基于貝塞爾-高斯光束的布朗粒子的擴(kuò)散特性

劉冬梅，王彤旭，陳 亞，溫演柔，文瀚澤，韓 鵬

(1.華南師范大學(xué) a.物理與電信工程學(xué)院;b.廣東省光電檢測(cè)儀器工程技術(shù)研究中心，廣東 廣州 510006；2.華南師大(清遠(yuǎn)) 科技創(chuàng)新研究院,廣東 清遠(yuǎn) 511517)

布朗運(yùn)動(dòng)是指懸浮在液體或氣體中的微粒所作的永不停息的無規(guī)則運(yùn)動(dòng)[1]，這是由英國(guó)植物學(xué)家Brown于1826年用顯微鏡觀察懸浮在水中的花粉時(shí)發(fā)現(xiàn)的。直到1905年，Einstein利用隨機(jī)行走模型對(duì)這一現(xiàn)象給出了解釋，認(rèn)為花粉的無規(guī)則擴(kuò)散運(yùn)動(dòng)是由于液體中水分子碰撞導(dǎo)致的[2-3]。這個(gè)猜測(cè)由法國(guó)物理學(xué)家Perrin于1909年通過實(shí)驗(yàn)證實(shí)[4]，為此他獲得了1926年的諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)。布朗運(yùn)動(dòng)看似雜亂無章、毫無規(guī)律，其實(shí)它符合漲落定律，并具有廣泛的應(yīng)用前景和實(shí)用價(jià)值。例如，制作布朗馬達(dá)捕獲單分子[5]，研究膠體的動(dòng)態(tài)光散射信號(hào)[6]以及研究聚合物體系擴(kuò)散動(dòng)力學(xué)理論[7]等。

迄今為止，有關(guān)布朗運(yùn)動(dòng)的研究已經(jīng)取得了一系列的成果，然而，無論是在真實(shí)環(huán)境還是在實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)中，布朗粒子的運(yùn)動(dòng)都不可能是絕對(duì)自由的，或多或少都會(huì)受到一定的限制。這種限制可能來源于布朗粒子之間的相互作用、障礙物對(duì)粒子的作用、也可能是外界對(duì)粒子施加的場(chǎng)或力，因此，研究在一定限制條件下布朗粒子的擴(kuò)散特性是一項(xiàng)十分重要的工作，引起了研究人員的廣泛關(guān)注。

已有研究表明，被動(dòng)布朗粒子在不對(duì)稱受限周期通道中會(huì)出現(xiàn)流反轉(zhuǎn)現(xiàn)象[8]，而主動(dòng)布朗粒子在封閉空間中則更傾向于在邊界處運(yùn)動(dòng)。2013年Kai等[9]研究了納米粒子在納米圓柱陣列中的擴(kuò)散特性，發(fā)現(xiàn)圓柱之間的距離越小對(duì)粒子的擴(kuò)散運(yùn)動(dòng)限制越大。除了上述空間結(jié)構(gòu)的限制影響布朗粒子的擴(kuò)散特性之外，施加外場(chǎng)也同樣會(huì)影響粒子的擴(kuò)散特性。2018年，我們課題組利用弱激光產(chǎn)生光勢(shì)阱限制布朗粒子的運(yùn)動(dòng)，研究了粒子的擴(kuò)散系數(shù)隨激光功率的變化情況，結(jié)果發(fā)現(xiàn)布朗粒子的擴(kuò)散系數(shù)會(huì)因光勢(shì)阱的限制作用而小于無激光時(shí)粒子的[10]；此后，還研究了光的偏振特性對(duì)布朗粒子的擴(kuò)散運(yùn)動(dòng)的影響[11]。

近年來，貝塞爾光束被廣泛用來進(jìn)行顆粒操控[12]，但其效率較低，一次只能操控幾個(gè)或幾十個(gè)粒子。為了解決這個(gè)問題，我們課題組擬利用貝塞爾光束來實(shí)現(xiàn)對(duì)群體顆粒的操控；另一方面，由于它攜帶了無限的能量，因此在實(shí)驗(yàn)室上不能實(shí)現(xiàn)理想的貝塞爾光束，為了避免無限能量問題，通常實(shí)驗(yàn)上得到的是由高斯包絡(luò)調(diào)制的貝塞爾-高斯光束。為了更進(jìn)一步研究貝塞爾-高斯光束對(duì)群體布朗粒子的操控，本文中首先在實(shí)驗(yàn)上研究貝塞爾-高斯光束對(duì)群體聚苯乙烯小球擴(kuò)散運(yùn)動(dòng)的影響，并基于共軸差分顯微技術(shù)[10-11,13]測(cè)量粒子擴(kuò)散系數(shù)隨激光功率的變化；基于貝塞爾-高斯光束的特點(diǎn)，結(jié)合群體粒子在其中的擴(kuò)散特性，為進(jìn)一步操控群體顆粒提供理論和實(shí)驗(yàn)支撐，為發(fā)展新的粒子分選技術(shù)提供可能途徑。

1 原理

粒子在溶液中作布朗運(yùn)動(dòng)時(shí)，入射到粒子上的激光會(huì)被粒子散射。由于樣品池表面和接收物鏡產(chǎn)生的噪聲都是靜態(tài)的，因此可以通過將不同時(shí)刻的2幀顯微圖像的灰度值相減的方法來去除靜態(tài)噪聲，從而得到顆粒布朗運(yùn)動(dòng)的光強(qiáng)散射信號(hào)。差分動(dòng)態(tài)顯微術(shù)就是利用圖像光強(qiáng)差來獲得粒子擴(kuò)散系數(shù)的一種方法。具體做法如下：依次將第2幀到最后1幀的顯微圖像與0時(shí)刻的顯微圖像相減，得到其光強(qiáng)差值，并用σ2(Δt)表示不同時(shí)刻圖像之間的差異程度，可以寫為

ΔI(x,y;Δt)=I(x,y;t)-I(x,y;0)，

(1)

(2)

式中：I(x，y；t)表示在t時(shí)刻顯微圖像上點(diǎn)(x，y)處的光強(qiáng)值；I(x，y；0)表示0時(shí)刻顯微圖像上點(diǎn)(x，y)處的光強(qiáng)值；ΔI(x，y；Δt)是時(shí)間相差Δt的2幅圖像在同一點(diǎn)(x，y)的光強(qiáng)之差。

將式(2)作傅里葉變換等效到頻域中，得到

(3)

(4)

(5)

式中：A(q)對(duì)應(yīng)粒子的散射光信號(hào)；B(q)為背景噪聲。眾所周知，在較短的時(shí)間間隔內(nèi)，溶液中作布朗運(yùn)動(dòng)的聚苯乙烯小球的2幀圖像的相關(guān)性越大，則特征時(shí)間τ(q)越小。隨著Δt時(shí)間的增大，圖像的相關(guān)性越小，即特征時(shí)間越大，功率譜函數(shù)趨于一個(gè)常數(shù)，因此，通過擬合式(5)可以得到不同波矢q對(duì)應(yīng)的特征時(shí)間τ(q)值。而由動(dòng)態(tài)光散射理論可知，粒子在溶液中作布朗運(yùn)動(dòng)，其擴(kuò)散系數(shù)De與波矢q、特征時(shí)間τ(q)存在以下關(guān)系：

(6)

基于上述過程，結(jié)合式(1)—(6)，可以獲得實(shí)驗(yàn)上顆粒作布朗運(yùn)動(dòng)的擴(kuò)散系數(shù)De。

2 實(shí)驗(yàn)

2.1 裝置

圖1為共軸差分動(dòng)態(tài)顯微成像系統(tǒng)的光路示意圖。如圖1所示，波長(zhǎng)為638 nm的半導(dǎo)體激光器出射高斯光束，光束經(jīng)過擴(kuò)束和準(zhǔn)直后入射到二向色分光鏡，再經(jīng)過10倍(數(shù)值孔徑為0.25)物鏡聚焦，產(chǎn)生直徑約為260 μm的高斯光束照射到矩形樣品池上；同時(shí)，照明光源使用LED光(GCI-060411，440～670 nm，1 W)，它通過凸透鏡產(chǎn)生一束平行光，被二向色分光鏡反射后，與激光共軸入射到樣品池上，形成亮度均勻的照明光場(chǎng)；樣品池的大小為50 mm(x方向，長(zhǎng)度)×10 mm(y方向，寬度)×2.4 mm(z方向，高度)，上、下壁之間的距離為1.2 mm。為了忽略小球之間、小球與樣品池壁之間的相互作用，實(shí)驗(yàn)中配置聚苯乙烯小球溶液的體積分?jǐn)?shù)為0.1%，并將顯微圖像的觀測(cè)面設(shè)置在樣品池的中間位置。由于小球在水溶液中作布朗運(yùn)動(dòng)，入射到溶液中的激光會(huì)被小球散射，其散射光強(qiáng)經(jīng)過25倍物鏡(數(shù)值孔徑為0.4)收集，最后被高速CCD相機(jī)(FR180，分辨率2 048像素×1 088像素，采集幀率大于165 s-1)記錄下來。為保護(hù)CCD相機(jī)不被激光損壞，且能觀察到清晰的聚苯乙烯小球運(yùn)動(dòng)，在相機(jī)和物鏡之間放置了一個(gè)帶通濾光片(HSPH-600-D25)，用來去除波長(zhǎng)為638 nm的激光對(duì)顯微圖像的影響。

圖1 共軸差分動(dòng)態(tài)顯微成像系統(tǒng)的光路示意圖Fig.1 Schematic diagram of optical path of coaxial differential dynamic microscopy imaging system

2.2 實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)穩(wěn)定性測(cè)試

為驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，測(cè)量了只有照明光時(shí)溶液體積分?jǐn)?shù)為0.1%的聚苯乙烯小球作布朗運(yùn)動(dòng)的擴(kuò)散系數(shù)。具體操作如下：實(shí)驗(yàn)室溫度為24.4 ℃，首先利用麥克粒度儀對(duì)標(biāo)稱粒徑為(799±9)nm的聚苯乙烯小球進(jìn)行測(cè)量，測(cè)得其粒徑為813.39 nm，與標(biāo)準(zhǔn)值的偏差為1.67%。根據(jù)斯托克斯-愛因斯坦公式[15]

(7)

式中：Dm為理論擴(kuò)散系數(shù)；KB為玻爾茲曼常數(shù)；T為系統(tǒng)熱力學(xué)溫度，K；η為水的黏滯系數(shù)，μPa·s；d為顆粒的粒徑，nm。可以計(jì)算得到理論上小球的擴(kuò)散系數(shù)為0.586 μm2/s。

然后，將超純水和聚苯乙烯小球按體積分?jǐn)?shù)為0.1%配置成溶液，使用移液器將樣品池注滿溶液，并將其放置在載物臺(tái)上。調(diào)整LED照明光源的光強(qiáng)，直到在CCD視野中觀察到清晰的聚苯乙烯小球的布朗運(yùn)動(dòng)。設(shè)置CCD的曝光時(shí)間為1 ms，圖像采集幀率為160 s-1。連續(xù)對(duì)小球的布朗運(yùn)動(dòng)記錄15 s，共得到2 400張攜帶小球運(yùn)動(dòng)的顯微圖像，分辨率為2 048 px×1 088 px。基于上述差分動(dòng)態(tài)顯微技術(shù)原理編寫MATLAB程序處理顯微圖像，可以得到實(shí)驗(yàn)上小球擴(kuò)散系數(shù)為0.576 μm2/s，與理論值相吻合，說明該實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。

2.3 貝塞爾-高斯光束的產(chǎn)生

利用環(huán)形相位結(jié)構(gòu)來獲得的貝塞爾-高斯光束如圖2所示。如圖2(a)所示，基于遺傳算法[16]，優(yōu)化出環(huán)形相位結(jié)構(gòu)，并在工藝上制備環(huán)形相位樣品，該結(jié)構(gòu)中心由直徑為10 μm的圓斑和外圍優(yōu)化的圓環(huán)組成，單位圓環(huán)寬為1 μm，相位差為0.71π。實(shí)驗(yàn)中將環(huán)形相位樣品放置在樣品池的上表面，使激光光斑中心和該結(jié)構(gòu)中心重合；從激光器中出射的高斯光束經(jīng)過環(huán)形結(jié)構(gòu)后，光強(qiáng)進(jìn)行了重新分布，能量主要集中在靠近中心的2個(gè)亮環(huán)上，越向外能量越弱，圖2(b)所示為利用該樣品得到的貝塞爾-高斯光束分布。然后，讓該光束照射到注滿聚苯乙烯小球溶液的樣品池中，研究小球在貝塞爾-高斯光束光場(chǎng)中不同激光功率下的擴(kuò)散特性。

3 結(jié)果與分析

將由環(huán)形結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的貝塞爾-高斯光束照射到聚苯乙烯溶液中，觀察作布朗運(yùn)動(dòng)的聚苯乙烯小球擴(kuò)散運(yùn)動(dòng)的變化，并測(cè)量不同入射激光功率下的擴(kuò)散系數(shù)。高斯光束與貝塞爾-高斯光束對(duì)聚苯乙烯小球擴(kuò)散系數(shù)的影響如表1所示。

表1 高斯光束與貝塞爾-高斯光束對(duì)聚苯乙烯小球擴(kuò)散系數(shù)的影響Tab.1 Influence of Gaussian and Bessel-Gaussian beam on diffusion coefficients of polystyrene spheres

從表1可知，當(dāng)激光入射功率為19 mW時(shí)，聚苯乙烯小球的擴(kuò)散系數(shù)為0.575 μm2/s，與無激光作用時(shí)的擴(kuò)散系數(shù)0.576 μm2/s幾乎相等，說明激光很弱時(shí)，貝塞爾-高斯光束形成的光勢(shì)阱對(duì)小球的限制作用幾乎沒有體現(xiàn)，因而小球的運(yùn)動(dòng)沒有受到任何影響，仍然保持原來的布朗運(yùn)動(dòng)，擴(kuò)散系數(shù)沒有變化。當(dāng)進(jìn)一步增大激光功率到25 mW時(shí)，小球的擴(kuò)散系數(shù)有明顯的下降，減小到0.505 μm2/s，與沒有激光照射時(shí)的擴(kuò)散系數(shù)相比，變化量達(dá)到了12.3%，說明由于激光功率的增大，貝塞爾-高斯光束形成的光勢(shì)阱對(duì)處于其中的小球有束縛作用，因此小球作受限布朗運(yùn)動(dòng)，其擴(kuò)散系數(shù)顯著減小。當(dāng)激光入射功率增大到30 mW時(shí)，小球的擴(kuò)散系數(shù)為0.510 μm2/s，相比于激光功率為25 mW時(shí)的情況，此時(shí)擴(kuò)散系數(shù)有細(xì)微的增加，出現(xiàn)這種現(xiàn)象的原因，一方面是當(dāng)理論上激光功率增大時(shí)，產(chǎn)生的光勢(shì)阱對(duì)小球的束縛作用會(huì)增強(qiáng)，但是，貝塞爾-高斯光束的光強(qiáng)分布特點(diǎn)——能量主要集中在中心很小的區(qū)域，使得局部區(qū)域的光強(qiáng)很強(qiáng)，相應(yīng)的熱效應(yīng)增大，從而會(huì)加快粒子的熱運(yùn)動(dòng)，在光阱力和黏滯力的協(xié)同作用下，小球的平均擴(kuò)散系數(shù)反而略微增大；另一方面，雖然激光功率增大了，但作受限布朗運(yùn)動(dòng)的粒子要達(dá)到平衡狀態(tài)還需要一定的時(shí)間，而在15 s的顯微圖像采集過程中，小球可能還處于非平衡狀態(tài)，使得測(cè)量得到的擴(kuò)散系數(shù)有一定波動(dòng)。

從表1還可以分析出相同功率下高斯光束對(duì)聚苯乙烯小球布朗運(yùn)動(dòng)的影響。當(dāng)入射激光功率為19 mW時(shí)，在高斯光束照射下顆粒作布朗運(yùn)動(dòng)的擴(kuò)散系數(shù)為0.513 μm2/s，與只有照明光時(shí)的擴(kuò)散系數(shù)0.576 μm2/s相比，變化量為10.9%；增大功率至25 mW時(shí)，擴(kuò)散系數(shù)變?yōu)?.479 μm2/s，減小了0.034 μm2/s，與無激光時(shí)相比變化量達(dá)到了16.8%，說明高斯光束產(chǎn)生的光勢(shì)阱對(duì)小球有很強(qiáng)的限制作用，從而使得小球的布朗運(yùn)動(dòng)明顯減弱。

聚苯乙烯小球在不同光束作用下的擴(kuò)散系數(shù)隨功率的變化如圖3所示。由圖3可見，當(dāng)貝塞爾-高斯光束照射聚苯乙烯小球時(shí)，小球的擴(kuò)散系數(shù)比無激光照射時(shí)的要小。此外，隨著激光入射功率的增大，小球擴(kuò)散系數(shù)表現(xiàn)出先減小后增大的趨勢(shì)。聚苯乙烯小球在激光作用下作受限布朗運(yùn)動(dòng)，根據(jù)朗茲萬方程[17]可知，這時(shí)小球的受力情況為

圖3 聚苯乙烯小球在不同光束作用下的擴(kuò)散系數(shù)隨功率的變化Fig.3 Variation of diffusivity of polystyrene spheres with power under different beams

F(t)=-Fc(t)-Ft(t)+FB(t)，

(8)

式中：右邊第1項(xiàng)代表黏滯力Fc(t)=3πηdvc，vc是小球相對(duì)周期液體的速度；Ft(t)=-kx是光阱力，其中k為勢(shì)阱剛度；第3項(xiàng)是布朗運(yùn)動(dòng)的隨機(jī)力，它對(duì)時(shí)間的平均值為0。

從圖3還可以看出，相同功率條件下，貝塞爾-高斯光束的擴(kuò)散系數(shù)比高斯光束的要大；當(dāng)激光功率增大到30 mW時(shí)，高斯光照射下的聚苯乙烯小球擴(kuò)散系數(shù)和貝塞爾-高斯時(shí)的情況類似，不僅沒有減小，反而略微增大。有激光照射時(shí)，由于激光產(chǎn)生的光勢(shì)阱對(duì)小球有限制作用，改變了小球的擴(kuò)散行為，這時(shí)小球作受限布朗運(yùn)動(dòng)，因此它們的擴(kuò)散系數(shù)小于無激光照射時(shí)的擴(kuò)散系數(shù)(紅線和黑線都位于藍(lán)線的下面)。

理論上，隨著激光功率的增大，光勢(shì)阱對(duì)處于其中的顆粒的束縛作用也會(huì)越大，相應(yīng)的顆粒的擴(kuò)散系數(shù)就會(huì)越小。在功率較小時(shí)，實(shí)驗(yàn)和理論符合的較好。例如，在激光功率小于25 mW時(shí)，黏滯力可以忽略不計(jì)，光阱力的作用使小球擴(kuò)散系數(shù)隨著功率的增大而減小，但是當(dāng)功率增大到30 mW時(shí)，無論是在貝塞爾-高斯光束還是高斯光束照射下，小球擴(kuò)散系數(shù)反而有稍微的增大。原因是：當(dāng)激光功率較大時(shí)，激光的熱效應(yīng)不能忽略，而黏滯系數(shù)η是與溫度有關(guān)的，同時(shí)小球的速度也會(huì)變大，這時(shí)小球受到黏滯力和光阱力的共同作用，小球的擴(kuò)散系數(shù)有略微變大。此外，對(duì)于高斯光束形成的光勢(shì)阱，其光強(qiáng)梯度力是連續(xù)變化的，而貝塞爾-高斯光束形成的光勢(shì)阱的光強(qiáng)梯度力是非連續(xù)變化的，存在突變，使得后者對(duì)小球布朗運(yùn)動(dòng)的平均限制效果要小于前者，所以，相同激光功率下貝塞爾-高斯光束照射的小球擴(kuò)散系數(shù)要大于高斯光束照射時(shí)的。

4 結(jié)論

利用環(huán)形相位結(jié)構(gòu)，在實(shí)驗(yàn)中獲得了貝塞爾-高斯光束，并基于共軸差分動(dòng)態(tài)顯微技術(shù)，研究了貝塞爾-高斯光束對(duì)聚苯乙烯小球擴(kuò)散系數(shù)的影響，還與相同功率下高斯光束作用的小球擴(kuò)散系數(shù)進(jìn)行了比較。

1)不論是在高斯光束還是在貝塞爾-高斯光束的照射下，作布朗運(yùn)動(dòng)的聚苯乙烯小球擴(kuò)散系數(shù)均小于無激光照射時(shí)的，說明激光勢(shì)阱的存在會(huì)對(duì)小球的布朗運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生限制作用，使其擴(kuò)散系數(shù)減小。

2)在相同激光功率下，貝塞爾-高斯光束作用下的顆粒擴(kuò)散系數(shù)均大于高斯光束照射時(shí)顆粒的。這是因?yàn)椋号c高斯光束相比，激光經(jīng)過環(huán)形相位結(jié)構(gòu)后產(chǎn)生的貝塞爾-高斯光束的光強(qiáng)分布主要集中在中心較小的區(qū)域，具有這種特征的光束對(duì)粒子的平均限制作用小，從而使粒子的擴(kuò)散系數(shù)變化不明顯。

3)隨著激光功率的增加，聚苯乙烯小球在2種光束作用下的擴(kuò)散系數(shù)都出現(xiàn)了先減小后略有增加的現(xiàn)象。原因是，當(dāng)激光功率為30 mW時(shí)，激光的熱效應(yīng)不能忽略，導(dǎo)致粒子熱運(yùn)動(dòng)加劇，這時(shí)粒子受到黏滯力和光阱力的同時(shí)作用，從而使擴(kuò)散系數(shù)變大。

另外，作布朗運(yùn)動(dòng)的聚苯乙烯小球受到激光產(chǎn)生的弱光勢(shì)阱作用，需要一定的時(shí)間才能達(dá)到平衡狀態(tài)。在對(duì)顯微圖像進(jìn)行采集的這15 s內(nèi)聚苯乙烯小球可能還處于非平衡狀態(tài)，所以測(cè)得的擴(kuò)散系數(shù)會(huì)出現(xiàn)波動(dòng)現(xiàn)象。而有關(guān)激光照射下聚苯乙烯小球達(dá)到平衡狀態(tài)所需的時(shí)間暫時(shí)還沒有相關(guān)文獻(xiàn)進(jìn)行報(bào)道，這個(gè)問題有待于后續(xù)進(jìn)一步研究。