考慮剪切面積修正的土的剪應(yīng)力?剪切位移及強(qiáng)度分析1)

雷勝友 惠會(huì)清

*(長(zhǎng)安大學(xué)公路學(xué)院，西安 710064)

?(長(zhǎng)安大學(xué)理學(xué)院，西安 710064)

直剪實(shí)驗(yàn)是用來(lái)研究土的強(qiáng)度的一種實(shí)驗(yàn)，其儀器設(shè)備簡(jiǎn)單，易于操作，使用最為廣泛。但是該實(shí)驗(yàn)設(shè)備也有缺陷，即在剪切過(guò)程中，隨著剪切位移的發(fā)生，土樣的實(shí)際剪切面在不斷地縮小，假如剪切面是圓形，則不斷地縮小為兩個(gè)半拱形面積之和。而剪應(yīng)力的發(fā)揮是通過(guò)一定的剪切位移來(lái)實(shí)現(xiàn)的，隨著剪切位移的發(fā)生，剪應(yīng)力不斷增大，最后達(dá)到應(yīng)力峰值或逐漸發(fā)展成硬化型?？偠灾?，隨著剪切位移的發(fā)生，剪應(yīng)力在逐漸發(fā)揮出來(lái)，而剪切面積在不斷減小，出現(xiàn)了剪應(yīng)力和剪切面積隨剪切位移發(fā)展的剪刀差現(xiàn)象，而且這種現(xiàn)象隨著剪切位移的發(fā)展而進(jìn)一步加劇，所以說(shuō)以恒定的剪切面積去計(jì)算其上的剪切力，得到試樣的剪應(yīng)力，顯然是不太合適的。為此筆者建議計(jì)算每一剪切位移下的試樣剪切面積，然后以該剪切面積去除所施加的剪切力，這樣得到的剪應(yīng)力才是合理的。目前關(guān)于剪切面積修正方面可供借鑒的資料還不多，筆者做這一方面的嘗試，以饗讀者。

1 不同剪切位移下剪切面積表達(dá)式推導(dǎo)

本文以圓形和矩形剪切面（圖1）為例，推導(dǎo)出在任意剪切位移下試樣的剪切面積方程式，進(jìn)而得到考慮剪切面積修正的剪應(yīng)力，具體如下文所述。

1.1 試樣剪切面為圓形

設(shè)直剪儀剪切盒內(nèi)試樣的半徑為R，未發(fā)生剪切變形時(shí)，上、下半模重合在一起，為一個(gè)完整的圓柱腔，隨著剪切位移的發(fā)生，上、下半模錯(cuò)開(kāi)，形成兩個(gè)扇形的重疊部分（圖1(a)），隨著剪切實(shí)驗(yàn)的進(jìn)一步發(fā)展，重疊部分的面積越來(lái)越小。設(shè)在剪切過(guò)程的某一時(shí)刻，上、下半模錯(cuò)開(kāi)的距離為x，即圖1(a)中圓心o1和o2連線(xiàn)的長(zhǎng)度，其變化范圍為0～2R，在圖1(a)中圓O1內(nèi)，扇形B對(duì)應(yīng)的圓心角為 2θ，以角度計(jì)，其面積為

圖1 剪切盒上下面錯(cuò)位圖Fig. 1 Dislocation diagram of the upper and lower parts of the shear box

?AO1B的面積為

則弓形AB的面積為

上、下半模重疊部分的面積為弓形面積的兩倍，可表示為

由于

所以，有

將以上 c osθ， s inθ及θ的表達(dá)式代入式(4)，整理得到試樣剪切面積隨剪切位移變化的關(guān)系式

設(shè)施加的剪力為Q，然后除以修正的剪切面積，則不同剪切位移下的剪應(yīng)力為

其中，τa=Q/(πR2) ，為剪切面積未修正情況下的剪應(yīng)力，

為剪切面積修正系數(shù)。

從式（6）和式（7）可知，隨著剪切位移的增加，剪切試樣重疊的面積越來(lái)越小，計(jì)算出來(lái)的剪應(yīng)力越來(lái)越大。將剪切過(guò)程中不同時(shí)刻的剪切位移值代入式（7），得到考慮剪切面積修正情況下的不同剪切位移時(shí)試樣面上的剪應(yīng)力。其中式（7）中的C值既是試樣未修正的剪切面積與修正剪切面積之比，也是考慮剪切面修正后試樣的剪應(yīng)力與未考慮剪切面修正的剪應(yīng)力之比，這樣可以得到修正系數(shù)隨剪切位移的變化關(guān)系曲線(xiàn)。

1.2 試樣剪切面為矩形

如圖1(b)所示，設(shè)平行于剪切方向的矩形邊長(zhǎng)為l，垂直于剪切方向的邊長(zhǎng)為s，剪切位移量為 ?l時(shí)，試樣的剪切面積為

則修正后的剪應(yīng)力表達(dá)式為

其中，τa=Q/(sl) ，為剪切面積未修正情況下的剪應(yīng)力；C=1/(1??l/l) ，為剪切面積修正系數(shù)。

當(dāng)l=s時(shí)，剪切面為正方形，則有

其中，τa=Q/l2，為剪切面積未修正情況下的剪應(yīng)力，C=1/(1??l/l) ，為剪切面積修正系數(shù)。

1.3 剪應(yīng)力修正系數(shù)隨剪切位移變化規(guī)律分析

剪應(yīng)力修正系數(shù)C隨剪切位移δ的變化關(guān)系如圖2所示，可以看出，剪應(yīng)力修正系數(shù)隨著剪切位移的增大而增大，隨著試樣剪切面直徑或剪切邊長(zhǎng)的增大而減小，基本呈拋物線(xiàn)分布，其值均大于1，說(shuō)明修正后的剪應(yīng)力變大。

圖2 剪應(yīng)力修正系數(shù)隨剪切位移的變化曲線(xiàn)Fig. 2 Change curve of shear stress correction factor with shear displacement

從圖2(a)可以看出，試樣直徑為6.18 ～50 cm，剪切位移為2 mm 時(shí)，C的最大值為1.05，即修正的剪應(yīng)力最大增大了5%；當(dāng)剪切位移為4 mm時(shí)，最大增大了9%，在10%以?xún)?nèi)；當(dāng)剪切位移為6 mm時(shí)，最大增大了14%，超過(guò)了10%，誤差較大，所以當(dāng)以相對(duì)誤差10%為限界，當(dāng)試樣直徑分別為6.18 cm，10 cm，15 cm，30 cm，50 cm時(shí)，建議剪切位移的控制值分別為4 mm，7 mm，10 mm，19 mm，40 mm；當(dāng)相對(duì)誤差調(diào)整為5%時(shí)，建議剪切位移的控制值分別為2 mm，3.5 mm，5 mm，10 mm，19 mm。同理，對(duì)于剪切面為方形時(shí)，當(dāng)相對(duì)誤差為10%時(shí)，則當(dāng)剪切面邊長(zhǎng)分別為6.18 cm，10 cm，15 cm，20 cm，30 cm，50 cm時(shí)，建議剪切位移的控制值分別為5.6 mm，9.1 mm，13.7 mm，25.9 mm，26.2 mm，45 mm，當(dāng)相對(duì)誤差降為5%時(shí)，建議剪切位移控制值分別為2.85 mm，4.83 mm，7 mm，9.3 mm，13.7 mm，23 mm。

從圖3(a)～圖3(e)可以看出，當(dāng)試樣的直徑和邊長(zhǎng)相同時(shí)，圓形剪切面的修正系數(shù)大于正方形剪切面修正系數(shù)，說(shuō)明對(duì)應(yīng)的修正剪應(yīng)力，前者大于后者。

圖3 剪力面形狀對(duì)剪應(yīng)力修正系數(shù)的影響Fig. 3 Influence of shear surface shape on shear stress correction factor

當(dāng)剪切面為矩形時(shí)，修正系數(shù)因剪切方向矩形邊長(zhǎng)的不同而不同，其結(jié)果如圖3(f)所示，可以看出，剪切方向邊長(zhǎng)為40 cm時(shí)的剪應(yīng)力修正系數(shù)大于在剪切方向邊長(zhǎng)為60 cm時(shí)的修正系數(shù)，說(shuō)明當(dāng)沿著矩形短邊方向剪切時(shí)，修正剪應(yīng)力要更大些，究其原因，若沿矩形的長(zhǎng)邊方向剪切，則上、下盒重疊的面積大，剪切面積修正系數(shù)相對(duì)要小，反之亦然。當(dāng)以剪應(yīng)力修正系數(shù)較小為首選原則，則剪切應(yīng)沿矩形的長(zhǎng)邊方向。

2 剪應(yīng)力?剪切位移曲線(xiàn)及強(qiáng)度指標(biāo)分析

為了驗(yàn)證前述分析的正確性，筆者使用式（7）、式（9）、式（10）計(jì)算了8種大小不同試樣的剪應(yīng)力[1-8]，得到修正剪應(yīng)力–剪切位移曲線(xiàn)如圖4所示。從圖4可以看出，修正剪應(yīng)力–剪切位移曲線(xiàn)均在未修正剪應(yīng)力–剪切位移曲線(xiàn)之上，隨著剪切位移的發(fā)展，兩曲線(xiàn)的差值越來(lái)越大?，F(xiàn)以圖4（a）為例進(jìn)行分析，從圖中可以看出，當(dāng)剪切位移分別為2 mm，4 mm，6 mm，7 mm時(shí)，修正剪應(yīng)力較不修正的剪應(yīng)力分別提 高了4.781 kPa，12.113 kPa，20.130 kPa，24.593 kPa，其提高的百分比分別為4.3%，8.9%，14.1%，16.82%。由于本例中試樣直徑最小，所以相對(duì)而言，修正后剪應(yīng)力提高最多，從圖4(b)～圖4(h)的比較中可以明顯看出。

圖4 修正的與不修正的剪應(yīng)力–剪切位移曲線(xiàn)比較[1-8]Fig. 4 Comparison of corrected and uncorrected shear stress–shear displacement curves

從修正的剪應(yīng)力–剪切位移曲線(xiàn)上得到土的剪切強(qiáng)度值，進(jìn)一步可求得剪切強(qiáng)度指標(biāo)[1-8]，研究表明，修正后土的強(qiáng)度指標(biāo)均有不同程度地提高，具體如下。

（1）圓形剪切面

當(dāng)剪切位移為2～6 mm時(shí)，黃土的粘聚力提高了4.3%～14.1%，內(nèi)摩擦角提高了3.9%～11.6%。

剪切位移為6～10 mm時(shí)，大豆的粘聚力提高了8.3%～14.6%，內(nèi)摩擦角提高了7.6%～13.4%。

剪切位移為35～50 mm時(shí)，土石混合料的粘聚力提高了9.8%～14.6%，內(nèi)摩擦角提高了7.9%～11.1%。

（2）正方形剪切面

剪切位移為2.25 mm時(shí)，礦渣磷尾礦黏土混合物的粘聚力提高了5.8%，內(nèi)摩擦角提高了2.4%。

剪切位移為10～20 mm時(shí)，粗粒土的粘聚力提高了2.9%～11.1%，內(nèi)摩擦角提高了2.9%～6%。

剪切位移為40～60 mm時(shí)，土石混合料的粘聚力提高了8.7%～13.6%，內(nèi)摩擦角提高了7.5%～10.6%。

（3）矩形剪切面

剪切位移為40 mm時(shí)，高爐渣改良填料的粘聚力提高了7.1%，內(nèi)摩擦角提高了6.6%。

剪切位移為12 mm時(shí)，粗粒土的粘聚力提高了3.1%，內(nèi)摩擦角提高了1.8%。

3 結(jié)論

通過(guò)系統(tǒng)的理論推導(dǎo)分析和試驗(yàn)資料驗(yàn)證，本文得到以下結(jié)論。

（1）本文根據(jù)試樣剪切面位移關(guān)系，推導(dǎo)出了修正剪應(yīng)力表達(dá)式，研究表明，剪應(yīng)力較不修正的剪應(yīng)力大，修正剪應(yīng)力隨剪切位移的增加而增加，隨剪切方向試樣邊長(zhǎng)的增加而減小。

（2）當(dāng)試樣剪切面直徑或邊長(zhǎng)在6.18～50 cm、剪切位移為2～60 mm時(shí)，按本文方法計(jì)算，修正后土的粘聚力提高了4.9%～14.6%，內(nèi)摩擦角提高了3.9%～13.4%。

（3）建議盡量使用剪切面積大的試樣進(jìn)行直剪試驗(yàn)。