第二大地邊值問題引論

魏子卿

1.深圳大學，廣東 深圳 518060；2.西安測繪研究所, 陜西 西安 710054

第二大地邊值問題的邊界面是已知的，因而稱為固定邊值問題。關于邊界面外部的問題稱為外問題，關于邊界面內部的問題稱為內問題。對大地測量而言，外問題更有意義。本文討論的第二大地邊值問題，實指它的外問題。

空間技術可以測量地面點的大地坐標——大地緯度、大地經度和參考橢球面的大地高。這意味著地形面以離散點大地坐標的形式就已知了。已知地面點的大地高，意味著該點的正常重力也已知了。如果已測量了地面點的重力，那么該點的重力擾動就等于是直接觀測量了。邊界面重力擾動的數學意義是擾動位在邊界面外法線方向的負導數，而這正是第二大地邊值問題的邊界條件。

第二大地邊值問題屬于經典的Neumann問題[1-2]?？臻g技術的出現使這一邊值問題的研究重新活躍起來。例如，20世紀60年代末，Hotine提出計算擾動位的Hotine公式[3]；Bjehammar等證明邊值問題解的存在性、唯一性和穩(wěn)定性，并研究了垂線偏差的解法[4]；文獻[5]比較了計算大地水準面的Stokes和Hotine方法；文獻[6—13]討論了以地形面為邊界面的第二大地邊值問題的解法、地形改正等；筆者提出了邊界面為參考橢球面的第二大地邊值問題[14]，等等。

第二大地邊值問題的邊界面可以是地形面，也可以是參考橢球面。兩者應該是邊界面最合邏輯的選擇。這是因為，從地形面點沿橢球面法線向下量取一個大地高的距離，正是參考橢球面。如果地形面已知了，參考橢球面也就知道了。現代參考橢球是一個正常橢球。參考橢球面在物理上是正常位U=U0(常數)的等位面(水準面)。如果參考橢球面為邊界面，它外部的地形質量必須移除。在這里，將這部分地形質量用Helmert第二壓縮法壓縮成無限薄層覆蓋于參考橢球面[14]。同時我們還將地面重力擾動加地形(直接)影響改化為地面Helmert重力擾動，并用泰勒級數將其延拓至邊界面得到橢球面Helmert重力擾動，作為邊值問題的邊界條件。

第二大地邊值問題的解，或者是高程異常和地面垂線偏差，或者是大地水準面高和橢球面垂線偏差，或者是全部4者。這些術語如常，無須解釋。這里有必要重提它們與地面點高程的關系。忽略垂線偏差，正高H、大地高h與大地水準面高N之間的關系是h=N+H。如果已知h和N，可得正高H=h-N。對于正常高H*，類似地有H*=h-ζ，這里ζ表示高程異常。這兩個關系告訴我們，GNSS測量的大地高與第二大地邊值問題得到的大地水準面高或高程異常，經簡單線性組合，就得到了地面點的海拔高——正高或正常高，它們正是水準測量的產出。簡單地說，大地邊值問題的解加GNSS可代替水準測量。研究第二大地邊值問題的動因之一就在于此。

本文原理性地討論上述兩種邊界面的球近似第二大地邊值問題。第1節(jié)和第2節(jié)介紹問題的邊界條件、解法與解式，第3節(jié)是簡單的討論。

1 邊界面：地形面

這種情況下，邊界條件為邊界面S上的重力擾動δg(X),X∈S，待確定的未知量為S外部空間Σ的擾動位T(X)=W(X)-U(X)，這里W(X)和U(X)分別為點X∈Σ的實際重力位和正常重力位。球近似第二大地邊界問題可公式化為

(1)

式中，?2表示拉普拉斯算子，?2=?2/?x2+?2/?y2+?2/?z2。

地形面不規(guī)則，也不是等位面。為方便計算，用規(guī)則的點水準面和參考橢球面來近似地形面。

1.1 地形面的近似：點的水準面U=UP

將任一點X的重力擾動δg(X)在地面點P的水準面處(圖1)，按z進行泰勒級數展開[6]

圖1 從地球表面到點水準面的解析延拓

(2)

式中

z=h-hP

(3)

假定級數式(2)收斂，取至一次項，得到點水準面上的延拓重力擾動

δg*=δg+g1

(4)

其中

(5)

(6)

ψ=arccos[cosθcosθ′+sinθsinθ′cos(λ′-λ)]

(7)

(8)

(9)

式中

l=((R+hP)2+r2-2(R+hP)rcosψ)1/2

(10)

將式(6)應用于地面點P(圖1)，則得點P的擾動位為

(11)

式中[3]

(12)

式中，ψPQP的算式參見式(7)。

用Bruns公式將T(P)轉換為高程異常ζ

(13)

式中，γ代表似地形面(telluroid)上的正常重力。

T(P)轉換為地面點P的垂線偏差，采用式(14)

(14)

式中[14]

(15)

1.2 地形面的近似：參考橢球面U=U0

根據Krarup-Runge定理[15]，地球外部位總可以有足夠的精度解析延拓至參考橢球面或海水面[6,16]，據此用泰勒級數將地面重力擾動δg解析延拓到參考橢球面(圖2)。

圖2 從地球表面至參考橢球面的解析延拓

在參考橢球面上的延拓重力擾動是

δg*=δg+G

(16)

式中

(17)

當k=1時，有一階延拓解，當k=1，2時，有二階延拓解；當k=1，2，3時，有三階延拓解，依此類推。經驗表明，更高階延拓解可以忽略。

(18)

式中

(19)

其中

l=(R2+r2-2Rrcosψ)1/2

(20)

式中，ψ的算式參見式(7)。

此時邊界面仍是地形面，而式(18)的積分在參考橢球面上進行，Q0為參考橢球面的積分點。

將式(18)應用于地面點P(rp,Ω)，則有點P的擾動位

(21)

式中

(22)

其中

(23)

式中，ψPQ0的算式參見式(7)。

地面點P的高程異常是

(24)

地面點P的垂線偏差是[14]

(25)

式中[14]

(26)

值得指出，根據調和函數的Stokes唯一性定理[16]，式(11)和式(21)計算的同一地面點的擾動位應當符合在一定的范圍內；同樣，式(13)和式(24)計算的同一地面點的高程異常，以及式(14)和式(25)計算的同一地面點的垂線偏差也是如此。

2 邊界面：參考橢球面

現在邊界面為參考橢球面E，它外部的地形質量必須除去。為此，利用Helmert第二壓縮法將E外部的地形質量向下壓縮(移去)成無限薄層覆蓋于E上(恢復)。地形質量的移去-恢復引起地面點P(圖3)的引力位的變化為δV(P)=Vt(P)-Vc(P)，稱為殘余地形位，這里Vt(P)表示E外部的實際地形質量在點P產生的引力位，計算式見附錄中式(A1)；Vc(P)為E上壓縮薄層質量在點P產生的引力位，計算式見附錄中式(A2)。

圖3 地球表面上和參考橢球面上的計算點P和P0

地形質量的移去-恢復還引起點P重力的變化，稱為地形的直接影響，對重力的改正是δA=?δV(P)/?r，這里r表示點P的地心向徑。地形質量的移去-恢復引起一點引力位的變化，稱為地形的間接影響，表現為對高程異常和地面垂線偏差的改正。

地面P點的實際重力擾動δg加上改正數δA，稱為地面Helmert重力擾動δgh，即

δgh=δg+δA

(27)

用泰勒級數將δgh從地面延拓到參考橢球面E(邊界面)

(28)

δgh*就是給定邊界條件。待求未知量是E外部空間Σ′的擾動位Th(X)=Wh(X)-U(X)，這里Wh(X)和U(X)分別為點X∈Σ′的Helmert重力位和正常重力位。此時球近似第二大地邊界問題可公式化為

(29)

E外部Σ′任意點R(r,Ω)的Helmert擾動位Th是[14]

(30)

將式(30)應用于地面點P(圖3)有

(31)

式中H(rP,ψPQ0)的算式見式(22)；ψPQ0的算式參見式(7)。

將式(30)應用于點P0(圖3)，有

(32)

式中

(33)

其中，ψP0Q0的算式參見式(7)。

用Bruns公式將Th(P0)轉換為點P0的Helmert大地水準面(又稱調整大地水準面)高Nh

Nh(P0)=Th(P0)/g0

(34)

式中，g0代表參考橢球面E附近的實際重力值[14]，根據地面測量重力g用Poincare和Prey方法[16]向下歸算得到。

點P0的真正大地水準面高N(P0)等于Nh(P0)加上地形間接影響δN(P0)，即[14]

N(P0)=Nh(P0)+δN(P0)

(35)

式中

(36)

對于點P0的橢球面垂線偏差，有[14]

(37)

式中

(38)

高程異常是[14]

(39)

式中，Th(P)的算式見式(31)。

地面垂線偏差是

(40)

式中，?H(rP,ψPQ0)/?ψPQ0見式(26)；ψPQ0的算式參見式(7)；δV(P)=δVt(P)-δVc(P)。Vt(P)和Vc(P)分別為實際地形質量和壓縮地形質量在點P產生的引力位，其算式見附錄中式(A1)和式(A2)。

應當指出，用式(39)與式(13)及式(24)計算的同一地面點的高程異常應符合在一定的范圍內；同樣，用式(40)與式(14)及式(25)計算的同一地面點的地面垂線偏差應符合在一定的范圍內。

還應當指出，正如所看到的那樣，邊界面為參考橢球面的第二大地邊值問題，可以直接給出大地水準面高和橢球面垂線偏差。而邊界面為地形面的第二和第三大地邊值問題，沒有這種能力。

現在回過頭來推導偏導數?δg/?r。由于rδg是調和的[16，6]，于是有

(41)

式中，δgn代表δg的第n階分量，所以

(42)

對r微分，并令r=R，得在參考橢球面值

(43)

引用調和函數V的公式[16]

(44)

并令r=R與Yn=δgn，得

(45)

這就是重力擾動的垂直梯度公式。式中δgP參考于?δg/?r(對于球近似，?δg/?r=?δg/?h)的計算點P，l0是P0點與積分元之間的空間距離(圖3)，l0=2Rsin(ψ/2)

值得指出，式(45)的被積函數隨距離增加而很快減小，所以積分范圍可以限于計算點P附近。

還值得指出，式(45)對于Helmert重力擾動δgh與重力異常Δg同樣適用。

重力擾動的更高階徑向導數式，見文獻[14]中的附錄B，那里給出了重力擾動的1—9階徑向導數式。

3 討 論

目前廣泛流行的Stokes問題和Molodensky問題屬第三大地邊值問題。前者的邊界面是大地水準面，邊界條件是大地水準面上的重力異常，定義為大地水準面上的重力與參考橢球面上的正常重力之差，解是大地水準面高和大地水準面垂線偏差；后者的邊界面是地形面，邊界條件是地面重力異常，定義為地面上的重力與似地形面上的正常重力之差，解是地面高程異常和地面垂線偏差。

Stokes理論發(fā)表于1849年，Molodensky理論誕生于20世紀40年代。當時測量技術只允許測量正高或正常高(這里統(tǒng)稱“海拔高”)，于是重力異常(不論是大地水準面上的，還是地面上的)是邊界條件的唯一選擇。用大地水準面高或高程異常與海拔高結合，可以得到測量技術難以給出的大地高。大地高是代表地球自然表面的地形面相對參考橢球面的高度。這是大地測量學研究地球形狀的理據。

第二大地邊值問題同樣帶有鮮明的時代特征。20世紀60年代以來，空間測量技術允許人們直接測定相對參考橢球面的大地高，地形面和參考橢球面均可以離散點的大地高形式測定出來。這意味著，第二大地邊值問題的邊界面，不論是地形面，還是參考橢球面，都是已知的。如果邊界面是地形面，邊界條件是重力擾動，問題的解是高程異常和地面垂線偏差；如果邊界面是參考橢球面，邊界條件是Helmert重力擾動，問題的解是大地水準面高和橢球面垂線偏差，還有高程異常和地面垂線偏差。倘若一點的大地高已經測得，該點的大地水準面高又已經算得，那么該點的正高就知道了；倘若一點的大地高已經測得，該點的高程異常又已經算得，那么該點的正常高也就知道了。這就是GNSS大地高結合第二大地邊值問題解代替水準測量的概念。

第二大地邊值問題，因邊界面已知而屬固定邊值問題。第三大地邊值問題，因邊界面未知而屬自由邊值問題。理論上說，解自由邊值問題需逐次迭代，實踐中它常被當作固定邊值問題解而不再迭代。相對而言，第二大地邊值問題的邊界條件和解法都較為簡單，它的解會更好一些。本文給出它的球近似解，近似度在地球扁率級。在球近似基礎上，加上橢球改正，近似度好于厘米級?；蛘撸駠鴥韧獾慕涷炞C明的那樣，用移去恢復技術結合顧及橢球項的全球重力場模型，球近似解也給出厘米級精度。

目前第二大地邊值問題應用的一個限制是有GNSS大地高的重力數據有限。應當看到，這一情況在未來一段時間可能不會有大的改觀。依筆者之見，在這種情況下，恰當的對策應當是，一方面既大力氣獲取更多新數據，另一方面也更加關注歷史數據的有效利用。研究表明，用大地水準面高或高程異常的近似值(例如用全球引力位模型計算獲得)，改化現有重力點高程(從正高或正常高到大地高)的方案是可行的，高程改化并不至于嚴重傷及大地邊值問題的解。

我們有理由看好第二大地邊值問題的應用前景。毋庸置疑，它符合大地測量的發(fā)展方向。隨著時間的流淌，這一趨勢會更加明顯。如果兩方面都能做到更好，用第二大地邊值問題解結合GNSS替代水準測量的目標是可以實現的。從長遠觀點來看，第二大地邊值問題在這方面的表現很可能會勝過第三大地邊值問題。