例析求數(shù)列通項公式的幾種思路

李君憲

一般地，數(shù)列{a}的通項公式可用數(shù)列的第n項a來表示，而第n項a與項數(shù)n之間存在一定的聯(lián)系，因此求數(shù)列的通項公式，關(guān)鍵是找出第n項a與項數(shù)n之間的聯(lián)系，求得第n項a的表達式.求數(shù)列的通項公式問題的難度一般不大，但命題形式多種多樣，其解法也各不相同.下面結(jié)合實例，談一談求數(shù)列通項公式的幾種思路.

一、采用觀察法

有些問題中會直接給出數(shù)列的某些項，要求數(shù)列的通項公式，需仔細觀察分析給出的這些項，明確：①分式中分子與分母的特征;②相鄰項之間的差異;③各項符號的特征，以便總結(jié)出規(guī)律，確定第n項a與項數(shù)n之間的聯(lián)系.這樣就能快速求得第n項a的表達式.

例1.求下列數(shù)列的通項公式.

（1）3，5，9，17，33，…;

（2）1，3，6，10，15，21，…;

（5）8，88，888，8888，….

解析（1）仔細觀察數(shù)列中的各項，可發(fā)現(xiàn)，將每一項減去1，可得2，4，8，16，32，…，即數(shù)列{2}，據(jù)此可得到數(shù)列的通項公式為a=2+1.

求數(shù)列的通項公式，應注意觀察數(shù)列中各項之間的相同和不同之處，明確其變化規(guī)律，以確定第n項a與項數(shù)n之間的聯(lián)系.特別要注意前后項之間的差異、奇數(shù)項和偶數(shù)項的符號之間的差異.

二、根據(jù)等差、等比數(shù)列的定義

例2.已知數(shù)列{a}的各項均為正數(shù)，S為其前n項和，且對任意n∈N，均有a，S，a成等差數(shù)列，求數(shù)列{a}的通項公式.

解：∵a，S，a成等差數(shù)列，∴2S=a+a.

當n=1時，2S=2a=a+a.

又a>0，∴a=1.

當n≥2時，2a=2（S-S）=a+a-a-a-1，

∴（a-a）-（a+a）=0.

∴（a+a）（a-a）-（a+a）=0，

∴（a+a）（a-a-1）=0，

∵a+a>0，∴a-a=1，

∴{a}是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列，

∴a=n（n∈N）.

解答本題，需根據(jù)已知條件求得a、a的關(guān)系式：a-a=1，便可根據(jù)等差數(shù)列的定義求得數(shù)列的公差，再根據(jù)等差、等比數(shù)列的通項公式求得問題的答案.

三、利用a與S之間的關(guān)系

例3.已知數(shù)列{a}的前n項和為S=3-1，求該數(shù)列的通項公式.

解：當n=1時，a=S=2;

當n≥2時，a=S-S=3-1-（3-1）=2·3，

經(jīng)檢驗，a=2滿足a=2·3.

故數(shù)列{a}的通項公式為a=2·3.

在利用a與S之間的關(guān)系求數(shù)列的通項公式時，很多同學經(jīng)常會忽略討論當n=1時的情形，導致解題出錯.同學們在解題時，需注意這一點.

四、疊加、疊乘

例4.（1）在數(shù)列{a}中，a=2，a=a+2n-1（n≥2），求數(shù)列{a}的通項公式.

（2）已知S為數(shù)列{a}的前n項和，a=1，S=n·a，求數(shù)列{a}的通項公式.

解：（1）∵a=2，a=a+2n-1（n≥2），

∴a-a=2n-1，

∴a=（a-a）+（a-a）+（a-a）+…+（a-a）+a

=（2n-1）+（2n-3）+（2n-5）+…+（2×2-1）+1+

1=n+1;

（2）∵a=1，S=n·a;

∴當n≥2時，S=（n-1）·a，

∴a=S-S=n·a-（n-1）·a_n-1，

在采用疊加法、疊乘法求數(shù)列的通項公式時，要明確：（1）遞推式與a之間的關(guān)系;（2）在疊加、疊乘的過程中相消的是哪些項、剩余的是哪些項.

五、構(gòu)造輔助數(shù)列

有些遞推式較為復雜，我們很難快速求得數(shù)列的通項公式，此時，可通過引入待定系數(shù)、在遞推式的左右同時取倒數(shù)、取對數(shù)等方式，將遞推式進行變形，以便構(gòu)造出輔助數(shù)列，利用等差、等比數(shù)列的通項公式，或通過疊加、疊乘求得數(shù)列的通項公式.

在求數(shù)列的通項公式時，需首先仔細觀察數(shù)列的各項、遞推式、關(guān)系式，并對其進行適當?shù)淖冃?，以便明確第n項a與項數(shù)n之間的聯(lián)系，求得a的表達式.求數(shù)列通項公式的方法很多，在解題時，我們需根據(jù)數(shù)列的各項、遞推式、關(guān)系式的特征，選擇與之相應的方法進行求解.