近年線性代數(shù)考研試題分析與預(yù)測

陳昱竹 楊樹碩 張宇霄

摘要：21年考研數(shù)學(xué)試題通過大幅調(diào)整命題結(jié)構(gòu)，首次嘗試加強學(xué)生對學(xué)習(xí)內(nèi)容本質(zhì)理解的考察，并取得初步成效。為了了解在新的考試大綱下，線性代數(shù)考研試題的出題思路，減少考生該部分題目的失分率，我們將在本文中解答：線性代數(shù)的考點、出題形式、?？嫉闹匾R點等。并通過總結(jié)分析近幾年線性代數(shù)考題的出題方向，預(yù)測23年考研試題。

關(guān)鍵詞：線性代數(shù);考研;數(shù)據(jù)分析;23年考研題目預(yù)測。

一、研究背景

線性代數(shù)在數(shù)學(xué)考研中，始終占據(jù)著重要地位。探究新考研大綱下，線性代數(shù)考研試題出題思路、出題方向、?？碱}型知識點以及解題思路和技巧，預(yù)測考研題目的出題方向，進(jìn)而有重點的進(jìn)行復(fù)習(xí);讓解題變得更有針對性、方法性，從而減少考生的失分率。

（一）考研壓力持續(xù)增加，相關(guān)材料需求增加

歷年來，國家高度注重教育事業(yè)發(fā)展，高等教育逐漸普及化，根據(jù)教育部官方數(shù)據(jù)：2022年全國研究生報考人數(shù)高達(dá)457萬人，較去年相比暴增了80萬人。與此同時，我國研究生招生規(guī)模也在持續(xù)擴大。但盡管如此，研究生整體報錄比仍集中在百分之30到40%之間，競爭壓力日益增加。

（二）考研大綱有所改變，可幫助同學(xué)們把握復(fù)習(xí)重點

閱讀最新考研大綱可知，數(shù)學(xué)考研試卷更加注重對知識本質(zhì)理解的考察，其中，對線性代數(shù)部分的考察有以下變化。

1、試卷內(nèi)容結(jié)構(gòu)變化：

在總分150分、考試時間三小時不變的情況下，21年考研大綱中，分值的偏向有了較大的變化。其中，線性代數(shù)從34分，22%的比例，變成了30分，20%的比例。但是考研數(shù)學(xué)一中，線性代數(shù)的考點沒有任何改動，這也就意味著，未來更傾向于考察有區(qū)別性的內(nèi)容。

2、試卷題型結(jié)構(gòu)變化：

選擇題由“8小題，每小題4分”改為“10小題，每小題5分”;填空題由“6小題，每小題4分”改為“6小題，每小題5分”;解答題由“9小題，共94分”改為“6小題，共70分。

根據(jù)21年考研試卷來看，其中線性代數(shù)有：3道選擇，1道填空，1道大題。

二、研究過程

（一）搜集資料

1、查閱往年考研卷宗，總結(jié)考題;

2、分析題目得分率，失分點;

3、搜索相關(guān)研究報告（市面上購買相關(guān)考研書籍，分析各個專家的觀點）;

4、調(diào)查問卷，總結(jié)同學(xué)們對線性代數(shù)相關(guān)題目的學(xué)習(xí)心得，以及對線性代數(shù)相關(guān)考題的反應(yīng)，對知識點進(jìn)行排序。

（二）數(shù)據(jù)分析

運用比較研究方法、文獻(xiàn)研究方法，對收集到的資料和相關(guān)文獻(xiàn)進(jìn)行整理和分析，總結(jié)相關(guān)結(jié)論。

對問卷結(jié)果進(jìn)行系統(tǒng)功能語法分析、語篇體裁交織性分析、話語歷史背景分析，借助大型內(nèi)容分析研究性工具平臺ROST content mining得出具體結(jié)論。再將結(jié)論用統(tǒng)計學(xué)分析的相關(guān)方法進(jìn)行整理總結(jié)。

對收集整合到的例題、考點、解題方法、考生反饋等數(shù)據(jù)運用統(tǒng)計描述、方差分析、多元變量分析等統(tǒng)計學(xué)研究方法，專業(yè)系統(tǒng)的計算整合結(jié)論。

三、研究結(jié)果

2021年考研數(shù)學(xué)試題通過大幅調(diào)整命題結(jié)構(gòu)，首次嘗試加強學(xué)生對學(xué)習(xí)內(nèi)容本質(zhì)理解的考察，并取得初步成效。我們通過對往年知識點側(cè)重的總結(jié)，并結(jié)合新的考察方向作出如下預(yù)測：

（一）整體考點

1、將往年試卷對比分析，得到高頻考點：

（1）n階行列式（n≥4）的計算

（2）用初等變換求矩陣A的逆

（3）用伴隨矩陣求矩陣A的逆

（4）矩陣A、伴隨陣*、行列式|A|互求

（5）矩陣的逆的判別

（6）用初等變換求矩陣A（含未知參數(shù)）的秩

（7）已知矩陣A（含未知參數(shù)）的秩，反過來求未知參數(shù)

（8）矩陣秩的大小的判別

（9）向量組α1，α2，?，αm線性相關(guān)、線性無關(guān)的判別

（10）用初等行變換求齊次線性方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系和通解

（11）判別齊次線性方程組（含參數(shù)）是否有非零解

（12）用初等行變換求非齊次線性方程組Ax=b的通解

（13）利用非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)來解題。比如：已知線性方程組Ax=b（含參數(shù)）的部分解（至少有兩個解），反過來求未知參數(shù)

（14）求矩陣的特征值和特征向量

（15）已知對稱矩陣A的部分特征值和特征向量、反過來求另一部分特征值和特征向量及A

（16）求正交矩陣?，將實對稱矩陣A對角化

（17）用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形

（18）已知二次型f（含參數(shù)）已知正交化后的標(biāo)準(zhǔn)形，反過來求未知參數(shù)

（19）正定矩陣的判別

2、通過各個考點的出現(xiàn)頻率，以及對應(yīng)的分?jǐn)?shù)，可計算其“性價比”，可進(jìn)一步得到在考研學(xué)習(xí)過程中，最好的復(fù)習(xí)順序，以及時間分配。

3、通過試題答案，總結(jié)答題方法、思路。

（二）試題預(yù)測

1、選擇第五題：

用初等變換求矩陣A（含未知參數(shù)）的秩;已知矩陣A（含未知參數(shù)）的秩，反過來求未知參數(shù)。

主要考點：用初等變換化為階梯型，再討論。

2、選擇第六題：

向量組α1，α2，?，αm線性相關(guān)、線性無關(guān)的判別;用初等行變換將一個向量β用另一組向量α1，α2，?，αn線性表示;已知向量組（含未知參數(shù)）的秩，求未知參數(shù)。

主要考點：判別k1α1+k2α2+?+kmαm=0是否有非零解，歸結(jié)于判別齊次線性方程組是否有非零解;將矩陣A=（α1，α2，?，αnMβ）作初等行變換將A的第一部分的左上角化為單位矩陣，則可將β用α1，α2，?，αn線性表示。

3、選擇第七題：

用施密特（Schmidt）方法求線性無關(guān)向量組的正交向量組;求規(guī)范正交基。

主要考點：用內(nèi)積，多次用公式;先用施密特（Schmidt）方法正交化，再單位化。

4、填空15題：

求齊次線性方程組的解。

主要考點：用初等變換將系數(shù)矩陣A化為階梯型，據(jù)此確定自由變量和基礎(chǔ)解系，進(jìn)而可寫出齊次線性方程組的通解。注意討論是否有非零解。

5、解答題21題：

第一，求未知參數(shù)和解方程組。

主要考點：未知參數(shù)可能出現(xiàn)在行列式中，也可能出現(xiàn)在向量中，也可能出現(xiàn)在矩陣中。而解未知參數(shù)，必須要列方程（組）。然后來解方程組。因此，解方程組是重點。

第二，求矩陣的特征值和特征向量。

主要考點：寫二次型f的矩陣A（含有未知參數(shù)）;求矩陣A的特征值;已知二次型f的規(guī)范形和特征值，反過來求未知參數(shù);利用P-1AP=diag（λ1，λ2，λ3），可求得A;矩陣B為實對稱矩陣，那么已知部分特征值和特征向量，求該矩陣的全部特征值和特征向量。

第三，矩陣的對角化。

主要考點：分為一般矩陣的對角化和對稱矩陣的對角化;求二次型f的矩陣A;求A的兩個特征根;已知二次型的矩陣（含參數(shù)）和一些條件，反過來求未知參數(shù);已知二次型矩陣，求正交變換，將其化為標(biāo)準(zhǔn)型。

結(jié)束語：2021年的數(shù)學(xué)（一）命題既兼顧了全面考查，又做到了重點突出，既大幅創(chuàng)新了試題設(shè)計，擺脫了市面流行復(fù)習(xí)資料的套路誤導(dǎo)，又沒有偏題、怪題和技巧性很強的題目，在注重數(shù)學(xué)知識本質(zhì)掌握考查的同時，也注重綜合能力的考查，我們應(yīng)當(dāng)主動把握該題目風(fēng)格、方向，進(jìn)而更準(zhǔn)確的預(yù)測考研試題。

同時，線性代數(shù)考研復(fù)習(xí)要夯實基礎(chǔ)，善于運用線性方程組串聯(lián)各章節(jié)內(nèi)容，并且重視計算，勤加練習(xí)。

參考文獻(xiàn)：

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[3]教育部考試中心.2022年全國碩士研究生招生考試數(shù)學(xué)考試大綱[M].北京：高等教育出版社，2021：6-22，46-76.

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資助項目：本論文由北京物資學(xué)院大學(xué)生創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)項目資助。

作者簡介：

陳昱竹，2001年5月20日，女，漢族，遼寧省，本科，北京物資學(xué)院在讀本科生，計算機科學(xué)與技術(shù)，北京物資學(xué)院。

楊樹碩，2002年5月9日，男，漢族，河北省，本科，北京物資學(xué)院在讀本科生，信息管理與信息系統(tǒng)，北京物資學(xué)院。

張宇霄，2001年8月14日，男，漢族，新疆，本科，北京物資學(xué)院在讀本科生，信息管理與信息系統(tǒng)，北京物資學(xué)院。