關于軌跡圓問題的舉例探究

薛德軍

【摘要】軌跡圓問題的題設多樣，問題中常以不同形式的幾何運動來呈現(xiàn)，如點動、線動、圖形運動等，結合條件確定動點的軌跡圓是解題的關鍵所在.解析時需合理利用瓜豆原理，把握動點間的關聯(lián)，推導核心點的運動軌跡，生成軌跡圓.本文將結合實例講解破題過程，總結方法思路.

【關鍵詞】軌跡問題;點動;瓜豆原理

軌跡圓問題是初中幾何的重難點問題，即動點的運動軌跡為圓.設問形式常見于求線段最值、軌跡長、距離長等，解析時一般分兩步進行：第一步，根據(jù)聯(lián)動關系，確定動點軌跡，繪制軌跡圓;第二步，結合點或線段關系構建模型，求線段或軌跡長.

1 點旋轉(zhuǎn)中的軌跡圓

例1 如，已知點P為線段AB上的一點，AB長為3，AP長為2，過點B作任意一條直線l，點P關于直線l的對稱點為Q，將點P繞著點Q旋轉(zhuǎn)90°可得到點R，分別連接PQ，RQ，AR和BR，則線段AR長度的最大值為.

分析與解? 本題目中點P進行了旋轉(zhuǎn)，而點R為聯(lián)動點.

根據(jù)對稱性可知BP=BQ，則點Q在以點B為圓心，BP長為半徑的圓上運動.

將線段PQ繞著點P逆時針旋轉(zhuǎn)45°，并放大2倍則可得到PR，根據(jù)“瓜豆原理”可知，點R的軌跡為以⊙B繞著點P逆時針旋轉(zhuǎn)45°，并放大2倍所得的⊙O，如圖2.

連接PO，將△PBQ繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)45°，并放大2倍可得△POR，則點F在⊙O上，因AP=2，則OB=PB=1，∠OBP=90°，PO=RO=2.在Rt△AOB中，由勾股定理可得AO=10，分析可知當點A、O和R三點共線時，AR取得最大值，此時ARmax=AO+RO=10+2.

點評? 上述問題中點R為點Q的聯(lián)動點，而點Q的軌跡為圓，故建立兩點之間的軌跡關系是關鍵.

解析時通過聯(lián)動放大，推導出點R的軌跡，然后構建共線模型確定AR線段最值.

處理點旋轉(zhuǎn)中的軌跡圓問題，可結合“瓜豆原理”，把握動點之間的關系.

2 點線聯(lián)動中的軌跡圓

例2 （2022年宿遷市中考卷第18題）如圖3，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，點M、N分別是邊AD、BC的中點，某一時刻，動點E從點M出發(fā)，沿MA方向以每秒2個單位長度的速度向點A勻速運動;同時，動點F從點N出發(fā)，沿NC方向以每秒1個單位長度的速度向點C勻速運動，其中一點運動到矩形頂點時，兩點同時停止運動，連接EF，過點B作EF的垂線，垂足為H.在這一運動過程中，點H所經(jīng)過的路徑長是.

分析與解 本題目中點E和F沿直線運動，而點H為EF上的一個垂足點，求點H在運動過程中的路徑長，顯然需要先確定其軌跡，再求路徑.

點M和N分別為AD和BC的中點，連接MN，則四邊形ABNM為矩形，可推得MN=AB=6，AM=BN=12AD=4.

根據(jù)題意可知EF在運動過程中始終與MN交于點Q，如圖4.

分析可知AD∥BC，可證△AQM∽△FQN，由相似特性可得NFEM=NQMQ=12，則NQ=13MN=2.

當點E與點A相重合時，有NF=12AM=2，

可推得BF=BN+NF=4+2=6，

所以AB=BF=6，則△ABF為等腰直角三角形，∠AFB=45°，進而可推得∠PBF=45°.

由題意可知，點H在以BQ為直徑的PN上運動，其運動的路徑長為PN，取BQ的中點為O，連接PO和NO，如圖4所示.

分析可知∠PON=90°，又有∠BNQ=90°，

由勾股定理可得BQ=BN2+NQ2=25，

所以ON=OP=OQ=12BQ=5，

則PN=90π×5180=52π，

即H所經(jīng)過的路徑長為52π.

點評 上述問題中點H為動直線EF上的垂足點，確定其運動路徑長為PN是解題的關鍵.

點H軌跡推導鏈為：動直線EF始終與MN交于點Q→動直線EF可視為是繞點Q的旋轉(zhuǎn)→點H軌跡為圓弧，因此點H可視為是動直線的旋轉(zhuǎn)的聯(lián)動點.

3 結語

本文具體探究了不同形式幾何運動中的軌跡圓，其中確定動點軌跡是關鍵，是求解線段、路徑的前提.結合瓜豆原理進行聯(lián)動點軌跡推導是最基本的策略，解析時要關注圖形的運動規(guī)律，提取線段恒定關系，推導動點關聯(lián)，確定動點軌跡.

參考文獻：

[1]宋璨.剖析瓜豆原理，探究動點軌跡[J].數(shù)學教學通訊，2021（14）：79-80.

[2]朱錦程，李玲玲.由從到主 按圖索“跡” 點帶線動 巧妙轉(zhuǎn)化[J].中學數(shù)學雜志，2021（06）：38-41.

[3]蒲厚金.一類最值問題的模型溯源與建構[J].中學數(shù)學教學參考，2021（26）：32-34.