初中數(shù)學邏輯思維能力的培養(yǎng)

何建坤

（詔安縣梅嶺中學，福建 詔安 363500）

很多學生總有這樣的體會：為什么我做的數(shù)學題目不比別人少，然而自己的數(shù)學成績總是沒有提高呢？很重要的一點：學生沒有去探究題目的解題依據(jù)和解題的邏輯推理.事實上，就培養(yǎng)和提高學生解題能力而言，很關(guān)鍵就是發(fā)展學生的邏輯思維能力.因此只有學生主體自覺地對自身活動進行回顧、思考、總結(jié)、評價、調(diào)節(jié)，才能鞏固提高自身的能力水平.所以教師在教學過程中要認真引導學生進行解題后的反思和邏輯推理.這樣不僅對于活躍課堂、提高效率有著積極的作用，而且也是提高學生邏輯思維能力的重要途徑.初中數(shù)學教學如何引導學生認識數(shù)學研究對象、研究方法的特點，發(fā)展學生的邏輯思維能力，改變單純、盲目地按運算規(guī)則作機械運算的狀況，以適應進一步學習教學對學生提出的能力要求，已日益引起人們的重視.

一、注意闡明基本算理，重視解題邏輯依據(jù)

熟練運算技能固然是必須的，但如果忽視解題的邏輯依據(jù)，學生只曉得“做什么”“怎么做”，不明白“為什么這樣做”“為什么能夠這樣做”，那么在學生看來，數(shù)學就不過是公式與技巧的簡單匯集.這樣便達不到使學生理解數(shù)學知識體系、發(fā)展邏輯思維能力的目的.

加法、乘法的交換律、結(jié)合律，乘法對于加法的分配律，概括了數(shù)的最基本性質(zhì).它們是數(shù)學里各種運算、變形的出發(fā)點和依據(jù).事實上，代數(shù)式的四則運算可歸結(jié)為系數(shù)運算和指數(shù)運算，規(guī)則是合并同類項和冪的指數(shù)，這些規(guī)則的依據(jù)便是上述基本算律.實際教學中，教師往往在根據(jù)運算律導出有關(guān)法則后，即把精力放在反復、機械地按照規(guī)則從事熟練性練習上，忽視引導學生認識基本算律的重要性，這不利于學生認識數(shù)學知識之間的邏輯聯(lián)系.

在解方程的教學中，也有類似情形.如解一元一次方程5（x-1）=3-2x，有下面的過程：

去括號5x-5=3-2x，（乘法對加法的分配律）

移項5x+2x=3+5，（等式兩邊同時加上一個數(shù)或一個式，仍然相等）

合并同類項7x=8，（乘法對加法的分配律）

以上，左邊是解答步驟（解方程的規(guī)則），中間是具體過程，右邊是解方程的依據(jù)（基本運算、運算法則、等式基本性質(zhì)等）.它們受到學生重視并為學生所熟練的，但學生雖能進一步解下去，卻說不出為什么能這樣解的依據(jù)來.

教學中注意闡明基本算理，重視解題邏輯依據(jù).按照這種想法改進教法、指導教學的好處有：

一是有助于加強數(shù)學教學的科學性、系統(tǒng)性.闡明算理，就明確了因果關(guān)系：算理是依據(jù)，算法是運用依據(jù)的結(jié)果，是對結(jié)果所作形式的表述.這樣，就使各種運算法則、變形法則帶上了條理性、邏輯性.這不僅鞏固了學生對基本算理在數(shù)學中的作用和地位的認識，也加深了學生對有關(guān)法則和步驟合理性的理解，對于學生正確運用它們、提高解題效率是有益的.

二是充分體現(xiàn)數(shù)學研究方法的特點.數(shù)學以字母為基本對象，致力于對一般數(shù)量關(guān)系作形式考察，以分析、變形規(guī)則的基本算理為依據(jù)，而且這些基本算理本身也是在實行這種考察和研究時不可缺的、普遍適用的有力工具.

二、注意揭示可逆關(guān)系，努力發(fā)展可逆聯(lián)想

按照心理學的解釋，所謂聯(lián)想，就是由一事物想到另一事物的心理過程.教學思維的敏銳性、深刻性與聯(lián)想能力很有關(guān)系.著名數(shù)學家華羅庚教授指出：“習慣于思考聯(lián)想的人一定會走得深些、遠些.”聯(lián)想可能是單向的也可能是雙向的.雙向聯(lián)想是可逆聯(lián)想.形成可逆聯(lián)想，須以客觀事物中實際存在的可逆成分和關(guān)系為依據(jù).

初中學生，對即使很明顯的可逆關(guān)系也會熟視無睹，如對于一個用等號連接的分式，能熟練地由左邊用到右邊，卻不善于在必要時由右邊用到左邊；不善于細心觀察代數(shù)式結(jié)構(gòu)，兼顧分析、綜合兩種思考方法，達到預定目的，如（a2+b2）2-4a2b2=（a2+b2+2ab）·（a2+b2-2ab）=（a+b）2（a-b）2=（a2-b2）2，顯然，最后一步只是注意了表達形式上的“簡單”，忽視了分解因式的要領(lǐng)；在運算時，能熟練地按照法則組合（如，卻不善于在必要時適當拆項，或按照法則分解（如）.至于運用可逆聯(lián)想，靈活變換分式，因題制宜，選取創(chuàng)造有關(guān)公式的其他等價形式，學生則更感陌生.

為了形成發(fā)展學生的可逆聯(lián)想能力，在數(shù)學概念、公式、法則的教學中，應注意揭示出其中的可逆關(guān)系.數(shù)學的許多概念、公式、法則本身就反映了數(shù)量關(guān)系的分解與組合形式.

如乘方概念a·a·…·a=an，冪的指數(shù)律：am·an=am+n，其中從左邊到右邊是由分解形式轉(zhuǎn)化為組合形式，反之則是由組合形式轉(zhuǎn)化為分解形式.

又如，對某些定理有時也可用逆向思維引導解決，如“角平分線上的點到這個角的兩邊距離相等”.應用它的逆定理便可以解決如下題目：

如圖1，已知在△ABC 中，∠ABC、∠ACB 的平分線交于點P

求證：點P 在∠BAC 的平分線上.

分析：過P 作PD⊥BC，

PE⊥AC，PF⊥AB，垂足分別

是D、E、F，由角平分線的

定理可得，PF=PD，PE=PD，

∴PF=PE，由逆定理得

∴點P 在∠BAC 的平分線上.

可逆關(guān)系的揭示，可逆聯(lián)想能力的培養(yǎng)，當然還需要在廣泛分析數(shù)量關(guān)系的結(jié)構(gòu)、熟練運算與變形的過程中求得提高.隨著學生年齡增長，辯證思維的逐漸形成，其對數(shù)學中各種可逆關(guān)系的辯證性質(zhì)也會獲得更深刻的理解.

圖1

三、注意利用教材實例，說明有關(guān)術(shù)語及命題的邏輯含義

許多術(shù)語，如“所有”“有些”“至多”、（“不大于”）“至少”（“不小于”）、“恰”“或者”（“或”）、“并且”（“與”）、“否定”（“非”）等，在日常生活中常被用到.學生根據(jù)生活經(jīng)驗和使用習慣，對它們的理解或不甚明確或含有歧義.利用教材實例，明確這些術(shù)語的含義，有助于把學生的認識統(tǒng)一到數(shù)學、邏輯的要求上來.這也應當是數(shù)學教學中提高學生邏輯思維能力的組成部分.

例如，圍繞解二元一次方程組、解一元一次不等式組及解一元二次不等式的教學，利用例題，借助直觀（畫圓圈、數(shù)軸）說明“并且”“或者”的含義，糾正學生的邏輯錯誤（如由x＜-1 或x＞2，得出2＜x＜-1）；用肯定的形式來表達具有否定關(guān)系的語言，引導學生正確理解否定的含義（如“實數(shù)的絕對值不是負數(shù)”即“實數(shù)的絕對值是0 或者正數(shù)”，而不是“實數(shù)的絕對值是正數(shù)”；又“x=2，y=3 不是方程組的解”，即“以x=2、y=3 分別代入等式x+y=5，2x+3y=1 不都成立”，而不是“都不成立”）.另外，還應結(jié)合教學，使學生明確理解“至多”“至少”“恰好”等術(shù)語所反映的事物的數(shù)量界限.

數(shù)學中許多結(jié)論都表述為公式形式.在有些學生看來，數(shù)學不外是“代公式”“算字母”，把數(shù)學中代數(shù)的“算”與數(shù)學中幾何的“證”對立起來.這其實是一種誤解.事實上，數(shù)學中代數(shù)里的公式就是定量，和數(shù)學幾何一樣，同樣包括條件、結(jié)論兩部分，不過沒有明確表述成“如果…，那么…”的形式而已.

例如，公式（a+b）2=a2+2ab+b2即“如果a、b 是數(shù)，那么（a+b）2=a2+2ab+b2”.利用公式進行運算或變形的過程，與數(shù)學中幾何里的推理論證并無區(qū)別.如=x2+1（x 是實數(shù)），是由下列推理導出的：∵如果a≥0，那么

又∵x 是實數(shù)，∴x2+1≥0，

可見，直接根據(jù)條件利用公式代入，實際上是演繹推理的簡化、省略形式.雖然初中教學中并不要求也不需要說細表述上面的證明過程，但是強調(diào)運算依據(jù)，引導學生高度重視公式成立的條件，克服不問條件盲目套用公式的壞習慣，仍然是十分必要的.

四、注意數(shù)學的應用，認識數(shù)學方法的普遍性、邏輯性

教學中，應引導學生認識數(shù)學語言是歸納和表達數(shù)量關(guān)系規(guī)律性的有力工具，數(shù)學方法是變換一般數(shù)量關(guān)系，論證是一般數(shù)量關(guān)系規(guī)律的有力工具.

例如，學生經(jīng)過簡單計算，易知

（-2）×（-1）×0×1+1=12，

1×2×3×4+1=52

2×3×4×5+1=112，

3×4×5×6+1=192，

……

經(jīng)過歸納，可以猜測出其一般規(guī)律性可能是“四個連續(xù)整數(shù)的積與1 的和是一個完全平方數(shù)”.進一步觀察后，甚至可以猜出：這個平方數(shù)的底數(shù)恰是中間兩個因數(shù)的積減去1 的差，或是首尾兩因數(shù)的積加上1 的和.但是無論這類計算進行多少次，都不過是對猜測的驗證次數(shù)的簡單增加，而不能從質(zhì)上改進對這個猜測的正確性的認識.然而，通過數(shù)學語言，我們能把這個猜測表達成從數(shù)學上進一步研究的形式：（n-2）或n 為整數(shù)）.

又如：如圖2、圖3 已知，AB=AC=AD，∠BAC=60°，

求∠BDC 分析：本題正向從等邊對等角去思考解決是有難度的，若隱若現(xiàn)用正三角形的性質(zhì)很難入手，若拓開思維，引導學從逆向思維換個角度思考AB=AC=AD 則B、C、D 不正是以點A 為圓心，AB 為半徑的圓上三點嗎？

由此可見，數(shù)學方法的邏輯性、論證性，源于運算所得到的數(shù)量關(guān)系和反向思維思考的普遍性.

當然，對某些應用問題的方程解法與算術(shù)解法加以比較，引導學生認識解方程的形式規(guī)則的普遍性、邏輯性也是很有好處的.以人們熟知的“雞兔同籠”問題為例：“今有雞兔同籠，頭13 只，腳30 只，問雞兔各幾何？”

1.算術(shù)解法：

設想將每只雞、兔各去掉2 只腳，共去掉26 只腳.還剩下4 只腳，是兔留下的（雞已無腳）.這時，每只兔只有2 只腳，因此有2 只兔.從而，雞有11 只.上述分析綜合算式為：

圖2

圖3

（30-13×2）÷2=2（只）

13-（30-13×2）÷2=11（只）

2.方程解法：

設雞x 只，兔y 只，由題意，得

（1）×2，得2x+2y=26（3）

（2）-（3），得2y=4（4）

（4）÷2，得y=2（5）

（5）代人（1），移項得x=11，

所以，有兔2 只，雞11 只.

比較兩種解法，引導學生認識：“1.算術(shù)解法”中，待求量具有與已知量不同的特殊地位，要求用已知量的四則計算表示待求量.方程解法中，將待求量（即未知量）用字母（x、y）表示，從而便于將題目給出的數(shù)量關(guān)系用代數(shù)式直接表出，寫出方程.“2.算術(shù)解法”中，常不能直接利用題目條件列式計算，需要分析題目條件，或加以簡化，或促成轉(zhuǎn)化，并對簡化、轉(zhuǎn)化中每一步驟的意義作出解釋等，以變換題目條件，分離出待求量，達到用已知量的四則計算式表示待求量的目的，其思路迂回、適用性窄.方程解法中，不僅列出的方程平鋪直敘，式子也代表語言敘述算法，而且求解過程也是按照具有統(tǒng)一步驟的形式規(guī)則，是普遍適用的.我們還從例子看到：算術(shù)解法中運用思考，已寓于解方程的形式的算法之中.

這樣，融入真實情境探究自然規(guī)律，既能促進學生多角度多層次探究規(guī)律能力，又能不斷維持與發(fā)展探究自然規(guī)律的情感，使數(shù)學課堂達到“獲取與分享”境界.