回焊爐爐溫曲線最優(yōu)控制建模及工藝參數(shù)分析

鄭茂波，李良江，謝圣富，張 敏

(成都工業(yè)學(xué)院 a.大數(shù)據(jù)與人工智能學(xué)院；b.材料與環(huán)境工程學(xué)院；c.計(jì)算機(jī)工程學(xué)院，成都 611730)

在電子制造行業(yè)中，印刷電路板(Printed Circuit Board，PCB)的回流焊工藝是表面貼裝生產(chǎn)技術(shù)(Surface Mounted Technology，SMT)重要的一環(huán)，該工藝過程直接影響電子產(chǎn)品的質(zhì)量與可靠性[1]。回流焊工藝過程的控制在工藝上表現(xiàn)為爐溫曲線的控制，爐溫曲線的設(shè)置可直接決定回流焊接工藝的好壞，這與材料的特性(導(dǎo)熱率、密度等)、傳送帶速度、各溫區(qū)的溫度設(shè)置等多種因素相關(guān)。因此，為避免因爐溫曲線不適當(dāng)而引起的焊接缺陷，制定符合印刷電路板的理想爐溫曲線至關(guān)重要。

目前，國(guó)內(nèi)研究還主要從潛在失效模式效應(yīng)分析入手，從避免焊接缺陷及材料的特性出發(fā)，來優(yōu)化爐溫曲線。但該方法在實(shí)際應(yīng)用中，一般還需要進(jìn)行若干次實(shí)驗(yàn)，才能調(diào)試出適合焊接的工藝參數(shù)，以匹配相應(yīng)的爐溫曲線。

本文采用數(shù)學(xué)建模的思想，建立一維熱傳導(dǎo)模型，采用有限差分、最小二乘誤差及優(yōu)化搜索等方法，建立爐溫曲線的最優(yōu)控制數(shù)學(xué)模型。通過該模型來分析回流焊接各關(guān)鍵工藝參數(shù)對(duì)焊接區(qū)域的爐溫曲線可靠性的影響，并對(duì)爐溫曲線進(jìn)行優(yōu)化，其中包括回焊爐中各溫區(qū)的設(shè)定溫度及傳送帶速度的優(yōu)化。

1 問題闡述

某回焊爐內(nèi)部共有11個(gè)小溫區(qū)，從功能上可分成4個(gè)大溫區(qū)：預(yù)熱區(qū)、恒溫區(qū)、回流區(qū)、冷卻區(qū)，另包含一個(gè)爐前區(qū)域及一個(gè)爐后區(qū)域(如圖1所示)。1)每個(gè)小溫區(qū)長(zhǎng)度為30.5 cm，相鄰小溫區(qū)之間有5 cm的間隙，爐前、爐后區(qū)域長(zhǎng)度均為25 cm；2)生產(chǎn)車間的溫度保持在25 ℃；3)溫度傳感器在焊接區(qū)域中心的溫度達(dá)到30 ℃時(shí)開始工作，電路板進(jìn)入回焊爐開始計(jì)時(shí)；4)在實(shí)驗(yàn)時(shí)，傳送帶的過爐速度為70 cm/min，焊接區(qū)域的厚度l=0.15 mm，各個(gè)溫區(qū)的實(shí)驗(yàn)設(shè)定溫度及速度如表1所示；5)在實(shí)驗(yàn)設(shè)定溫度的基礎(chǔ)上，各小溫區(qū)設(shè)定溫度可以進(jìn)行±10 ℃的調(diào)整。調(diào)整時(shí)要求小溫區(qū)1～5中的溫度保持一致，小溫區(qū)8～9中的溫度保持一致，小溫區(qū)10～11中的溫度保持25 ℃。傳送帶的過爐速度調(diào)節(jié)范圍為65～100 cm/min；6)在回焊爐電路板焊接生產(chǎn)中，爐溫曲線應(yīng)滿足制程界限要求如表2所示。

圖1 回焊爐截面示意圖

表1 各溫區(qū)實(shí)驗(yàn)設(shè)定溫度及速度

表2 制程界限

2 模型的準(zhǔn)備

2.1 熱傳導(dǎo)方式的確定

熱傳遞有3種基本方式：熱傳導(dǎo)、對(duì)流傳熱和輻射傳熱[2]。1)熱傳導(dǎo)是依靠物體內(nèi)分子的相互碰撞進(jìn)行的熱量傳遞過程。2)對(duì)流傳熱是流體內(nèi)部質(zhì)點(diǎn)發(fā)生宏觀相對(duì)位移而引起的熱量傳遞過程，對(duì)流傳熱只能發(fā)生在液體或氣體流動(dòng)的場(chǎng)合。3)輻射傳熱是熱量以電磁波的形式在空間的傳遞稱為熱輻射。

本問題中溫度的傳導(dǎo)不發(fā)生在液體或氣體流動(dòng)的場(chǎng)合且不在電磁波空間進(jìn)行熱量傳遞，因此只需考慮熱傳導(dǎo)的傳熱方式。

2.2 穩(wěn)態(tài)傳熱與非穩(wěn)態(tài)傳熱的確定

物體中各點(diǎn)溫度不隨時(shí)間改變的傳熱過程均稱為穩(wěn)態(tài)傳熱，反之則稱為非穩(wěn)態(tài)熱傳熱過程。

1)對(duì)于爐內(nèi)溫度的變化規(guī)律，各溫區(qū)溫度及間隙溫度屬于隨距離改變的傳熱過程，因此該傳熱過程為穩(wěn)態(tài)的傳熱模型。

2)對(duì)于印刷電路板焊接區(qū)域溫度的變化規(guī)律，傳送帶具有一定的過爐速度，焊接區(qū)域的溫度隨時(shí)間而改變，因此該傳熱過程為非穩(wěn)態(tài)的傳熱模型。

2.3 熱傳導(dǎo)方程

在三維條件下，熱傳導(dǎo)方程應(yīng)滿足[3]：

(1)

由于問題中熱傳遞的過程可看作只在一個(gè)方向進(jìn)行，即爐內(nèi)溫度沿水平方向傳遞，焊接區(qū)域溫度沿豎直方向傳遞；且無其他不均勻熱源及傳熱過程，所以無需研究三維傳熱。將式(1)簡(jiǎn)化為：

(2)

3 模型的建立

3.1 爐內(nèi)溫度分布——一維穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)

在爐內(nèi)的水平方向上建立一維坐標(biāo)系Ox，如圖2所示。

圖2 爐內(nèi)溫度傳熱坐標(biāo)

當(dāng)回焊爐啟動(dòng)后，小溫區(qū)產(chǎn)生的熱量持續(xù)向空氣輸入最終區(qū)域平衡，即平衡后爐內(nèi)各點(diǎn)的溫度不隨時(shí)間而改變，則：

(3)

連續(xù)2次積分后可得到爐內(nèi)溫度分布函數(shù)：

T(x)=c1x+c2(0≤x≤410.5)。

(4)

1)初值條件確定。

由于爐內(nèi)溫度分布為穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)，在短時(shí)間內(nèi)爐內(nèi)溫度達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)，與時(shí)間無關(guān)，則初值條件不存在。

2)邊界條件確定。

(5)

式中：x=xi, j表示第i個(gè)間隙處的左邊界或右邊界，即j=0表示左邊界,j=1表示右邊界；Tx+j則表示相應(yīng)溫區(qū)的溫度。

3.2 焊接區(qū)域溫度分布——一維非穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)

在焊接區(qū)域建立一維坐標(biāo)系Oy，如圖3所示。

圖3 焊接區(qū)域溫度傳熱坐標(biāo)

焊接區(qū)域溫度傳導(dǎo)為一維非穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)。在非穩(wěn)態(tài)傳導(dǎo)中，各點(diǎn)溫度隨時(shí)間改變，則熱傳遞微分方程為：

(6)

1)初始條件確定。

在起始位置t=0時(shí)，電路板焊接區(qū)域的初始溫度為T0：

T(y,0)=T0。

(7)

2)邊界條件確定。

根據(jù)牛頓冷卻定律可知[4]，電路板兩端的邊界條件為：

(8)

式中：Te表示電路板進(jìn)入回焊爐中外界溫度；σ表示牛頓冷卻方程中的冷卻系數(shù)。

綜上，可得到一維熱傳導(dǎo)方程組：

(9)

3.3 差分法求解與傳熱系數(shù)確定

由于方程組(9)比較復(fù)雜，無法得到解析解，需要采用數(shù)值解法。偏微分方程定解問題的數(shù)值求解方法通常有2種：元素法和差分法，本文采用差分法進(jìn)行計(jì)算[5]。

(10)

在求解差分方程的過程中，建立最小二乘法的估計(jì)模型[7]，并結(jié)合上述的初始條件與邊界條件，來確定冷卻系數(shù)σ及傳熱系數(shù)a的值。其估計(jì)模型為：

(11)

4 模型熱學(xué)參數(shù)的確定

根據(jù)2020年全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽的A題中數(shù)據(jù)：各溫區(qū)設(shè)定溫度分別為u1=175 ℃(小溫區(qū)1～5)、u1=195 ℃(小溫區(qū)6)、u1=235 ℃(小溫區(qū)7)、u1=255 ℃(小溫區(qū)8～9)及u1=25 ℃(小溫區(qū)10～11)，為提高求解的準(zhǔn)確度，可將其分為這5個(gè)溫度區(qū)間進(jìn)行分段擬合，且傳送帶的過爐速度為70 cm/min，利用實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)調(diào)整各參數(shù)，并得到最終理論與實(shí)際的爐溫曲線的對(duì)比情況，如圖4所示。

圖4 爐溫曲線對(duì)比

5 最優(yōu)爐溫系統(tǒng)設(shè)計(jì)

理想的爐溫曲線要求超過217 ℃到峰值溫度所覆蓋的面積S(圖5中陰影部分)要盡可能地更小。由此，合理地調(diào)節(jié)各小溫區(qū)的溫度以及過爐速度，一方面可以使其焊接質(zhì)量更好，另一方面可以使其效益最大化，以達(dá)到優(yōu)爐溫曲線的目的。

圖5 爐溫曲線示意圖

5.1 最優(yōu)爐溫曲線模型

(12)

式中：t1表示第1次達(dá)到217 ℃的時(shí)間；t2表示溫度到達(dá)峰值的時(shí)間，且t2={t|T(t)=Tmax}。

約束確定：

在滿足制程界限的同時(shí)還要滿足各溫區(qū)溫度范圍的條件，即以附件中實(shí)驗(yàn)設(shè)定的區(qū)間溫度為基礎(chǔ)，各小溫區(qū)的設(shè)定溫度可以在±10 ℃調(diào)整，且1～5溫度中溫度保持一致，8～9溫度保持一致，10～11溫度保持25 ℃，得到最終模型為：

5.2 最優(yōu)爐溫系統(tǒng)求解

大小網(wǎng)格搜索有利在于逐漸縮短步長(zhǎng)，搜索速度快，用于求解多組變量的搜索更加有效，且更容易搜索到局部最優(yōu)值，以達(dá)到全局最優(yōu)的目的。

Step 1：大網(wǎng)格確定

取速度步長(zhǎng)Δv1=1，取溫度的步長(zhǎng)Δu1=1，各網(wǎng)格點(diǎn)可表示為：

(13)

式中：ui, j表示第i個(gè)小溫區(qū)溫度的取定值。

Step 2：將各網(wǎng)格點(diǎn)參數(shù)的取定值，代入式(12)，當(dāng)覆蓋面積達(dá)到最小時(shí)，可得到各參數(shù)的大網(wǎng)格搜索值為vw和ui,w。

(14)

由于大網(wǎng)格設(shè)定步長(zhǎng)較大、精確度低，需要進(jìn)一步更加精確的搜索，對(duì)上述結(jié)果中已得出的參數(shù)進(jìn)行進(jìn)一步的處理，將已得出的結(jié)果加減大網(wǎng)格的步長(zhǎng)可得參數(shù)的新取值范圍。即：

(15)

Step 3：小網(wǎng)格確定

同理根據(jù)大網(wǎng)格的劃分方式相同，取速度步長(zhǎng)Δv2=0.1，取溫度的步長(zhǎng)Δu2=0.1，各網(wǎng)格點(diǎn)可表示為：

(16)

Step 4：將各網(wǎng)格點(diǎn)參數(shù)的取定值，代入式(12)，當(dāng)覆蓋面積達(dá)到最小時(shí)，各參數(shù)的搜索值如表3所示。

表3 溫區(qū)各參數(shù)及過爐速度

6 結(jié)論

本文通過對(duì)2020年全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽的A題進(jìn)行分析，首先建立一維的熱傳導(dǎo)模型，采用差分法與最小二乘法，使用一次性試驗(yàn)測(cè)量數(shù)據(jù)調(diào)整參數(shù)，得到的最終實(shí)際爐溫曲線與理論爐溫曲線基本重合，由此采用該模型可較好地得到爐溫曲線的模型。最后又采用優(yōu)化算法以及大小網(wǎng)格搜索法對(duì)爐溫曲線進(jìn)一步優(yōu)化，尋找出了在滿足條件下，既能提高焊接質(zhì)量又能使其效益最大化的爐溫曲線模型，由此使各小溫區(qū)的溫度以及過爐的速度都得到了優(yōu)化。

因此，若要研究爐溫系統(tǒng)，可采用本文的模型，通過一組測(cè)試數(shù)據(jù)對(duì)模型內(nèi)的各參數(shù)進(jìn)行調(diào)整，得到合適的爐溫曲線，且能通過該模型對(duì)各小溫區(qū)的溫度以及過爐速度進(jìn)行優(yōu)化。