一類非局部問題非平凡解的存在性

趙 福，宋玥薔

(長(zhǎng)春師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，吉林 長(zhǎng)春 130032)

0 引言

本文主要研究一類非局部問題：

(I)

其中，Bε(x)表示RN中以x為圓點(diǎn)、ε為半徑的開球，ε>0.

YIN和LIU[1]通過山路引理方法研究了非局部問題(1)的非平凡解的存在性和多解性：

(1)

隨后，在問題(1)基礎(chǔ)上，LEI等[2]利用變分方法研究非局部問題(2)的具有變號(hào)勢(shì)兩個(gè)非平凡的正解：

(2)

其中，Ω是R3中的光滑有界區(qū)域，N≥1，a,b>0，10，

f±=±m(xù)ax{±f,0}≠0.

QIAN等[3]考慮了下面非局部問題(3)的基態(tài)解存在性和集中性：

(3)

研究此類非局部問題的難點(diǎn)在于非局部項(xiàng)的存在使緊性條件的證明變得困難，分?jǐn)?shù)階Laplace算子更是加深了變分的難度，我們需要選擇更靈活的變分技巧,證明泛函在水平值的控制下滿足緊性條件，通過山路定理證得主要結(jié)論.

1 預(yù)備知識(shí)

定義一個(gè)Sobelev空間X=Hs(Ω)，s∈(0,1)，其范數(shù)為

因此，存在γr>0，使得

(4)

如果有

成立，其中，

則u∈X稱為問題(I)的弱解.

定義泛函

當(dāng)且僅當(dāng)u在X上是泛函I(u)的臨界點(diǎn)時(shí)，稱u為問題(I)的弱解.

欲證明定理1，首先要證明(PS)c條件.

證明 由不等式(1)，有

證明 令序列{un}?X,滿足I(un)→c，I′(un)→0，

因?yàn)?/p>

I(un)→c，I′(un)→0，所以序列{un}在X上有界.

假定存在u∈X，使得

un→u, 在X中,

un→u, 在Lr(Ω)中,

un(x)→u(x), a.e.x∈Ω.

注意到

因?yàn)?/p>

由之前的條件可知〈I′(un),u-un〉→0.

所以有

(5)

定義泛函

有

由Holder不等式，有

因此，

則有φ′(un)→φ′(u).

而且

所以，φ′(un)→0,n→∞，即

從而，u=0.所以，

2 主要結(jié)論及證明

利用山路定理，給出定理1的證明.

定理1 問題(I)至少有一個(gè)非平凡的弱解.

證明 由引理1，存在序列{un}?X，滿足I(un)→c0>0，I′(un)→0,n→∞.由引理1和引理2得到的序列{un}具有一個(gè)收斂子列(仍然定義為{un})，并且收斂于u.所以，由I和I′可知，I(u)=c0>0，I′(u)=0.但是I(u)=0，因而u≠0，u是問題(I)的一個(gè)非平凡解.