探究數(shù)學(xué)思想在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

趙若彤

摘? 要：數(shù)學(xué)思想是溝通數(shù)學(xué)知識間內(nèi)在聯(lián)系的橋梁，數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)有利于素質(zhì)教育。因此，教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中要轉(zhuǎn)變教學(xué)模式，有意識地滲透數(shù)學(xué)思想，將數(shù)學(xué)思想在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用教給學(xué)生，為解決復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題提供了一條新的思路，進(jìn)而為提高數(shù)學(xué)教學(xué)效果和質(zhì)量奠定良好的基礎(chǔ)。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)思想;初中解題;教學(xué)

一、數(shù)形結(jié)合思想

初中常用的數(shù)學(xué)思想方法有很多，而數(shù)形結(jié)合思想具有數(shù)學(xué)學(xué)科的鮮明特點(diǎn)，是解決許多數(shù)學(xué)問題的有效思想.所謂數(shù)形結(jié)合思想，即將抽象的數(shù)學(xué)語言與其所反映的圖形結(jié)合起來考查，以形助數(shù)巧解代數(shù)問題，以數(shù)助形巧解幾何問題，從而促進(jìn)抽象思維和形象思維有機(jī)結(jié)合。利用數(shù)形結(jié)合思想可使初中數(shù)學(xué)中的復(fù)雜問題簡單化，抽象問題具體化，數(shù)形結(jié)合思想解題可分兩類：

（1）利用幾何圖形來表示數(shù)的問題，常借用數(shù)軸、函數(shù)圖象等解決;（2）運(yùn)用數(shù)量關(guān)系來研究幾何圖形問題，常常要建立方程（組）或建立函數(shù)關(guān)系式等。

例 已知實數(shù)a、b、c在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡|a+b|-|c-b|的結(jié)果是多少？

問題分析：首先從數(shù)軸上a、b、c的位置關(guān)系可知： c<a<0; b>0且|b|>|a|，接著可得a+b>0，c-b<0，然后化簡|a+b|-|c-b|，最后得出結(jié)果.

我認(rèn)為數(shù)形結(jié)合思想是貫穿數(shù)學(xué)課程的主線，是一種重要的數(shù)學(xué)思想。它是在一定的數(shù)學(xué)知識，數(shù)學(xué)方法的基礎(chǔ)上形成的。它對理解、掌握、運(yùn)用數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)方法，解決數(shù)學(xué)問題能起到促進(jìn)和深化的作用。

二、分類思想

所謂分類思想，就是將數(shù)學(xué)對象分為幾類，分別進(jìn)行討論來解決問題的一種方法。分類思想有助于學(xué)生進(jìn)行歸納總結(jié)，讓學(xué)生所學(xué)的知識加固條理化，提高思維的概括性。

例 某超市推出如下優(yōu)惠活動。方案：A.一次性購物超過100元，但不超過300元一律9折。B.一次性購物超過300元一律8折。C.一次性購物不超過100元不享受優(yōu)惠。小蘭兩次購物分別付款80元和252元。若她一次性購買和前兩次相同的商品，則應(yīng)付款多少錢

A.288元 B.332元C.288元或316元 D.332元或316元

問題分析：第一次購物顯然沒有超過100，因為如果超過一百元的話，那么按打九折，實際消費(fèi)應(yīng)為88.88元，因此第一次實質(zhì)購物價值為80。設(shè)第一次實質(zhì)購物價值為x，則：

①x不超過300，則x×0.9=252得x=280那么該付款（x+80）×0.8=288

②x超過300，則x×0.8=252 得x=315那么該付款（x+80）X0.8=316

分類思想不是通過幾節(jié)課的教學(xué)就能使學(xué)生掌握的。教師應(yīng)當(dāng)讓學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中形成對分類思想的主動應(yīng)用。學(xué)生在日常的學(xué)習(xí)中也應(yīng)當(dāng)注意基礎(chǔ)知識的學(xué)習(xí)，穩(wěn)扎穩(wěn)打，才能增強(qiáng)自身的數(shù)學(xué)知識能力。初中的數(shù)學(xué)越來越注重抽象思維能力的培養(yǎng)，這就需要學(xué)生認(rèn)真對待數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的學(xué)習(xí)，從最開始就學(xué)好數(shù)學(xué)的基本內(nèi)容。學(xué)生不僅要掌握數(shù)學(xué)思想在題目中的具體運(yùn)用，也要善于學(xué)習(xí)與鞏固基礎(chǔ)知識，在學(xué)習(xí)過程中，學(xué)會歸納整理初中數(shù)學(xué)中重要的定義、定理和公式，利用課余時間消化好這些數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識，以更好的狀態(tài)備戰(zhàn)中考數(shù)學(xué)。

三、換元思想

說到換元思想，我想大家都不陌生，這是我們數(shù)學(xué)生涯中的老伙計了。即對結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜的多項式，若把其中某些部分看成一個整體，用新字母代替（即換元），變量求出結(jié)果后，返帶回去就能求得原變量在問題中的結(jié)果了。這樣能使復(fù)雜的問題簡單化，明朗化;換元法又稱變量替換法，是我們解題常用的方法之一。利用換元法，可以化繁為簡，化難為易，從而找到解題的捷徑。說白了就是把一堆乒乓球裝進(jìn)一個透明的盒子里，然后拿盒子去進(jìn)行后面的運(yùn)算，這樣既可以簡化問題，又可以用這個盒子來表示那個整體的各個部分。但其實盒子是不存在的，只是起到最后把乒乓球解放出來的作用。近來一直在看華師大第四版的數(shù)學(xué)分析，那么姑且就用其中求不定積分的換元法來舉個例子罷，這樣也能加深讀者對換元法的理解與使用。

那么最后一步我們要做的就是將x=asint帶入到上式中，將它變?yōu)殛P(guān)于x的式子，即可求得原式的積分解：

我們不難發(fā)現(xiàn)，經(jīng)過換元法變換后的式子由于甩掉了根號這個討厭的東西，使得其比原式要簡潔得多，那么自然也簡化了之后的計算過程，直讓人高呼其妙，或許這就是換元法的獨(dú)特魅力吧。我們在做題的過程中不僅要知道使用換元法這一強(qiáng)有力的工具，更要學(xué)會如何換元，也就是說怎樣把一個復(fù)雜的東西換做一個簡單的適當(dāng)?shù)哪軌蚝喕覀兘忸}步驟的東西。我想我們知道換元這個方法很容易，但如何應(yīng)用還需要我們知識的積累與掌握。在學(xué)習(xí)過程中，我們可以多積累一些常見的換元公式，熟能生巧，見得多，做得多，理解的透徹了，我想我們心中自然會形成關(guān)于換元這個方法的獨(dú)到見解。

參考文獻(xiàn)

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