基于計(jì)算機(jī)快速求解梁彎曲內(nèi)力的一體化積分法

金 蓉，李銀山，崔春義

（1.大連海事大學(xué) 交通運(yùn)輸工程學(xué)院，遼寧 大連 116026；2.河北工業(yè)大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，天津 300401）

梁的彎曲內(nèi)力是材料力學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)內(nèi)容，是解決梁彎曲強(qiáng)度和彎曲剛度問(wèn)題的關(guān)鍵。對(duì)于靜定梁求彎曲內(nèi)力，通常先求支座約束力，然后用截面法[1-7]求梁的內(nèi)力；對(duì)于超靜定梁求彎曲內(nèi)力通常先選擇靜定基，采用力法[1-7]求出多余約束力，然后按靜定梁求彎曲內(nèi)力。對(duì)于復(fù)雜載荷作用的梁采用常規(guī)方法，手工運(yùn)算過(guò)程煩瑣、速度慢。

李自林等[8]利用初參數(shù)方程求解了梁的彎曲問(wèn)題；王秀華等[9]采用選擇靜定基與積分法相結(jié)合的方法求解了梁的彎曲問(wèn)題；劉杰民等[10]采用虛懸臂梁法求解了梁的彎曲問(wèn)題；劉明超等[11]采用拉氏變換法求解了梁的彎曲問(wèn)題；楊迪熊等[12]采用單位支座位移法求解了超靜定梁的彎曲問(wèn)題；朱伊德[13]用待定系數(shù)法求解了梁的彎曲問(wèn)題。隨著計(jì)算機(jī)的普及，Maple和Matlab等工程計(jì)算軟件廣泛應(yīng)用于工程力學(xué)[6，7，14-18]，提高了解題效率。李銀山等[19]將Maple軟件與材料力學(xué)相結(jié)合提出了求解結(jié)構(gòu)彎曲變形的連續(xù)分段獨(dú)立一體化積分法（簡(jiǎn)稱為ICI法）；吳艷艷等[20]采用ICI法求解了超靜定梁的彎曲問(wèn)題；李銀山[7]采用ICI法求解了剛架的彎曲問(wèn)題。

本文克服了截面法和力法等經(jīng)典解法求解梁在復(fù)雜載荷作用下彎曲內(nèi)力步驟煩瑣，解題速度慢的缺點(diǎn)，應(yīng)用一體化積分法與Maple軟件相結(jié)合的方法直接快速統(tǒng)一求解了靜定梁和超靜定梁的彎曲內(nèi)力問(wèn)題，求解方法[7，13]更直接、更簡(jiǎn)單，是獨(dú)立、自動(dòng)化求解梁內(nèi)力的方法。

1 一體化積分法

1.1 一體化積分法求解靜定梁的內(nèi)力

一體化積分法求解靜定梁內(nèi)力的步驟如下：

（1）按連續(xù)性將梁分為n段，建立各段彎矩、剪力、載荷集度的微分方程：

（2）將式（1）、式（2）分別積分1次得剪力方程、彎矩方程的通解：

（3）利用力的邊界條件建立2n個(gè)約束方程

利用計(jì)算機(jī)求解方程（4），可確定這2n個(gè)積分常數(shù)。

（4）將積分常數(shù)Ci，j（i=1，2，…，n；j=1，2）代入式（3）、式（4）可得靜定梁的剪力方程、彎矩方程。

（5）利用計(jì)算機(jī)繪出靜定梁的剪力圖、彎矩圖，并確定最大剪力、最大彎矩。

1.2 一體化積分法求解超靜定梁的內(nèi)力

一體化積分法求解超靜定梁內(nèi)力的步驟如下：

（1）按連續(xù)性將梁分為n段，建立各段彎矩、剪力、載荷集度的微分方程如式（1）、式（2），并積分得剪力方程、彎矩方程如式（3）、式（4）。

（2）建立各段撓度、轉(zhuǎn)角、彎矩的微分方程：

（3）將式（6）、式（7）分別積分1次，得轉(zhuǎn)角方程、撓度方程的通解：

（4）利用力、位移的邊界條件建立超靜定梁的4n個(gè)約束方程：

利用計(jì)算機(jī)求解方程（10），可確定4n個(gè)積分常數(shù)。

（5）將4n個(gè)積分常數(shù)Ci，j（i=1，2，…，n；j=1，2，3，4）代入式（3）、式（4）、式（8）、式（9）可得超靜定梁的剪力方程、彎矩方程、轉(zhuǎn)角方程、撓度方程。

（6）利用計(jì)算機(jī)繪出超靜定梁的剪力圖、彎矩圖，并確定最大剪力、最大彎矩。同時(shí)還可繪出超靜定梁的轉(zhuǎn)角圖、撓度圖，并確定最大轉(zhuǎn)角、最大撓度。

2 算例

2.1 求靜定梁的內(nèi)力

算例1如圖1所示，其中圖1（a）中的簡(jiǎn)支梁受分布載荷作用，載荷集度，試用一體化積分法建立梁的剪力方程、彎矩方程，畫梁的剪力圖、彎矩圖。

解：該簡(jiǎn)支梁為靜定梁，其彎矩-載荷集度微分方程為：

梁的力邊界條件有2個(gè)：

應(yīng)用一體化積分法，解得梁的剪力、彎矩方程：

式中0≤x≤l，梁的剪力圖、彎矩圖如圖1（b）、圖1（c）所示。

剪力、彎矩的極值：

算例2外伸梁的載荷和尺寸如圖2（a）所示，試用一體化積分法與Maple軟件編程建立梁的剪力方程、彎矩方程，畫梁的剪力圖、彎矩圖。

解：該外伸梁為靜定梁，將其分為3段，各段彎矩-載荷集度微分方程分別為：

梁的力邊界條件有6個(gè)：

應(yīng)用一體化積分法及Maple軟件編程計(jì)算，解得梁的剪力方程：

梁的彎矩方程：

梁的剪力圖、彎矩圖如圖2（b）、圖2（c）所示。

圖2 外伸梁

剪力的極值、彎矩的極值：

2.2 求超靜定梁的內(nèi)力

算例3兩端固定的梁如圖3（a）所示，承受梯形分布載荷作用，載荷集度的最大值為q1，最小值為q2，梁的抗彎剛度EI為常量。試用一體化積分法與Maple軟件編程建立梁的剪力方程、彎矩方程，畫梁的剪力圖、彎矩圖。

解：該梁為超靜定梁，其撓度-載荷集度微分方程為：

梁的位移邊界條件有4個(gè)：

按照一體化積分法及Maple軟件編程計(jì)算，解得梁的剪力、彎矩方程：

式中0≤x≤l。

當(dāng)q1=2q0、q2=q0時(shí)，該梁的剪力圖、彎矩圖如圖3（b）、3（c）所示。

圖3 兩端固定梁

剪力的極值、彎矩的極值：

算例4如圖4（a）所示梁受集中力、集中力偶和分布載荷的作用，已知q0，a，Me=q0a2，梁的抗彎剛度EI為常量。試用一體化積分法與Maple軟件編程畫出梁的剪力圖和彎矩圖。

解：該梁為超靜定梁，將其分為3段，各段撓度-載荷集度微分方程分別為：

梁的力、位移邊界條件有12個(gè)：

應(yīng)用一體化積分法及Maple軟件編程計(jì)算，得梁的剪力圖、彎矩圖如圖4（b）、圖4（c）所示。

圖4 復(fù)雜載荷作用的超靜定梁

剪力、彎矩的極值：

3 結(jié)論

本文方法及其算例表明：

（1）一體化積分法是求解梁彎曲內(nèi)力的通用解析法，不論是靜定梁還是超靜定梁都可以解決，特別是對(duì)求解多段、復(fù)雜分布載荷作用下的梁的內(nèi)力尤其具有優(yōu)勢(shì)。

（2）該方法程式化、簡(jiǎn)潔明了。只需列出梁各段分布載荷函數(shù)、控制方程和邊界條件，與Maple軟件編程相結(jié)合，采用計(jì)算機(jī)積分快速準(zhǔn)確求出積分常數(shù)。一旦積分常數(shù)確定，剪力函數(shù)和彎矩函數(shù)、剪力圖和彎矩圖、剪力最大值和彎矩最大值可一并得到，分析計(jì)算一氣呵成。

（3）一體化積分法是求解梁內(nèi)力的獨(dú)立的方法。與傳統(tǒng)解法完全不同，解靜定問(wèn)題不列平衡方程，不求約束反力；解超靜定問(wèn)題，不選靜定基，不求多余的約束反力，一體化積分法是固體力學(xué)邊值問(wèn)題的具體應(yīng)用。

（4）實(shí)現(xiàn)梁內(nèi)力的可視化，給予使用者直觀的學(xué)習(xí)體驗(yàn)，達(dá)到所想即所得。這樣既提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率、學(xué)習(xí)興趣，又提高學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。將一體化積分法用于工程設(shè)計(jì)，高效、實(shí)用。