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    基于多目標(biāo)的競(jìng)爭(zhēng)粒子群優(yōu)化算法的研究

    2022-07-04 09:07:28王丹妮江巧永楊家杰
    關(guān)鍵詞:測(cè)試函數(shù)種群競(jìng)爭(zhēng)

    王 彬, 王丹妮, 江巧永, 楊家杰

    (1.西安理工大學(xué) 計(jì)算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院, 陜西 西安 710048;2.滑鐵盧大學(xué) 數(shù)學(xué)院, 加拿大 滑鐵盧 N2L 3G1)

    近年來(lái),隨著時(shí)代的發(fā)展與科技的進(jìn)步,出現(xiàn)的許多復(fù)雜問題都已無(wú)法通過簡(jiǎn)單的模型求解,這些問題的決策變量多、問題規(guī)模大、數(shù)學(xué)性質(zhì)復(fù)雜,被歸類稱為大規(guī)模問題[1]。因此,設(shè)計(jì)高效可靠的算法解決大規(guī)模問題是十分必要的。

    針對(duì)這些優(yōu)化問題,學(xué)者們提出了大量的啟發(fā)式隨機(jī)優(yōu)化算法,進(jìn)化算法就是在這種背景下提出的。受自然界生物進(jìn)化的啟發(fā),如帝王蝶優(yōu)化算法(MOB)[2]、大象放牧優(yōu)化算法(EHO)[3]、磷蝦群算法(KH)[4]等,因其操作簡(jiǎn)單、優(yōu)化性能強(qiáng)的特點(diǎn),在過去幾十年中得到了快速發(fā)展,但是,進(jìn)化算法在優(yōu)化大規(guī)模問題時(shí)仍存在一些不足,因此,很有必要利用算法的學(xué)習(xí)能力[5],研究出高效可靠的算法來(lái)解決大規(guī)模優(yōu)化問題。

    目前,針對(duì)大規(guī)模問題的進(jìn)化算法主流解決策略[6]分為三類:一是靜態(tài)的協(xié)同進(jìn)化,即將復(fù)雜的高維問題分解成簡(jiǎn)單的低維問題進(jìn)行優(yōu)化求解;二是動(dòng)態(tài)的協(xié)同進(jìn)化,即利用分組策略將不可分的決策變量分在不同組,給予不同組一個(gè)權(quán)重向量[7],將對(duì)問題的優(yōu)化轉(zhuǎn)化為對(duì)權(quán)重的優(yōu)化。前兩種解決策略都要在算法的前期求解決策變量之間的相關(guān)性,這樣會(huì)耗費(fèi)大量的時(shí)間和精力。三是整體進(jìn)化,這是一種不使用分組策略的算法,主要是針對(duì)大規(guī)模問題的特點(diǎn),在原有的算法中加入一些搜索策略或者是利用新的進(jìn)化機(jī)制等方式來(lái)提升原有算法的尋優(yōu)能力。

    競(jìng)爭(zhēng)粒子群優(yōu)化算法(CSO)[8]就是整體進(jìn)化的新興代表,由于該算法結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、性能良好,因此在求解工程類優(yōu)化問題時(shí)得到了廣泛應(yīng)用,且備受關(guān)注。為進(jìn)一步提高算法的性能,不少科研人員都基于該算法進(jìn)行了改進(jìn)。2019年,Mohapatra等[9]進(jìn)一步提出了ICSO,使用的是三競(jìng)爭(zhēng)機(jī)制,它將這種遺傳概念與CSO結(jié)合起來(lái),以便更快地收斂。2020年,Zhang等[10]提出了CSO-MA,它通過變異種群中的輸家來(lái)增加種群多樣性,提高探索能力。同年,Xiong等[11]提出了WLCSODGM,其對(duì)優(yōu)勝者領(lǐng)先的搜索策略和動(dòng)態(tài)高斯變異算子的引入,有效地解決了傳統(tǒng)CSO容易陷入局部最優(yōu)的弊端。

    然而,已有的CSO算法通常是以適應(yīng)度值的大小作為參考依據(jù)來(lái)判斷算子的優(yōu)劣,但是,衡量粒子群算法性能的關(guān)鍵標(biāo)準(zhǔn)有兩個(gè):收斂速度和全局搜索能力。因此,如何平衡粒子收斂速度和全局搜索能力是有效改進(jìn)算法的關(guān)鍵。

    基于以上考慮,本文通過主動(dòng)學(xué)習(xí)種群的多樣性來(lái)構(gòu)建多目標(biāo)模型,在原有的評(píng)判基礎(chǔ)上,將多樣性也作為評(píng)估粒子優(yōu)劣的條件,從而平衡種群的探索與開發(fā)能力。最后,在測(cè)試函數(shù)集CEC2008上,將本文所提算法與其他改進(jìn)算法進(jìn)行對(duì)比,驗(yàn)證本文算法的有效性。

    1 相關(guān)理論

    1.1 競(jìng)爭(zhēng)粒子群優(yōu)化算法

    粒子群優(yōu)化算法(PSO)是基于模仿群居動(dòng)物的群居行為而產(chǎn)生的算法,其概念簡(jiǎn)單且搜索效率較高。在PSO的基礎(chǔ)上,CSO引入了生物學(xué)中的適者生存競(jìng)爭(zhēng)機(jī)制,不用在每一次更新時(shí)都要記住個(gè)體最優(yōu)值與全局最優(yōu)值。它是在一個(gè)種群內(nèi)采用成對(duì)競(jìng)爭(zhēng)機(jī)制,使用兩兩比較的模式更新種群。

    一般情況下,考慮的都是問題最小化:

    minf(X)s.t.x∈X

    (1)

    式中:X∈Rn是可行解解集;n表示搜索空間的維度,即決策變量的數(shù)量。

    競(jìng)爭(zhēng)后輸家的更新公式為:

    Vl,j(t+1)=R1(k,t)Vl,j(t)+R2(Xw,j(t)-

    (2)

    Xl,j(t+1)=Xl,j(t)+Vl.j(t+1)

    (3)

    1.2 多目標(biāo)優(yōu)化

    實(shí)際應(yīng)用中,通常會(huì)遇到多個(gè)目標(biāo)需要同時(shí)優(yōu)化的問題,這類問題統(tǒng)稱為多目標(biāo)優(yōu)化問題[12](multiobjective optimization problem, MOP),其數(shù)學(xué)公式為:

    (4)

    式中:X=(x1,x2,…,xn)被稱為決策變量,也是n維的決策空間;fi(x)(i=1,2,…,m)是第i個(gè)被最小化的目標(biāo);gj(x)(j=1,2,…,q)定義為第j個(gè)不等式約束;hk(x)(k=1,2,…,p)定義為第k個(gè)等式約束。此外,所有的約束決定了可行解的集合Ω,Y={F(x)|x∈Ω}被稱為目標(biāo)空間。

    對(duì)于多目標(biāo)問題而言,一個(gè)問題的優(yōu)化可能會(huì)導(dǎo)致另一個(gè)問題的退化,因此,對(duì)于多目標(biāo)問題的優(yōu)化,很難找到一個(gè)同時(shí)滿足各個(gè)問題最優(yōu)值的解,而是找到一個(gè)平衡各個(gè)目標(biāo)的Pareto最優(yōu)解集。

    2 研究動(dòng)機(jī)

    2.1 CSO在多樣性方面存在的問題

    收斂性分析是刻畫競(jìng)爭(zhēng)粒子群優(yōu)化算法動(dòng)力學(xué)行為的一個(gè)重要方面,同時(shí)也是確保競(jìng)爭(zhēng)粒子群優(yōu)化算法可靠性的基本前提。文獻(xiàn)[8]證明發(fā)現(xiàn),CSO具有良好的收斂性能,但卻無(wú)法保證種群收斂到全局最優(yōu),且由于CSO的二元錦標(biāo)競(jìng)爭(zhēng)機(jī)制,每次迭代只依賴一半的粒子在搜索空間中進(jìn)行開發(fā),對(duì)種群的搜索能力有很大的限制。因此,有必要通過提高種群多樣性來(lái)確保種群盡可能地收斂到全局最優(yōu)。

    2.2 解決思路

    為了有效平衡種群的探索與勘探能力,在原有CSO以適應(yīng)度值作為評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)的基礎(chǔ)上,加入另一個(gè)評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)——多樣性,這樣不僅能兼顧個(gè)體的收斂速度,同時(shí)也能考慮到全局搜索能力。如圖1所示,多樣性的引入,將原本的單目標(biāo)模型轉(zhuǎn)化為多目標(biāo)模型。

    圖1 單目標(biāo)模型轉(zhuǎn)化為多目標(biāo)模型Fig.1 Single objective model transformed into a multi-objective model

    3 基于多目標(biāo)的競(jìng)爭(zhēng)粒子群優(yōu)化算法

    基于以上考慮,本節(jié)提出了一種基于多目標(biāo)的競(jìng)爭(zhēng)粒子群優(yōu)化算法(MOCSO),不同于已有的CSO,MOCSO引入了多目標(biāo)模型,將原本的單目標(biāo)模型轉(zhuǎn)化為多目標(biāo)模型,從而在保證原有收斂性的基礎(chǔ)上,提高了算法的開發(fā)能力,有效平衡了種群的開發(fā)與探索能力。此外,選擇策略增加了隨機(jī)性,在引導(dǎo)種群進(jìn)化方向的同時(shí),可防止種群陷入局部最優(yōu)。

    3.1 構(gòu)建多目標(biāo)模型

    事實(shí)上,種群中個(gè)體的價(jià)值不僅僅取決于它的適應(yīng)度值,當(dāng)它與其它個(gè)體交配時(shí),個(gè)體在解空間中產(chǎn)生足夠分散的后代的能力也是非常重要的,因?yàn)樗兄谟行以敱M地探索解空間。因此,在種群進(jìn)化過程中,要盡可能使個(gè)體的探索能力和開發(fā)能力達(dá)到一個(gè)平衡,既要考慮盡快地達(dá)到全局最優(yōu)解,也要考慮個(gè)體對(duì)種群多樣性的影響。基于以上原因,本文采用多目標(biāo)模型。模型如圖2所示,將種群中的所有個(gè)體按照支配關(guān)系劃分在不同的非支配層中,很明顯,第一層的個(gè)體要比第二層的個(gè)體表現(xiàn)性能好,以此類推。

    圖2 多目標(biāo)模型的非支配排序Fig.2 Non dominated sorting of multi-objective

    以個(gè)體適應(yīng)度值函數(shù)與個(gè)體多樣性度量函數(shù)為橫縱軸,表示要優(yōu)化的兩個(gè)目標(biāo)函數(shù):

    適應(yīng)度:ffitness(xi)=f(xi)

    (5)

    (6)

    由于個(gè)體適應(yīng)度值越小,代表其越接近種群最優(yōu)解,而多樣性值越大,有利于在種群更新時(shí)生成盡可能分散的解,防止算法陷入局部最優(yōu)。因此,與種群中與每個(gè)個(gè)體有關(guān)的兩項(xiàng)目標(biāo)可界定為:

    minffitness(xi)

    (7)

    min(-fdiversity(xi))

    (8)

    其中,多樣性采用歐氏距離,因其操作簡(jiǎn)單,易于計(jì)算。

    (9)

    采用非支配排序,將種群中的所有個(gè)體都劃分在不同的非支配層中,每一層的個(gè)體性能整體都要優(yōu)于后一層的,但在同一層面的個(gè)體都相互為非支配關(guān)系。

    3.2 概率隨機(jī)選擇策略

    非支配排序已經(jīng)將個(gè)體進(jìn)行優(yōu)劣劃分,為了有效平衡種群的探索與開發(fā)能力,在CSO中引入基于排序的選擇策略[13],通過概率確定當(dāng)前的輸家和贏家。目的是讓表現(xiàn)良好的個(gè)體仍能保留自己的優(yōu)秀基因,從而有效地控制種群的進(jìn)化方向,加快種群收斂速度。但表現(xiàn)較劣的個(gè)體也有可能被選為贏家,這樣有利于增加種群多樣性,防止陷入局部最優(yōu)。詳細(xì)策略步驟如下。

    1) 編號(hào)分配

    環(huán)境選擇策略考慮了個(gè)體對(duì)種群收斂性和多樣性貢獻(xiàn)的大小,并按照其在Pareto前沿上的順序進(jìn)行全排序。其中,性能表現(xiàn)良好的個(gè)體排在首位,性能較差的個(gè)體排在末位,即越優(yōu)質(zhì)的個(gè)體,指標(biāo)就越小。為了以較大的概率選擇性能較好的個(gè)體作為贏家,需要重新定義種群編號(hào)。可表示為:

    Ri=NP+1-i,i=1,2,…,NP

    (10)

    式中:NP是種群規(guī)模;i是當(dāng)前種群中第i個(gè)個(gè)體的指標(biāo)。

    2) 選擇概率

    根據(jù)式(10)中對(duì)個(gè)體編號(hào)的計(jì)算,第i個(gè)個(gè)體被選擇為贏家的選擇概率為:

    (11)

    因此,適應(yīng)度值較低和多樣性較好的個(gè)體將有很大的概率在排序種群中被選擇作為贏家。

    3.3 算法描述

    基于以上對(duì)MOCSO的描述,多目標(biāo)的競(jìng)爭(zhēng)粒子群優(yōu)化算法(MOCSO)的算法流程如表1所示。與經(jīng)典CSO相比,MOCSO主要增加了一個(gè)雙目標(biāo)模型(step2.1和step2.2)和選擇策略(step2.4)。

    4 實(shí)驗(yàn)及分析

    4.1 對(duì)比算法

    為驗(yàn)證所提算法的有效性,本節(jié)引入6種對(duì)比算法,分別是:競(jìng)爭(zhēng)粒子群優(yōu)化算法(CSO)[8]、繼承的競(jìng)爭(zhēng)粒子群優(yōu)化算法(ICSO)[14]、改良的競(jìng)爭(zhēng)粒子群優(yōu)化算法(MCSO)[15]、動(dòng)態(tài)分組的競(jìng)爭(zhēng)粒子群優(yōu)化算法(CSO-DG)[16]、反向?qū)W習(xí)的競(jìng)爭(zhēng)粒子群優(yōu)化算法(OBLCPSO)[17]、排序?qū)W習(xí)的競(jìng)爭(zhēng)離子群優(yōu)化算法(RBLSO)[18]。

    4.2 測(cè)試函數(shù)

    在CEC2008上對(duì)MOCSO進(jìn)行數(shù)值實(shí)驗(yàn),為了確保運(yùn)算的準(zhǔn)確性,每個(gè)算法在每個(gè)測(cè)試函數(shù)上獨(dú)立運(yùn)行51次。CEC2008的測(cè)試函數(shù)主要分為兩類:?jiǎn)文y(cè)試函數(shù)(F1~F2)、多模測(cè)試函數(shù)(F3~F7)。

    表1 MOCSO的算法流程Tab.1 Flow chart of MOCSO

    4.3 參數(shù)設(shè)置

    所有仿真實(shí)驗(yàn)的測(cè)試平臺(tái)都是相同的,均為2.60 GHz CPU和4 GB RAM,Microsoft Windows 10操作系統(tǒng),Intel(R) CoreTMi5-3230M;測(cè)試軟件是Microsoft Windows 10操作系統(tǒng)下的MATLAB 2016a。

    為評(píng)估MOCSO的有效性,將MOCSO與現(xiàn)有CSO的不同改進(jìn)算法進(jìn)行比較,其公共參數(shù)設(shè)置如表2所示。

    表2 對(duì)比算法中的公共參數(shù)設(shè)置Tab.2 Public parameter setting in comparative algorithm

    此外,本文采用兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)來(lái)評(píng)估算法的性能:

    1) 收斂速度:繪制了不同類型測(cè)試函數(shù)的收斂曲線,直觀地顯示出算法的收斂情況,并反映出最優(yōu)解在各個(gè)算法之間的誤差值;

    2) 統(tǒng)計(jì)分析:為了更客觀地比較兩種算法的性能,本文采用0.05顯著性水平的Wilcoxon秩和檢驗(yàn)對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行統(tǒng)計(jì)和分析, 如果得到的概率值小于0.05,則認(rèn)為兩種算法的性能有顯著差異,用1表示,否則為無(wú)顯著差異,用0表示。

    4.4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析

    表3、表4和表5分別記錄了MOCSO與6組對(duì)比算法在CEC2008測(cè)試函數(shù)集上的相關(guān)實(shí)驗(yàn)結(jié)果,并給出了統(tǒng)計(jì)分析性能比較。從最后一行的“w/s/l”值可以看出,MOCSO與其他算法存在顯著差異,其在大多數(shù)基準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)上的整體效果明顯優(yōu)于其他算法。

    進(jìn)一步分析可知,MOCSO在每個(gè)測(cè)試函數(shù)中的排名一般位于前兩名,整體收斂效果良好,這是因?yàn)樵谠u(píng)判標(biāo)準(zhǔn)中加入了多樣性,又保留了原始算法中粒子優(yōu)秀的探索能力,同時(shí)考慮到粒子的勘探能力,使得種群在更新過程中能有效平衡粒子收斂速度和全局搜索能力。

    表3 MOCSO與6組對(duì)比算法在30維的CEC2008上獨(dú)立運(yùn)行51次的統(tǒng)計(jì)結(jié)果Tab.3 Statistical results of MOCSO and 6 groups of compared algorithms running 51 times independently on 30 dimensional CEC2008

    表4 MOCSO與6組對(duì)比算法在50維的CEC2008上獨(dú)立運(yùn)行51次的統(tǒng)計(jì)結(jié)果Tab.4 Statistical results of MOCSO and 6 groups of compared algorithms running 51 times independently on 50 dimensional CEC2008

    表5 MOCSO與6組對(duì)比算法在100維的CEC2008上獨(dú)立運(yùn)行51次的統(tǒng)計(jì)結(jié)果Tab.5 Statistical results of MOCSO and 6 groups of compared algorithms running 51 times independently on 100 dimensional CEC2008

    從秩和檢驗(yàn)的結(jié)果來(lái)看,MOCSO在30維、50維和100維上,有超過一半的基準(zhǔn)函數(shù)其性能明顯優(yōu)于其他對(duì)比算法,為了更直觀地比較MOCSO與6組對(duì)比算法的收斂效果,圖3給出了MOCSO在測(cè)試函數(shù)集CEC2008上與其他算法的收斂速度的對(duì)比圖,從圖3中也可以看出,MOCSO的整體收斂效果還是具有一定優(yōu)勢(shì)的。

    圖3 MOCSO與6組對(duì)比算法在50維的7個(gè)測(cè)試函數(shù)上的收斂曲線Fig.3 Convergence curves of MOCSO and 6 groups of compared algorithms for 7 test functions of 50 dimensions

    4.5 計(jì)算效率分析

    通過比較MOCSO與其他6組算法的復(fù)雜度來(lái)分析MOCSO的計(jì)算效率,結(jié)果如表6所示。

    表6 7組算法的復(fù)雜度對(duì)比Tab.6 Complexity comparison of seven groups of algorithms

    由表6可知,MOCSO的計(jì)算成本要高于其他改進(jìn)算法,因?yàn)镸OCSO設(shè)置了多目標(biāo),因此每次迭代需要消耗大量額外的計(jì)算資源,為降低成本,該算法還有待進(jìn)一步改進(jìn)。

    5 結(jié) 論

    為了提高競(jìng)爭(zhēng)粒子群優(yōu)化算法(CSO)的性能,進(jìn)一步平衡種群中粒子的探索能力與開發(fā)能力,本文提出了一種基于多目標(biāo)的競(jìng)爭(zhēng)粒子群優(yōu)化算法,它在原有CSO的基礎(chǔ)上提出了以下改進(jìn):

    1) 設(shè)計(jì)多目標(biāo)演化機(jī)制,在演化過程中考慮了適應(yīng)度值和擁擠距離,即在兼顧原有算法收斂速度的同時(shí),又保留了種群的全局搜索能力;

    2) 引入隨機(jī)選擇策略,在每一次迭代中選擇輸贏家,這種策略在很大程度上保存了種群中的優(yōu)秀基因。

    在CEC2008測(cè)試函數(shù)集上對(duì)MOCSO算法進(jìn)行數(shù)值實(shí)驗(yàn),并與CSO、ICSO、CSO-DG、MCSO、OBLCPSO、RBLSO進(jìn)行性能對(duì)比。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明,與現(xiàn)有CSO及其改進(jìn)方法相比,MOCSO在測(cè)試函數(shù)集上的整體效果明顯占優(yōu)。

    通過仿真實(shí)驗(yàn),雖然驗(yàn)證了MOCSO具有一定的有效性,但由于該算法設(shè)置了雙目標(biāo),使得計(jì)算效率下降,其后續(xù)還有待進(jìn)一步改進(jìn)。

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