對稱群S4 的特征標表的兩種構造方法

晉 珺

（晉中學院數(shù)學系，山西 晉中 030619）

有限群的特征標理論為有限群的研究提供了強有力的工具，其中特征標表是學習有限群的特征標理論的重要工具.從特征標表上可以得到許多信息，例如從特征標表可以得到群的所有正規(guī)子群，可以確定該群是否為單群，是否可解，還可以計算商群的不可約特征標［1］，在特征標的π-理論［2］中可以判斷群是否是π-可分的等. 本文分別通過子群上不可約特征標在大群上的誘導和置換特征標兩種方法得到S4的特征標表.本文只考慮有限群上的復特征標，特征標理論的相關概念、基本性質以及符號可參考Isaacs 的專著［1］，矩陣和群論的基礎知識可參考相關文獻［3～5］.

1 預備知識

本文用到的一些概念和主要結果如下：

2 主要結論

由引理1 易知，S4有5 個不可約特征標，另外三個非線性特征標的次數(shù)分別為2，3，3，將唯一的一個次數(shù)為2 的不可約特征標記為x3，兩個3 次的不可約特征標分別記為x4、x5，接下來通過兩種方法計算S4的這三個非線性不可約特征標.

方法一：通過其子群S3上不可約特征標誘導到S4上來計算.

將S3的主特征標φ1（見表2）誘導到S4上，我們直接利用引理5 的公式，即可得到其在S4各個共軛類代表元上的值，其結果（按照表1 中共軛類代表元順序排列）如下：

表1 S4 的共軛類以及線性特征標表

表2 S3 的特征標表

表3 S4 的所有不可約特征標表