yàn)椤螦BC=∠EBC=60°，

所以∠EBG=∠EBC=60°，

EG=EH.

所以2∠BCE+∠ACB=180°，

∠ECD=∠ECB，

所以EI=EH，EI=EG.

所以∠EAB=∠EAD=∠CAK=20°，

△CKA≌△FBA.

所以KC=FB，

因?yàn)锽F=a，CB=b，

所以CF=b-a，CK=BF=a，

BK=AB=b+a.

由“角平分線結(jié)論”知

AC：AB=CF：FB，

解在AB上取AE，BF，使得AE=AD，BF =BC，連接OE，OF.

因?yàn)锳C，BD分別平分∠DAB和∠ABC，

∠DAB+∠ABC=90°，

所以△DAO≌△EAO，

△CBO≌△FBO，

∠AOB=135°，

所以∠AOD=∠AOE=∠EOF

=∠BOF=∠COB

=45°，

DO=OE，BO=4OD，

所以BO=4OE.

在△EOB中，OF平分∠EOB，

由“角平分線結(jié)論”知

BO：EO=BF：FE=4：1，

設(shè)BF=BC=4a，

EF=a，

DA=AE=x，

在△DAB中，AO平分∠DAB，

由“角平分線結(jié)論”知

DA：AB=DO：BO=1：4，

在△ABC中，BO平分∠ABC，

由“角平分線結(jié)論”知

故選（B）.