巧用（-1）n 求解“符號擺動”型數(shù)列的通項公式

曾中君　吳浩

[摘? 要] 在各省市的中考題中，我們常能發(fā)現(xiàn)數(shù)字規(guī)律的題目被放到了中高檔題的位置，并且難度較高，于是對數(shù)字規(guī)律題的研究也成為很多教師所關注的課題.通過研究發(fā)現(xiàn)，數(shù)字規(guī)律題的解題思想，在數(shù)學思想中占有很重要的地位，它不僅能夠使學生養(yǎng)成良好的思維習慣，更有助于培養(yǎng)學生的創(chuàng)新型思維，同時也為學生高中學習數(shù)列打下了堅實的基礎.

[關鍵詞] 規(guī)律題;符號擺動;雙擺動;三擺動

在數(shù)字規(guī)律題中，常有“-1，3，-5，7，-9，…”這樣規(guī)律的一種數(shù)列，它們正負相間，體現(xiàn)了一種符號擺動的美.那么對于這種類型的規(guī)律題，能否有一種通解形式，用一個表達式來表示第n項呢？下面我們就來對這一類型數(shù)列進行研究.

我們知道當（-1）n=-1，（n為奇數(shù)）

1，（n為偶數(shù)），所以對于雙擺動模型（符號正負交替），我們可以用“符號開關”：（-1）n和（-1）n+1來實現(xiàn).

例1 觀察下列各數(shù)：-2，5，-8，11，-14…，求第n項.

模型分析? 為了讓數(shù)列中的各個數(shù)正負相間，可以用“符號開關”：（-1）n和（-1）n+1來實現(xiàn)，那么這道規(guī)律題也就不難求解.

解? 觀察該數(shù)列的前幾項的絕對值，先不看符號，可以發(fā)現(xiàn)2，5，8，11，14是等差數(shù)列，所以先給出它的通項為：3n-1，又因為數(shù)列中的奇數(shù)項為負，偶數(shù)項為正，可以選擇（-1）n來調(diào)節(jié)符號，所以第n項是（-1）n（3n-1）.

受到正、負雙擺動規(guī)律題的啟發(fā)，我們又提出了以下問題：能不能找到符號為“正、正、負”“負、負、正”“正、負、正”和“負、正、負”三擺動的數(shù)列的一般表達式呢？

通過思考，在這里我們先給出讓符號成“正、正、負”和“負、負、正”的三擺動模型的一般表達式的方法：

方法一：利用斐波那契數(shù)列1，1，2， 3，5，8，13，21，34，55，89，…作為-1的指數(shù).

首先，介紹一下斐波那契數(shù)列.斐波那契數(shù)列是：1，1，2，3，5，8，13，21，34，

55，89，…依次類推下去，可以發(fā)現(xiàn)，這個數(shù)列從第三項起，后一個數(shù)總是等于前面兩個數(shù)的和，并且發(fā)現(xiàn)斐波那契數(shù)列的各項正好是按照“奇數(shù)、奇數(shù)、偶數(shù)”交替出現(xiàn)的，如果以斐波那契數(shù)列的通項公式作為（-1）的指數(shù)，就可以達到將符號調(diào)節(jié)成“負、負、正”的效果.

方法二：關于符號三擺動模型，其實還可以聯(lián)想到三角函數(shù). 由于符號三擺動模型的周期為3，所以筆者想到了：cos

=-，cos（2π）=1.利用三角函數(shù)變形的形式作為（-1）的指數(shù).

容易得證，當n=3k-2時，= -2;當n=3k-1時，=-2;當n=3k時，=1，其中k∈N*.

所以（-1）作為“符號開關”，就能實現(xiàn)“正、正、負”三擺動的符號規(guī)律，（-1）+1或-（-1）就是“負、負、正”三擺動的符號規(guī)律.

其實只要找到“正、正、負”和“負、負、正”三擺動的符號的一般表達式，其余兩種情況也就迎刃而解了！

（1）在“正、正、負”的“符號開關”表達式中的n變?yōu)閚+1就可以變?yōu)椤罢?、負、正”，所以?1）、（-1）

正”三擺動的“符號開關”.

（2）在“負、負、正”的“符號開關”表達式中的n變?yōu)閚+1就可以變?yōu)椤柏?、正、負”，所以?1）+1、-（-1）或（-1）

就是“負、正、負”三擺動的“符號開關”.

例2 觀察下列各數(shù)：1，4，-7，10， 13，-16，19，22，-25，…，求第n項.

模型分析：通過觀察可以發(fā)現(xiàn)，該數(shù)列呈現(xiàn)“正、正、負”三擺動的規(guī)律，這樣可以用“符號開關”（-1）

+1或（-1）來調(diào)節(jié)符號，解決好了符號問題，這道題就十分簡單了.

解? 因為該數(shù)列若不看各項符號，其實就是一個以1為首項，3為公差的等差數(shù)列，其通項為：3n-2，再用（-1）來調(diào)節(jié)符號，那么第n項為：（-1）（3n-2）.

例3 觀察下列各數(shù)：-1，-2，4，-8，-16，32，-64，-128，256，…，求第n項.

模型分析? 通過觀察可以發(fā)現(xiàn)，該數(shù)列呈現(xiàn)“負、負、正”三擺動的規(guī)律，這樣可以用“符號開關”-1

或-1+1來調(diào)節(jié)符號，只要符號問題得以解決，這道題后面的過程就被模型化了.

解? 因為該數(shù)列若不看各項符號，其實就是一個以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，其通項為：2n-1，再用（-1）

例4 觀察下列各數(shù)：-1，3，-5，-7，9，-11，-13，15，-17，…，求第n項.

模型分析? 通過觀察可以發(fā)現(xiàn)，該數(shù)列呈現(xiàn)“負、正、負”三擺動的規(guī)律，我們可以用（-1）+1、-（-1）或（-1）

，也就是“負、正、負”三擺動的“符號開關”來處理即可.

解? 首先觀察數(shù)列呈現(xiàn)“負、正、負”三擺動的規(guī)律，可以選擇（-1）+1來調(diào)節(jié)符號，再觀察這列數(shù)的絕對值1，3，5，7，9，是一列正的奇數(shù)，其表達式為2n-1，

所以第n項的表達式為（-1）+1·（2n-1）.

模型三：其他擺動

受三角函數(shù)的周期性的影響，筆者又提出猜想：“能否出現(xiàn)其他的擺動規(guī)律呢”？比如像“正、正、負、負”或“正、負、負、正”的規(guī)律能實現(xiàn)嗎？通過思考，這種符號擺動也是可以通過三角函數(shù)加工模型sin

所以在符號擺動規(guī)律問題中，高中的三角函數(shù)的周期性是解決問題的重要工具.

例5 觀察下列各數(shù)：2，5，-10，-17， 26，37，-50，-65，…，求第n項.

模型分析? 通過分析可以發(fā)現(xiàn)此數(shù)列的符號規(guī)律是“正、正、負、負”，由上面的總結是可以找到辦法處理的，并且可以發(fā)現(xiàn)各項數(shù)字的絕對值也有“n2+1”形式. 這道題直接用三角函數(shù)加工模型就可以搞定.

解? 因為該數(shù)列的符號規(guī)律是“正、正、負、負”，所以我們可以用sin

n-來作為“符號開關”，那么第n項為：sin

n-（n2+1）.

例6 觀察下列各數(shù)：-4，-9，14，19，-24，-29，34，39，…，求第n項.

模型分析? 通過觀察可以發(fā)現(xiàn)此數(shù)列的符號規(guī)律是“負、負、正、正”，再次運用上面的總結也能很快將其解決.

解? 因為該數(shù)列的符號規(guī)律是“負、負、正、正”，所以我們可以用cos

n-來作為“符號開關”，那么第n項為：cos

n-（5n-1）.

結束語

對于中考的初中數(shù)學規(guī)律題中的“符號擺動”型題目，一般而言，絕大多數(shù)的時候只考查“雙擺動”模型.對于“三擺動”“多擺動”而言，這樣的題目比較少，但是作為一名優(yōu)秀的教師，我們應該立足于中考層面，但要高于中考水平來做研究，只有當我們的研究成果高于中考的要求，才能在教學中游刃有余，從而讓我們的學生笑傲學壇，同時在研究中也更能夠體會數(shù)學的魅力和樂趣.