一種低副瓣穩(wěn)健自適應(yīng)波束算法

楊 帆， 汪 潔， 林 海， 葛俊祥

(南京信息工程大學(xué)電子信息技術(shù)與裝備研究院， 江蘇南京 210044)

0 引言

目前，傳統(tǒng)的針對陣列模型或?qū)蚴噶渴涞葐栴}提出的穩(wěn)健算法為：空間譜估計算法、稀疏矩陣重構(gòu)算法、對角加載(Diagnoal Loading，DL)算法、特征子空間算法(Eigenspace-based，ESB)和不確定集約束算法。對角加載波束形成算法通過在協(xié)方差矩陣上添加載平衡因子使得自適應(yīng)和魯棒性達(dá)到最佳平衡，但是因子大小的不易估計，改善效果不明顯。特征子空間算法和投影方法本質(zhì)上相同，已知期望和干擾信號導(dǎo)向矢量和特征向量，將所需信號投影到干擾互補子空間，從而得到最優(yōu)的加權(quán)矢量，更好地消除了導(dǎo)向矢量失配的誤差，但是在低信噪比時，信號功率和噪聲功率大小非常接近，通過特征值大小分辨出信號和噪聲子空間十分困難。稀疏矩陣算法是利用矩陣信號干擾空間的稀疏性，對信號的接收矩陣進(jìn)行了重構(gòu)，利用較低的快拍數(shù)恢復(fù)出原來的信號，以此降低算法計算量。不確定集約束的方法不同與以上對協(xié)方差矩陣的改進(jìn)，可看成是對權(quán)值的優(yōu)化約束問題。當(dāng)采樣協(xié)方差矩陣中包含了期望信號時，會出現(xiàn)信號“自消”現(xiàn)象，傳統(tǒng)的穩(wěn)健自適應(yīng)算法在期望導(dǎo)向量嚴(yán)重失配或高信噪比時，性能會下降。

為了提高自適應(yīng)波束算法的穩(wěn)健性，文獻(xiàn)[10]指出期望信號在空域中的功率分布中有殘留噪聲，消除殘留噪聲可以重構(gòu)出更加精確的期望導(dǎo)向矢量和干擾加噪聲矩陣協(xié)方差，但隨著信噪比的提高，干擾抑制減弱，算法性能變差。文獻(xiàn)[11-12]提出了對傳統(tǒng)的波束形成算法進(jìn)行加權(quán)，形成改進(jìn)算法，雖然相比傳統(tǒng)算法副瓣電平大大降低，小樣本情況下方向圖穩(wěn)定性也得到了極大的改善。但是由于沒有有效地提取出干擾噪聲信號協(xié)方差矩陣，故容易產(chǎn)生“自消”。文獻(xiàn)[13]在基于標(biāo)準(zhǔn)Capon波束形成器對期望矢量先進(jìn)行波束預(yù)處理，降低了導(dǎo)向矢量失配的影響，但是對干擾移動和低樣拍等情況下的算法性能沒有改善。文獻(xiàn)[14]在文獻(xiàn)[13]的基礎(chǔ)上展寬了干擾零陷，但是展寬干擾零陷引入的計算誤差會影響算法的性能，并且算法需要對所有空域進(jìn)行積分，運算量大。文獻(xiàn)[15]基于Capon的空間譜估計算法，重構(gòu)出精度較高的干擾噪聲協(xié)方差矩陣和期望信號，降低了失配對算法的影響。為了降低小樣本對波束性能的影響，文獻(xiàn)[16]提出了一種基于稀疏干擾矩陣的穩(wěn)健波束算法，該算法利用信號在空域的稀疏性，僅設(shè)置擾動參量對干擾方向的譜估計進(jìn)行修正并重構(gòu)，性能良好且計算復(fù)雜度低。文獻(xiàn)[17-18]提出了缺少先驗信息的協(xié)方差矩陣重構(gòu)算法，在未知陣列結(jié)構(gòu)的情況下性能良好，但是在估計期望信號導(dǎo)向矢量的時候不確定約束集的大小很難選擇，增大了算法的復(fù)雜性。文獻(xiàn)[19]使用去相關(guān)性算法得到新的干擾噪聲協(xié)方差矩陣，有效地降低了干擾和期望信號的相關(guān)性，但該算法提高波束形成的性能效果有限。文獻(xiàn)[20]針對干擾運動的抑制問題提出了一種零陷加寬的方法。

本文利用殘留噪聲功率消除重構(gòu)期望導(dǎo)向矢量和干擾協(xié)方差矩陣減小算法計算量，再基于改進(jìn)的MVDR算法有效地降低了副瓣和樣本對算法性能的影響，最后在干擾方向展寬零陷解決了干擾波動的問題。

1 陣列信號模型

()=()+()=

()+()

(1)

式中，=[(),(),…,()]為×(+1)維陣列流型矩陣，[]為矩陣轉(zhuǎn)置；()為采樣信號波形，為快拍數(shù)；()為期望導(dǎo)向矢量，()為干擾導(dǎo)向矢量，()為獨立同分布的高斯白噪聲向量。

元均勻線陣列天線的接收信號協(xié)方差矩陣為

=[()()]=

+=

(2)

根據(jù)最大化輸出信干噪比(MSINR)準(zhǔn)則，即

(3)

標(biāo)準(zhǔn)Capon波束形成可以表示期望信號無失真響應(yīng)下，陣列輸出功率最小的最優(yōu)化問題，即最小方差無失真響應(yīng)：

(4)

由此可得最優(yōu)權(quán)值為

(5)

(6)

2 本文提出的算法2.1 期望信號矢量估計

根據(jù)文獻(xiàn)[6]，MUSIC譜估計算法功率譜表示為

(7)

(8)

式(8)可表明，每個回波信號輻射區(qū)域中的功率是有用信號功率與空域噪聲功率之和，并且回波信號中包含的噪聲功率為自然噪聲功率的1。所以可推出空域噪聲功率可以利用功率譜在非信號區(qū)間進(jìn)行估計：

(9)

式中，為非期望信號角度區(qū)域，為在的采樣點，為采樣點個數(shù)。根據(jù)式(8)、式(9)，可獲得實際的噪聲功率和噪聲協(xié)方差矩陣：

(10)

為了降低計算量，可先結(jié)合文獻(xiàn)[13]對波束預(yù)處理，然后消除空域噪聲成分后重構(gòu)期望信號，其最大特征值對應(yīng)的特征矢量等于期望信號導(dǎo)向矢量。

2.2 干擾噪聲協(xié)方差矩陣估計

(()+())≈()

(11)

由式(11)可得

(12)

(13)

(14)

2.3 低副瓣加權(quán)和特征干擾相消

雖然重構(gòu)了導(dǎo)向矢量和干擾噪聲協(xié)方差矩陣，傳統(tǒng)的RCB算法在導(dǎo)向矢量失配的情況下具有穩(wěn)健性，但是當(dāng)小樣本和副瓣較高時，接收矩陣出現(xiàn)低秩和奇異解，從而導(dǎo)致算法產(chǎn)生較大的誤差。本文利用類似輸出方向圖加窗的方法，對最優(yōu)權(quán)值進(jìn)行加窗，使其隨單元分布成錐形減弱，從而達(dá)到副瓣電平降低的目的?，F(xiàn)在采用Dolph-Chebyshev加權(quán)函數(shù)對加窗，加窗后的期望信號方向矢量為

()=·()

(15)

另外，通過文獻(xiàn)[12]提出的特征干擾相消器，本文對干擾信號矢量建立新的線性約束，這樣提高干擾信號抑制和噪聲抑制自由度，優(yōu)點是在小樣本數(shù)下，減小噪聲的不穩(wěn)定對方向圖主瓣形成的影響。對應(yīng)線性最小方差約束(LCMV)算法，特征干擾相消器可稱為線性特征干擾相消器(LCEC)。

LCEC的準(zhǔn)則為

(16)

由拉格朗日乘子法求得式(16)的最佳權(quán)值為

=()(()())

(17)

2.4 干擾零陷展寬

本文結(jié)合了文獻(xiàn)[12]算法對權(quán)值進(jìn)行修正并對干擾輸出功率進(jìn)行參數(shù)約束，實現(xiàn)干擾區(qū)域零陷加寬。

要使上一節(jié)得到的權(quán)值更加接近最終權(quán)值，對權(quán)值進(jìn)行二次約束，可得約束方程如下：

(18)

式中，為極小的自定義約束且保證>0。利用Lagrange乘子法求解式(18)得目標(biāo)函數(shù)為

(19)

式中，為拉格朗日乘數(shù)。

對式(19)關(guān)于求偏導(dǎo)并使偏導(dǎo)等于零解得

(20)

最優(yōu)拉格朗日乘子可以通過求解約束方程獲得，將式(20)代入約束條件式(19)中，可得關(guān)于的方程：

(21)

從式(14)可知理想干擾協(xié)方差矩陣表達(dá)式為

(22)

(23)

(24)

可得的取值范圍為

(25)

(26)

3 仿真實驗分析

實驗1： 不同約束參數(shù)正負(fù)拉格朗日乘數(shù)的算法分析

當(dāng)輸入=10 dB，干噪比均為30 dB，采樣拍數(shù)=50。圖1、圖2的約束參數(shù)分別取較大= 10和較小= 10時波束對比。

圖1 ε=10-2的方向圖差異

圖2 ε=10-12的方向圖差異

從圖1可以看出，當(dāng)取值較大時，正負(fù)乘數(shù)都能實現(xiàn)期望導(dǎo)向失配修正和零陷變寬，且主瓣和副瓣吻合比較一致，波動較小。隨著取值越來越小，即約束參數(shù)精度越高時，如圖2所示，干擾零陷的深度會加深，功率轉(zhuǎn)移到主波束方向，導(dǎo)致主瓣相應(yīng)變寬和副瓣上升，算法性能略有下降。綜上可知，約束參數(shù)變化對算法性能雖然有影響，但該算法仍然擁有良好的抗干擾運動和抗系統(tǒng)誤差的魯棒性。

實驗2： 導(dǎo)向矢量失配時不同算法的波束圖分析

圖3 導(dǎo)向矢量失配下的歸一波束圖

圖4 高信噪比下的歸一波束圖

圖5 低樣拍數(shù)下的歸一波束圖

從圖3可以看出，在期望矢量失配時，幾種穩(wěn)健算法都能夠滿足失配下的校準(zhǔn)和干擾抑制，深度有所差別。文獻(xiàn)[14]和本文的算法不僅在干擾位置產(chǎn)生較深的零陷，并且對零陷有效的展寬，有利于抗干擾移動。但是從計算量來說，前者進(jìn)行空間譜估計時使用了大量積分運算，而后者的計算主要是矩陣分解，計算量大大減小，所以本文算法更有利于實際應(yīng)用。并且，由于本文使用了副瓣控制加權(quán)，在主瓣寬未發(fā)生大的擴展的前提下副瓣高度明顯比其他算法低，大大地提高了算法的性能。隨著信噪比的提高，如圖4可知文獻(xiàn)[10]算法由于信噪比過大，使()的近似估計誤差會增大，干擾信號無法正常抑制，性能急劇下降。在低樣拍數(shù)的情況下，如圖5所示，文獻(xiàn)[14]算法的樣拍數(shù)低于陣元數(shù)后性能急劇的惡化，導(dǎo)向矢量發(fā)生偏移，這是因為在低樣拍數(shù)下接收信號協(xié)方差矩陣發(fā)生誤差，無法再近似為實際信號計算。綜上分析，本文算法解決了在高信噪比和低樣拍數(shù)的情況下性能惡化的問題。

實驗3： 不同輸入SNR下的輸出SINR分析

圖6 不同輸入信噪比下的輸出信干噪比

從圖6可以看出，本文算法使用的展寬零陷算法帶來了約束計算的誤差，會導(dǎo)致性能的下降，但是用副瓣加權(quán)的算法可以優(yōu)化旁瓣，從而彌補性能的下降，使其遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于其他算法。并且，本文算法利用特征干擾相消算法重構(gòu)干擾矩陣從根本上解決了在高信噪比下干擾抑制下降的問題，使輸出SINR與理論情況相差很小。

實驗4： 不同采樣拍數(shù)下的輸出SINR分析

圖7 不同快拍數(shù)下的輸出信干噪比

從圖7可知，本文算法明顯降低了快拍數(shù)對算法穩(wěn)健性的影響，在極低的樣本數(shù)下就能快速達(dá)到收斂，并且輸出SINR接近理論值。相比本文算法，文獻(xiàn)[14]達(dá)到性能收斂時樣本數(shù)至少需要20。文獻(xiàn)[12]和文獻(xiàn)[20]都只考慮了單方面的因素，性能一般。理論波束算法在低樣拍數(shù)時無法得到完整的樣本協(xié)方差矩陣，所以算法性能出現(xiàn)急劇變化，直到快拍數(shù)為50才趨于收斂。綜上可得，本文算法在不降低算法性能的前提下，大大提高了算法收斂的速度。

實驗5： 隨失配角度變化的輸出SINR分析

當(dāng)快拍數(shù)=50，輸入=10 dB，=30 dB固定不變。圖8表示期望信號的失配角度在[-12:1:12]范圍內(nèi)，輸出SINR的曲線對比。

圖8 不同失配角度下的輸出信干噪比

由圖8可得，本文的算法失配角度在[-8:1:8]有著良好的穩(wěn)健性，使用了矩陣相消算法的文獻(xiàn)[12]由于未對期望信號矢量進(jìn)行估計，所以在角度失配方面穩(wěn)健性差。文獻(xiàn)[20]在期望信號失配時輸出SINR發(fā)生了劇烈起伏，并且遠(yuǎn)離性能最優(yōu)值。本文算法在導(dǎo)向矢量失配的情況下穩(wěn)健性與空間譜估計算法近似，且寬度略寬。

實驗6： 不同算法的復(fù)雜度對比分析

算法的運算速度是數(shù)字波束形成器實際應(yīng)用的關(guān)鍵，為了減少FPGA和AD采樣的壓力，快速的自適應(yīng)算法是對雷達(dá)工作性能的保證，所有算法在MATLAB上進(jìn)行仿真，性能配備主頻為3.79 GHz-CPU。在其他仿真條件不變的情況下，快拍數(shù)=100，輸入=10 dB，干擾噪聲比為=30 dB。當(dāng)將期望回波信號和強干擾信號預(yù)估范圍設(shè)置為10°，為信號空域內(nèi)的總采樣點數(shù)，為陣元個數(shù)，為空域回波信號總數(shù)。算法總運行的時間由100次獨立的蒙特卡洛實驗累計得到。

由表1可知，本文算法和文獻(xiàn)[10]算法主要的運算是矩陣特征分解，因此處于同一個量級，文獻(xiàn)[12]主要是矩陣求逆運算，而文獻(xiàn)[14]算法在重

表1 不同算法的復(fù)雜度對比

構(gòu)干擾噪聲矩陣時比本文算法增多了特征分解和空間積分運算，由于?，所以當(dāng)陣列數(shù)較小時，L的影響遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于N，故大大地增加了算法的運算時間。

綜上所述，本文算法在陣元數(shù)較大的時候，保證了算法的復(fù)雜度，在陣元數(shù)較小的情況下，減少算法的計算量。

4 結(jié)束語

本文算法首先基于殘留噪聲消除算法對期望信號矢量進(jìn)行了估計，然后利用干擾功率估計算法構(gòu)造了新的干擾噪聲協(xié)方差矩陣，此算法較空間積分算法而言，性能更優(yōu)，且計算量更??；接著為了降低零陷展寬算法誤差對波束性能的影響，對最優(yōu)權(quán)值進(jìn)行副瓣加權(quán)降低波束的旁瓣；并結(jié)合特征干擾相消，消除快拍數(shù)對波束形成算法的影響；最后在構(gòu)造干擾矩陣零陷之后，使用二次約束準(zhǔn)則實現(xiàn)零陷加寬，雖然干擾區(qū)域展寬會使得零陷深度降低，但是提高了算法的魯棒性，更有利于實際應(yīng)用。仿真結(jié)果證明了該方法在降低協(xié)方差矩陣構(gòu)造計算量的同時，克服了比較算法在高信噪比和低樣拍數(shù)的情況中性能下降的問題，提升了導(dǎo)向矢量失配和抗運動干擾的能力。本文算法在高信噪比和強干擾等惡劣環(huán)境中都擁有良好的魯棒性，通過降低快拍數(shù)的影響和減少計算量，使算法在雷達(dá)休止期擁有更快的波束校準(zhǔn)和波束形成。