初等變換在解線性方程組教學(xué)過程中的應(yīng)用探討

吳敬源

摘要：該文對初等變換在解線性方程組教學(xué)過程中的應(yīng)用進(jìn)行探討。運(yùn)用增廣矩陣、初等變換以及行階梯形矩陣等知識求解線性方程組，列出線性方程組的增廣矩陣，然后利用初等變換把增廣矩陣變換成行階梯形矩陣，進(jìn)而變換成行最簡矩陣，然后進(jìn)行回代，進(jìn)而求解線性方程組。其可以拓展學(xué)生對求解線性方程組方法的范圍，便捷求解線性方程組的過程，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和效率。

關(guān)鍵詞：矩陣??線性方程組??增廣矩陣??初等變換

中圖分類號：G64???文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A???文章編號：1672-3791（2022）07（b）-0000-00

On?the?Application?of?Elementary?Transformation

in?the?Teaching?of?System?of?Linear?Equations

WU?Jingyuan

（Jilin?University?of?Architecture?and?Technology，?Changchun，?Jilin?Province，?130000?China）

Abstract：This?paper?discusses?the?application?of?elementary?transformation?in?the?teaching?of?system?of?linear?equations.?Using?the?knowledge?of?augmented?Matrix，?elementary?transformation?and?Row?echelon?form?to?solve?the?system?of?linear?equations，?the?augmented?Matrix?of?system?of?linear?equations?is?listed，?and?then?the?augmented?matrix?is?transformed?into?Row?echelon?form?by?elementary?transformation，?the?Matrix?is?then?transformed?into?a?row?minimax?Matrix，?which?is?then?iterated back?to?solve?the?system?of?linear?equations.?It?can?expand?the?scope?of?the?system?of?linear?equations?method，?facilitate?the?system?of?linear?equations?process，?and?improve?students’learning?interest?and?efficiency.

Key?Words：Matrix;?System?of?linear?equations;?Augmented?Matrix;?Elementary?Matrix

1?初等變換在解線性方程組過程中的重要性

線性代數(shù)這門課程對于理工科專業(yè)的學(xué)生來說是尤為重要的，在例如互聯(lián)網(wǎng)等行業(yè)中應(yīng)用廣泛，所以學(xué)好線性代數(shù)是至關(guān)重要的。而求解線性方程組又是線性代數(shù)最為關(guān)鍵的一部分內(nèi)容，所以如何快速簡潔地求解線性方程組對于學(xué)習(xí)線性代數(shù)這門課的學(xué)生來說，是重中之重。傳統(tǒng)求解線性方程組用的方法是消元法，由于高元線性方程組未知數(shù)較多，求解過程較為繁瑣，運(yùn)算一起來容易出錯，因此引入初等變換的方法求解線性方程組可以省略很多步驟符號，使求解過程簡練且不易出錯。

2?初等變換求解線性方程組的計(jì)算方法

2.1利用消元法求解線性方程組.

在學(xué)習(xí)初等變換之前我們解線性方程組通常是利用消元法去求解，消元法求解線性方程組的基本思想就是通過方程組的一系列變換，消去一些方程中的若干個未知量，把方程組化為易于求解的同解方程組，那么通過消元要把方程組化成怎樣的簡單形式，消元過程又要涉及哪些變換，我們將通過下面這道具體例題進(jìn)行回答。

例1：求解線性方程組

解：未知量個數(shù)越少，方程組就越容易求解，所以通過消元使方程組下邊方程中未知量個數(shù)少于上邊方程中未知量的個數(shù)，先看未知量，由于最上邊的方程含，因此保留方程不變，利用及加減消元法消去下邊各方程中的，為此方程加上的（-2）倍，方程加上的（-2）倍，方程加上的（-2）倍，把方程組化為：

在上述方程組中除了方程外，后邊的3個方程都不再含，按照上述的思路，對后3個方程繼續(xù)進(jìn)行消元：再考慮，注意到方程中的系數(shù)為-1.為了運(yùn)算方便將方程與交換位置，于是得到：

再利用方程消去方程與中的，為此方程加上方程的（-2）倍、方程加上方程的4倍，得到方程組：

然后依次往上代入即可求出全部解。從例1看出消元法求解線性方程組的全過程：首先選取含的方程作為方程組的第一個方程，并利用第一個方程，消去它下邊每個方程中的，然后在新方程組中，不考慮第一個方程，對余下方程重復(fù)以上做法，即選取第一個含有的方程作為第一個方程，并消去它下邊每個方程中的，這樣繼續(xù)做下去，直到把方程組化為一個階梯形狀的方程組，這個過程為正向消元。另一個過程是回代的過程，這個過程稱為逆向求解：先求出最后一個未知數(shù)，然后依次的回代，從而求得所有未知數(shù)。以上就是用消元法求解線性方程組的過程，發(fā)現(xiàn)整個過程非常的繁瑣，需要求解的過程非常多，對求解線性方程組造成了很多的不便。因此，可以利用另一種方法去求解線性方程組，就是利用初等變換的方法求解線性方程，求解的過程會非常的簡捷，并且不易出錯，那么利用初等變換如何求解線性方程組呢，通過下面的幾點(diǎn)一一的闡述。

2.2初等變換的定義

首先要了解初等變換的定義，以下三種變換成為矩陣的初等行變換：

（1）對調(diào)兩行（列）（對調(diào)i，j兩行記作?對調(diào)i，j兩列記作）。（2）以數(shù)k10乘某一行（列）中的所有元素（第i行乘k記作，?第i列乘k記作?）;

（3）把某一行（列）所有元素的k倍加到另一行（列）對應(yīng)元素上去（第j行的k倍加到第i行上記作，第j列的k倍加到第i列上記作）。

把“行”換成“列”即為初等列變換，初等行變換與初等列變換，統(tǒng)稱為初等變換[1]。

值得注意的是：三種變換都是可逆的，?且其逆變換是同一類型的初等變換;?變換的逆變換就是其本身;?變換的逆變換為（或記作）;?變換的逆變換為[2]。

2.3增廣矩陣的定義

運(yùn)算之前還需要明確增廣矩陣的定義與利用初等變換把矩陣變成行最簡矩陣的過程。

首先，我們知道n個未知數(shù)m個方程的線性方程組

可以寫成，矩陣稱為線性方程組的增廣矩陣。

其次，要了解兩個定義。（1）行階梯形矩陣：?其特點(diǎn)是：?可畫出一條階梯線，?線的下方全為0;每個臺階只有一行，?臺階數(shù)即是非零行的行數(shù)，?階梯線的豎線（每段豎線的長度為一行）后面的第一個元素為非零元，?也就是非零行的第一個非零。（2）行最簡形矩陣：其特點(diǎn)是非零行的第一個非零元為1，?且這些非零元所在的列的其他元素都是0?？梢宰C明，對于任何矩陣A，總可經(jīng)過有限次初等行變換把它變?yōu)樾须A梯形矩陣和行最簡形矩陣。

2.4利用初等變換求線性方程組

了解以上內(nèi)容之后，就可以開始利用初等變換求解線性方程組，由初等代數(shù)知，線性方程組經(jīng)過方程組的初等變換后得到同解方程組，顯然，線性方程組與它的增廣矩陣是一一對應(yīng)的，于是對線性方程組施行方程組的初等變換，相當(dāng)于對它的增廣矩陣施行初等行變換，反過來也成立[3]。所以，用矩陣的初等行變換化方程組的增廣矩陣為階梯形矩陣，就相當(dāng)于用線性方程組的初等變換化方程組為階梯型方程組。比如上面的例1這道題。

用矩陣的初等行變換表示這道題的變換過程就是：

即將線性方程組的增廣矩陣化成階梯形矩陣。然后寫出對應(yīng)的線性方程組：

它是原方程組的同解方程組，通過回代即可求出其解。這種做法的優(yōu)越性在由矩陣化為的過程中充分顯示出來，它使得運(yùn)算變得簡捷，消元過程直觀清楚。因此，今后用消元法解線性方程組，就是對線性方程組的增廣矩陣施行初等行變換將其化成階梯形，再寫出該階梯形矩陣所對應(yīng)的線性方程組，然后通過回代求解方程組的解。由于將線性方程組的增廣矩陣化成階梯形的過程中，每行的首非零元素起著主要作用，所以把這些首非零元稱為主元素或主元。消元法是利用每個主元消去它下邊的元素。如果不僅消去主元下邊的元素，也消去主元上邊的元素，則求解過程不需要回代。它要求把增廣矩陣化成行簡化階梯形矩陣，該行簡化階梯形矩陣也稱為行最簡矩陣，所謂的行最簡矩陣，在上面我們提到過其概念[4]。

所以綜上所述，總結(jié)之后可以得出求解過程主要分為以下三步。

（1）利用初等變換求解線性方程組的計(jì)算方法主要是把線性方程組中的系數(shù)與常數(shù)按照原有順序提出來組成一個增廣矩陣。

即：?，其中A為系數(shù)矩陣，c為常數(shù)項(xiàng)。

（2）對增廣矩陣進(jìn)行初等行變換，把增廣矩陣變成一個行最簡矩陣。

（3）回帶成線性方程組，即可求出線性方程組的解。

這里要注意的是一定是進(jìn)行初等行變換，因?yàn)橐ＷC第一列代表的是的系數(shù)，第二列代表的是的系數(shù)，以此類推，所以只能運(yùn)用初等行變換，切不可運(yùn)用任何初等列變換進(jìn)行變換。那么具體題型是怎樣應(yīng)用的，我們可以通過下面的例2進(jìn)行闡釋。

例2：求解方程組：

解：由于消元法需要把未知數(shù)也寫上，很繁瑣，而利用初等變換求解只需要寫出系數(shù)與常數(shù)，即：

然后對增廣矩陣進(jìn)行初等行變換變成行最簡矩陣：

由于整個過程運(yùn)用的都是初等行變換，而沒有進(jìn)行初等列變換，所以沒有改變各個未知數(shù)前面的系數(shù)，第一列、第二列、第三列依然是、、的系數(shù)，第四列依然是常數(shù)項(xiàng)，因此可以回帶成線性方程組的形式：

這樣線性方程組就得以解出。不難發(fā)現(xiàn)利用初等變換求解線性方程組要比消元法求解線性方程組簡捷很多，在講解的過程中一定要細(xì)致，環(huán)環(huán)相扣，這樣會更直觀地給學(xué)生展示出利用初等變換求解線性方程組的全部過程，以便學(xué)生可以更好地理解知識點(diǎn)。

3?提高學(xué)生學(xué)習(xí)初等變換求解線性方程組的對策

以上這種方法求解線性方程組要比中學(xué)時期學(xué)習(xí)的消元法求解線性方程組簡單許多，可以在講解這個方法之后，讓兩個學(xué)生上講臺進(jìn)行比賽[5]，一個運(yùn)用消元法求解線性方程組，一個運(yùn)用初等變換求解線性方程組，看一看誰做的又快正確率又高。也可以采用小組討論的形式進(jìn)行教學(xué)[6]，讓學(xué)生四人分成一組，在講解完知識點(diǎn)后，給幾分鐘時間，讓大家討論并互相提出問題、解答問題。這樣不但可以活躍課堂氣氛，還可以提高學(xué)生的興趣以及對學(xué)習(xí)新知識的熱情，學(xué)生不但學(xué)到新知識，也在學(xué)習(xí)的過程中感受到了樂趣，對教學(xué)過程很有幫助。此外，在課程中還需要注意發(fā)揮學(xué)生的主體作用。學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，要讓他們準(zhǔn)確的掌握如何運(yùn)用初等變換求解線性方程組，熟練的運(yùn)用知識解決實(shí)際問題，調(diào)動其學(xué)習(xí)的積極性和主動性，要讓學(xué)生自己練習(xí)去解決此類問題。

通過這樣的教學(xué)方式，學(xué)生在學(xué)習(xí)初等變換的知識點(diǎn)的時候就會記住初等變換有哪三種形式，在學(xué)習(xí)增廣矩陣如何變成行最簡矩陣時，就會知道怎樣利用初等變換去進(jìn)行運(yùn)算等，有助于學(xué)生的知識的理解記憶及應(yīng)用。

4?結(jié)語

線性代數(shù)是很多高校都會開設(shè)的一門課程，該文主要研究了如果利用初等變換求解線性方程組，會發(fā)現(xiàn)此種方法比之前學(xué)習(xí)的用消元法求解線性方程組簡單許多，在求解過程中，省略了很多繁瑣的過程，使整個求解過程清晰明了，從而減少產(chǎn)生錯誤的概率。求解線性方程組又是學(xué)習(xí)線性代數(shù)很重要的一個環(huán)節(jié)，利用初等變換求解線性方程組也是解線性方程組的重要方法之一，學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程加入一些趣味競賽以及獨(dú)特的教學(xué)方法，就可以很好地提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，讓學(xué)生可以充滿熱情地學(xué)習(xí)初等變換這個重要的知識點(diǎn)，有助于提升學(xué)生的學(xué)習(xí)效率。

參考文獻(xiàn)

[1] 顧江永.矩陣的初等變換及其應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2021（17）：4-5.

[2] 李燕娟.矩陣的初等變換在線性代數(shù)中的應(yīng)用探索[J].科技視界，2020（18）：55-56.

[3] 朱琳.基于發(fā)生教學(xué)法的線性空間概念的教學(xué)研究[D].上海：華東師范大學(xué)，2017.

[4]夏遠(yuǎn)梅.關(guān)于利用初等變換法求解線性方程組的教學(xué)研究與探討[J].數(shù)理化解題研究，2021（21）：10-11.

[5] 裘鍇.中職計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)專業(yè)“以賽促學(xué)”教學(xué)模式探究與應(yīng)用[D].南昌：江西科技師范大學(xué)，2021.

[6] 王璐璐.小組討論式教學(xué)在高中政治課中存在的問題及對策研究[D].武漢：華中師范大學(xué)，2020.