靈活運用向量法，快速解答空間角問題

李方埂

空間角包括直線與直線所成的角、直線與平面所成的角以及二面角.通常，我們根據空間角的定義以及點、線、面的位置關系來求解空間角問題.運用該思路解題，同學們需熟練掌握空間角的定義，具備較強的空間想象能力和直觀想象能力.而運用向量法，可將問題轉化為空間向量運算問題，通過空間向量運算即可求解空間角問題.

一、求解異面直線所成的角問題

例1.已知正三棱柱ABC-ABC，其中AB=AA=2，則異面直線AB與CA所成角的余弦值為（）.

設異面直線AB與CA所成的角為θ，

二、求解直線與平面所成的角問題

（I）求證：AB⊥平面ABC;

（II）若P是棱BC的中點，求直線BB與平面PAB所成角的正弦值.

解法一：（I）略;（II）由（I）知，直線AC，AB，BA兩兩互相垂直，以A為坐標原點，分別以AC，AB，BA所在的直線為x，y，z軸，建立如圖2所示的空間直角坐標系A-xyz，

設直線BB與平面PAB所成的角為θ，

令z=1，

設直線BB與平面PAB所成的角為θ，

三、求解二面角問題

例3.如圖4，在三棱柱ABC-ABC中，∠ACB=90°，BC=1，AC=CC=2，AD⊥平面ABC，且D在AC上.

（I）證明：AC⊥平面ABC;

解法一：（I）略;（II）以C為坐標原點，射線CA為x軸的正半軸，射線CB為y軸的正半軸，建立如圖5所示的空間直角坐標系C-xyz.

由題設知AD與z軸平行，z軸在平面AACC內.

設A（a，0，c），則a≤2，A（2，0，0），B（0，1，0），

所以y=0，且（a-2）x+cz=0.

所以點A到平面BCCB的距離為

解法二：（I）略;（II）根據左側面平行四邊形的面

綜上所述，運用向量法求解空間角問題需重點把握兩點：第一，要根據圖形的特征建立適當的空間直角坐標系.在建立空間直角坐標系時，要注意尋找線線、線面之間的垂直、平行關系，合理添加輔助線，使更多的點、線在坐標軸上，這樣便于快速求得點的坐標、直線的方向向量;第二，要熟記異面直線所成的角、直線與平面所成的角、二面角的向量公式，靈活運用這些公式求解空間角問題.