關(guān)于一類p-拉普拉斯Neumann問題的非平凡解

高婷梅

(陜西理工大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院， 陜西 漢中 723000)

考慮以下p-拉普拉斯Neumann問題

(1)

(f1)f(x,0)=0且?t≠0,f(x,t)t>0;

(f2) ?r>0,?ar∈L∞(Ω)+={u∈L∞(Ω):u(x)≥0,?x∈Ω},s.t.?|t|≤r,|f(x,t)|≤ar(x),a.e.x∈Ω;

(f5) ?δ>0,q∈(1,p)及C>0,s.t.?|t|≤δ,F(x,t)≥C|t|q,a.e.x∈Ω。

方程(1)頻繁出現(xiàn)在耗散量子力學(xué)等物理現(xiàn)象的研究中，因而受到人們的廣泛關(guān)注，如文獻(xiàn)[1-8]。變分法,特別是山路引理[9]是解決這類問題的常用方法。但使用山路引理時(shí)，為了保證方程所對(duì)應(yīng)的泛函結(jié)構(gòu)和臨界序列有界,常假設(shè)著名的(AR)條件成立，(AR)條件對(duì)應(yīng)用山路引理非常方便，但是很多函數(shù)并不滿足此條件。長期以來，人們一直試圖削弱(AR)條件，并且取得了不少有用的結(jié)果。例如，文獻(xiàn)[1]將(AR)條件削弱為

易知，條件(f4)是條件(G)的一個(gè)直接結(jié)論。文獻(xiàn)[1-3]利用局部環(huán)繞定理[10]研究了當(dāng)p=2時(shí)方程(1)的解，但是文章都假設(shè)函數(shù)f(x,t)在無窮遠(yuǎn)處是超線性的，即f(x,t)滿足

很明顯,條件(f3)和(F)是不相容的。文獻(xiàn)[6—8]也對(duì)方程(1)進(jìn)行了研究，但是未涉及一般項(xiàng)b(x)u。本文將在條件(f1)—(f5)下，證明方程(1)至少存在一個(gè)非平凡解。

1 預(yù)備知識(shí)

令

?BLp={u∈Lp(Ω):‖u‖p=1},S=W1,p(Ω)∩?BLp,

定義1[12]設(shè)X是Banach空間,φ∈C1(X),c∈R,如果使得

φ(un)→c,(1+‖un‖)φ′(un)→0 (n→+∞)

的任一序列{un}(un∈X)都有一個(gè)收斂子列,則稱φ在c處滿足Cc條件，簡稱C條件。

定義2[13]設(shè)Y是一個(gè)Hasdorff拓?fù)淇臻g,C0、C、D是Y的非空閉子集,且C0?C。若

C0∩D=?,且γ(C)∩D≠?,?γ∈Γ={γ∈C(C,Y):γ|C0=id|C0},

則稱{C0,C}和D在Y中是連結(jié)的。

以下定理稱為極小極大原理，它在本文主要結(jié)果的證明中起著至關(guān)重要的作用。

2 一些重要的引理

在W1,p(Ω)空間中定義如下泛函

則φ∈C1(W1,p(Ω),R)且它將有界集映射為有界集。

引理1 設(shè)條件(f1)和(f4)成立，則φ滿足C條件。

證明令un?W1,p(Ω)使得

φ(un)≤M,且(1+‖un‖)φ′(un)→0 (n→+∞),

(2)

其中M>0是常數(shù)。下證{un}有界。

wn→w在W1,p(Ω);wn→w在Lp(Ω);wn(x)→w(x),a.e.x∈Ω。

(3)

(4)

由sobolev緊嵌入及標(biāo)準(zhǔn)化過程可知，存在u∈W1,p(Ω)及{un}的子序列(仍記為{un})滿足un→u(n→+∞),即φ(u)滿足C條件。

引理2 設(shè)條件(f1)和(f4)成立,則當(dāng)|t|→+∞(t∈R)時(shí)，φ(t)→-∞。

(5)

由(5)式、Poincare不等式及t∈R,b(x)∈L∞(Ω),則有某常數(shù)C2>0，使得

(6)

由(6)式、b(x)>0及D的定義可得

(7)

由引理2和引理3可找到某個(gè)τ0>0,使得

(8)

考慮以下集合

引理4 設(shè)條件(f1)—(f4)成立,則{C0,C}和D在W1,p(Ω)中是連結(jié)的。

證明由于條件(f1)—(f4)成立，利用引理2和引理3可得(8)式，由(8)式及C0的定義可知，C0∩D=?。下證?γ∈Γ,γ([-1,1])∩D≠?。

若0∈γ([-1,1]),則由D的定義,0∈γ([-1,1])∩D,即γ([-1,1])∩D≠?。

3 主要結(jié)果及證明

證明由引理1、4及(8)式,利用定理1,可找到φ的一個(gè)臨界點(diǎn)u*∈W1,p(Ω)，滿足

(9)

(10)

由條件(f3)、(f5)知，?C4>0,s.t. ?t∈R，有

(11)

(12)

由(12)式及q

(13)

由條件(f1)及Poincare不等式,?t∈[s0,τ0],?C5>0,滿足

因此，

(14)

類似地,

(15)

φ|γ1<0。

(16)

φ|γ2<0。

(17)

φ|γ3<0。

(18)