數(shù)學(xué)大概念的內(nèi)涵、提取途徑及其理解維度

卜夢(mèng)丹，唐恒鈞

（浙江師范大學(xué)教師教育學(xué)院，浙江 金華 321004）

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017 年版2020 年修訂）》（以下簡(jiǎn)稱(chēng)《標(biāo)準(zhǔn)2017》）中指出“重視以學(xué)科大概念為核心，使課程內(nèi)容結(jié)構(gòu)化”［1］。近年來(lái)，數(shù)學(xué)學(xué)科作為培養(yǎng)人的理性和思維的學(xué)科，其指向大概念的研究受到了學(xué)者們的廣泛關(guān)注，那什么是數(shù)學(xué)大概念？如何提取數(shù)學(xué)大概念？數(shù)學(xué)大概念如何理解？這些問(wèn)題對(duì)于如何利用大概念優(yōu)化課程與教學(xué)，乃至培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)大概念都極為重要。

一、數(shù)學(xué)大概念的內(nèi)涵及層次

大概念作為《標(biāo)準(zhǔn)2017》提出的教育理念，為新時(shí)期引領(lǐng)基礎(chǔ)教育課程改革提供了一個(gè)重要抓手。信息時(shí)代背景下，知識(shí)呈現(xiàn)指數(shù)式增長(zhǎng)，教學(xué)應(yīng)該關(guān)注學(xué)科和重大問(wèn)題最為基本的理解，提升到更高的抽象度（大概念）上。綜合分析國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)大概念的界定不難發(fā)現(xiàn)大概念與問(wèn)題解決、遷移能力、普適性、統(tǒng)攝性、抽象性等關(guān)鍵詞聯(lián)系密切，這也意味著大概念并不像教材中的某些概念一樣只限定于特定的情境、具體的時(shí)間中，它是跨文化、情境以及時(shí)間存在的，具有非常強(qiáng)的生活價(jià)值和遷移價(jià)值。數(shù)學(xué)大概念是大概念理念在數(shù)學(xué)學(xué)科中的具體表達(dá)和綜合運(yùn)用，它是基于數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)和數(shù)學(xué)核心內(nèi)容提取出來(lái)的具有統(tǒng)攝性的表達(dá)，需具備以下特征：能夠幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)；能夠賦予學(xué)生參與數(shù)學(xué)探究的能力；支持?jǐn)?shù)學(xué)與其他學(xué)科、學(xué)生生活產(chǎn)生聯(lián)系，它可以表述為一個(gè)詞語(yǔ)、一個(gè)短句或者是一個(gè)問(wèn)題。

數(shù)學(xué)大概念在知識(shí)體系中處于上位，其獲得需要經(jīng)過(guò)長(zhǎng)時(shí)間的理解和概括，所以在教學(xué)中需要以單元為載體，這是由數(shù)學(xué)大概念的核心特征所決定的，但它也是一個(gè)相對(duì)概念，即存在層級(jí)之分。單元大概念是對(duì)單元知識(shí)內(nèi)容的抽象概括，它給了教師一個(gè)更高位的視角去看待本單元的學(xué)習(xí)，但單元大概念并不能直接教給學(xué)生，數(shù)學(xué)教學(xué)是以課為單位，因此單元內(nèi)的每節(jié)課要選取一個(gè)具有高度統(tǒng)攝性的課時(shí)大概念［2］。課時(shí)大概念一方面指向每一節(jié)課中的具體的知識(shí)和問(wèn)題，有利于學(xué)生的理解，另一方面它指向單元大概念的獲得，學(xué)生在學(xué)習(xí)每一課時(shí)大概念的過(guò)程中逐步深化以得到單元大概念。綜上，數(shù)學(xué)大概念存在單元大概念和課時(shí)大概念兩個(gè)層級(jí)，但在數(shù)學(xué)教學(xué)中選擇大概念并不是拋棄基礎(chǔ)概念和相關(guān)核心概念的學(xué)習(xí)，而是通過(guò)大概念把基礎(chǔ)概念和核心概念更好地統(tǒng)攝起來(lái)，它們作為獲得大概念的必經(jīng)途徑，對(duì)于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)具有非常重要的意義。經(jīng)分析數(shù)學(xué)大概念層級(jí)金字塔（如圖1所示），塔尖是本單元所涉及的學(xué)科核心素養(yǎng)、新課標(biāo)對(duì)本單元要求實(shí)現(xiàn)的關(guān)鍵能力等；第二層是本單元所指的單元大概念；第三層是本單元的課時(shí)大概念，單元大概念和課時(shí)大概念聯(lián)系緊密，相輔相成；第四層是本單元的核心概念，一般為大概念的概念派生，以及單元重要的數(shù)學(xué)思想方法、重要的學(xué)習(xí)內(nèi)容等；塔底是本單元的基礎(chǔ)概念和重要內(nèi)容，它支撐著大概念的形成，有助于教學(xué)目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)。

圖1 數(shù)學(xué)大概念層級(jí)金字塔

二、數(shù)學(xué)大概念的提取路徑

結(jié)合我國(guó)的教育現(xiàn)狀，劉徽總結(jié)了大概念提取的八條路徑，前四種是自上而下提取的，包括課程標(biāo)準(zhǔn)、學(xué)科核心素養(yǎng)、專(zhuān)家思維、概念派生；后四種是自下而上提取的，包括生活價(jià)值、知能目標(biāo)、學(xué)習(xí)難點(diǎn)、評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)［3］。李剛、呂立杰兩位學(xué)者指出學(xué)科大概念遴選的有效策略包括標(biāo)準(zhǔn)演繹、歸納生成兩種方式，這兩種不是各自獨(dú)立的，而是相輔相成共同作用的［4］。綜上大概念的提取路徑有兩條：一種是自上而下的標(biāo)準(zhǔn)演繹式，即從課程標(biāo)準(zhǔn)、學(xué)科核心素養(yǎng)、重要的數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)思想方法中等提取出來(lái)；另外一種是自下而上的歸納生成式，即從教學(xué)或?qū)W習(xí)的重難點(diǎn)、生活中的實(shí)際問(wèn)題、事實(shí)性知識(shí)等抽象概括而來(lái)。依據(jù)數(shù)學(xué)大概念進(jìn)行單元—課時(shí)教學(xué)，首先需要提取出單元大概念和課時(shí)大概念，筆者認(rèn)為，單元大概念應(yīng)采取自上而下的標(biāo)準(zhǔn)演繹式，再采取自下而上的方式進(jìn)行論證；課時(shí)大概念應(yīng)采取自下而上的歸納生成式，再采取自上而下的方式進(jìn)行論證，整個(gè)提取過(guò)程中應(yīng)充分考慮大概念之間、大概念與小概念之間的密切關(guān)聯(lián)。根據(jù)數(shù)學(xué)大概念金字塔層級(jí)圖，以“函數(shù)”單元和“指數(shù)函數(shù)”課時(shí)為例，說(shuō)明具體提取方法。

（一）單元大概念的提取途徑

單元大概念給教師更高的視角去思考單元—課時(shí)教學(xué)，單元大概念既是學(xué)生單元學(xué)習(xí)的最終目標(biāo)，也是教師思考整個(gè)單元教學(xué)的邏輯起點(diǎn)，因此單元大概念的提取需立足于整個(gè)單元的思考，其具體提取方法如下。

第一，研讀新課標(biāo)、教師指導(dǎo)用書(shū)等相關(guān)材料，明確本單元的教學(xué)目標(biāo)，主要包括學(xué)生經(jīng)過(guò)本單元的學(xué)習(xí)需要獲得掌握哪些基本知識(shí)、數(shù)學(xué)能力和發(fā)展什么樣的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。在函數(shù)單元中，學(xué)生需要從變量依賴、集合對(duì)應(yīng)、函數(shù)圖象等多個(gè)角度理解函數(shù)的概念，理解函數(shù)的基本性質(zhì)，掌握一些基本函數(shù)類(lèi)的背景、概念和性質(zhì)。在此基礎(chǔ)上，學(xué)生需提升兩方面的能力：一是從函數(shù)視角解決方程問(wèn)題和不等式問(wèn)題的能力，二是在面臨實(shí)際問(wèn)題時(shí)，選擇合適的函數(shù)模型進(jìn)行表征進(jìn)而解決問(wèn)題的能力。從本質(zhì)上看，第一種能力也是第二種能力的一類(lèi)具體表現(xiàn)。本單元的學(xué)習(xí)重點(diǎn)是提升學(xué)生數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象和邏輯推理素養(yǎng)。

第二，深入分析單元內(nèi)容，理解單元概念之間的關(guān)聯(lián)，明晰本單元所涉及的數(shù)學(xué)思維方法和數(shù)學(xué)思想方法。在函數(shù)這個(gè)大單元中，從集合對(duì)應(yīng)的角度重新認(rèn)識(shí)函數(shù)是單元學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，研究函數(shù)的基本性質(zhì)—單調(diào)性和奇偶性既是為了研究具體函數(shù)模型的圖像與性質(zhì)，也為能夠用函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題做鋪墊。針對(duì)冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的研究都是從相關(guān)定義、運(yùn)算性質(zhì)、現(xiàn)實(shí)背景、圖像性質(zhì)開(kāi)始，進(jìn)而拓展到其在生活中的具體應(yīng)用，學(xué)習(xí)過(guò)程中充滿了類(lèi)比、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想?？偟膩?lái)說(shuō)，函數(shù)的概念與性質(zhì)是單元學(xué)習(xí)的前提，學(xué)習(xí)具體函數(shù)模型既是對(duì)函數(shù)概念性質(zhì)的進(jìn)一步深化，也是函數(shù)模型思想的進(jìn)一步深化，函數(shù)的應(yīng)用是本單元學(xué)習(xí)的最終指向。

第三，基于分析結(jié)果，抽象概括出單元大概念，提取出的單元大概念兼顧單元本質(zhì)的同時(shí)還要言簡(jiǎn)意賅，隨后從單元大概念視角自上而下分析單元知識(shí)內(nèi)容，形成大概念層級(jí)金字塔，這個(gè)過(guò)程中包含了自下而上、自上而下兩方面的論證。針對(duì)以上分析結(jié)果可知函數(shù)單元學(xué)習(xí)的最終目標(biāo)在于學(xué)生能深刻理解函數(shù)模型是數(shù)學(xué)模型中描述客觀世界中變量關(guān)系和規(guī)律最為基本的模型，在未來(lái)生活中能夠采取合適的函數(shù)模型去分析問(wèn)題、解決問(wèn)題。因而本單元的大概念為“函數(shù)與數(shù)學(xué)模型”，它統(tǒng)攝了本單元的核心概念和基礎(chǔ)概念，且指向了函數(shù)的應(yīng)用。從“函數(shù)與數(shù)學(xué)模型”大概念的角度出發(fā)分析單元內(nèi)容形成本單元的大概念層級(jí)金字塔（如圖2所示）。塔尖是本單元所涉及的學(xué)科核心素養(yǎng)，時(shí)刻提示教師教學(xué)目標(biāo)在于學(xué)生學(xué)科核心素養(yǎng)的落實(shí)，學(xué)科知識(shí)的學(xué)習(xí)是形成核心素養(yǎng)的途徑，新課標(biāo)指出本單元發(fā)展的關(guān)鍵能力已經(jīng)包含在學(xué)科核心素養(yǎng)中；第二層是本單元所指的大概念，經(jīng)過(guò)對(duì)新課程標(biāo)準(zhǔn)和教材的分析得出本單元大概念為“函數(shù)與數(shù)學(xué)模型”；第三層是本單元的核心概念，其中冪函數(shù)模型、指數(shù)函數(shù)模型、對(duì)數(shù)函數(shù)模型、三角函數(shù)模型是單元大概念的概念派生，也是本單元的重要學(xué)習(xí)內(nèi)容，數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程、類(lèi)比是本單元在學(xué)習(xí)過(guò)程中所涉及的重要數(shù)學(xué)思想方法，有利于發(fā)展學(xué)生的高階思維；塔底是本單元的基礎(chǔ)概念和重要內(nèi)容，它支撐著大概念的形成，有助于教學(xué)目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)。值得一提的是課時(shí)大概念這一層級(jí)需要對(duì)每一節(jié)課進(jìn)行具體分析提取出課時(shí)大概念后再加入金字塔。

圖2 函數(shù)單元大概念層級(jí)金字塔

（二）課時(shí)大概念的提取途徑

圖3 指數(shù)函數(shù)課時(shí)大概念層級(jí)金字塔

針對(duì)單元內(nèi)的每節(jié)課提取課時(shí)大概念得出課時(shí)大概念層級(jí)金字塔后，需要和單元大概念金字塔進(jìn)行合并，在單元大概念層級(jí)金字塔加入課時(shí)大概念這一層，用各個(gè)課時(shí)大概念層級(jí)金字塔對(duì)原來(lái)的單元大概念層級(jí)金字塔進(jìn)行補(bǔ)充和論證，從而得到最終的單元大概念層級(jí)金字塔。單元大概念指導(dǎo)了課時(shí)大概念的形成和理解，課時(shí)大概念促進(jìn)了單元大概念的深化理解。

三、數(shù)學(xué)大概念的理解維度

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，提取出大概念后還需要對(duì)其進(jìn)行理解分析，結(jié)合大概念的內(nèi)涵與特征，可從三個(gè)理解維度：意義的豐富性、地位的統(tǒng)攝性、多情境的適用性對(duì)提取出的大概念進(jìn)行論證，以提取出的“函數(shù)與數(shù)學(xué)模型”單元大概念為例進(jìn)行相關(guān)分析。

第一，意義的豐富性。大概念是根據(jù)基礎(chǔ)概念之間的聯(lián)系抽象概括而來(lái)，體現(xiàn)了知識(shí)的整體性，因而具有十分豐富的意義。首先是關(guān)聯(lián)的豐富性，大概念能夠喚起概念間的聯(lián)系，快速在頭腦中形成概念框架。比如“函數(shù)與數(shù)學(xué)模型”中包含“函數(shù)”和“數(shù)學(xué)模型”兩個(gè)關(guān)鍵詞，它能喚起學(xué)生對(duì)函數(shù)的概念和基本性質(zhì)、冪函數(shù)模型、指數(shù)函數(shù)模型、對(duì)數(shù)函數(shù)模型等的理解和記憶。其次是探究的豐富性，學(xué)生在面臨不同的問(wèn)題時(shí)，大概念提供了數(shù)學(xué)探究的時(shí)間和空間，允許學(xué)生建構(gòu)個(gè)人意義以形成更加豐富的理解。最后是概念的豐富性，大概念是上位概念，是需要子概念去“揭示”的，學(xué)生對(duì)“函數(shù)與數(shù)學(xué)模型”的理解還需要教師通過(guò)函數(shù)的概念和基本性質(zhì)、基本初等函數(shù)類(lèi)等的教學(xué)來(lái)進(jìn)行“揭示”。

第二，地位的統(tǒng)攝性。大概念地位的統(tǒng)攝性主要包括兩個(gè)方面：一方面它在知識(shí)體系中處于上位，能夠詮釋小概念的意義，另一方面它就像車(chē)轄，處于中心位置，把其他小概念緊緊聯(lián)系在一起。就“函數(shù)與數(shù)學(xué)模型”大概念來(lái)說(shuō)，它不僅處于上位統(tǒng)攝課時(shí)大概念、核心概念等，也處于中心位置把這些概念緊緊圍繞環(huán)在一起，可謂是“牽一發(fā)而動(dòng)全身”。“函數(shù)與數(shù)學(xué)模型”單元大概念既是“指數(shù)（型）函數(shù)是刻畫(huà)指數(shù)增長(zhǎng)或者指數(shù)衰減變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型”課時(shí)大概念的上位概念，同時(shí)也處于中心位置，和其聯(lián)系緊密。

第三，多情境的適用性。林恩·埃里克森（Lynn Erickson）提出的“知識(shí)的結(jié)構(gòu)”模型很好地解釋了大概念為何能在多情境中進(jìn)行應(yīng)用，他指出大概念的教學(xué)應(yīng)是從下向上的策略，即教學(xué)從主題和事實(shí)開(kāi)始，將它們結(jié)合在一起找出重要的相關(guān)概念，這些概念又連接在一起形成概念性理解（大概念），并以此為基礎(chǔ)促進(jìn)學(xué)生找到更多不同的事實(shí)性實(shí)例［5］，這樣就形成了“具體—抽象—具體”的良性互動(dòng)，因此多情境的適用性主要體現(xiàn)在來(lái)源的多情境和應(yīng)用的多情境，大概念從多情境中抽象而來(lái)，又應(yīng)用到不同的情境中去。對(duì)于函數(shù)單元來(lái)說(shuō)，其教學(xué)思路一般為從學(xué)生熟悉的事例作為問(wèn)題情境，在此基礎(chǔ)上構(gòu)建相關(guān)概念，進(jìn)而應(yīng)用概念去解決現(xiàn)實(shí)生活中的實(shí)際問(wèn)題，其中蘊(yùn)含了“具體—抽象—具體”之間的互動(dòng)，體現(xiàn)了大概念在多情境中的適用性。

數(shù)學(xué)大概念的內(nèi)涵和層次、提取策略以及理解維度等的明晰為數(shù)學(xué)大概念教學(xué)設(shè)計(jì)和教學(xué)實(shí)施奠定了基礎(chǔ)，有助于推進(jìn)大概念的后續(xù)教學(xué)?！?/p>