基于幾何均值的三維網(wǎng)格濾波方法

許晨煬，彭武杰，劉帆，2，毛志紅

（1.五邑大學(xué) 智能制造學(xué)部，廣東 江門 529000；2.廣東奧普特科技股份有限公司，廣東 東莞 523846）

1 簡介

1.1 研究背景

隨著科技的不斷發(fā)展，數(shù)字掃描儀的使用越來越普遍，人們通過數(shù)字掃描儀來獲取三維物體表面的數(shù)據(jù)也越來越容易，根據(jù)獲取數(shù)據(jù)樣本密度的不同，表面數(shù)據(jù)一般主要分為點云和網(wǎng)格數(shù)據(jù)，點云數(shù)據(jù)有著高的采樣密度，接近于原始模型，其缺點在于拓?fù)潢P(guān)系的不明確以及龐大的待處理點數(shù)據(jù)；相反，網(wǎng)格數(shù)據(jù)有著明確拓?fù)潢P(guān)系以及稀疏的點數(shù)據(jù)。盡管其低密度的采樣可能存在不能完整地描述模型的缺點，但這些缺點可以通過后期交互式3D模型重建及處理技術(shù)進行彌補。然而，無論是點云數(shù)據(jù)還是網(wǎng)格數(shù)據(jù)，在獲取3D數(shù)據(jù)時，不可避免地會出現(xiàn)噪聲，噪聲的出現(xiàn)會嚴(yán)重影響模型的正確表示以及后續(xù)的重建過程，因此降噪就成為數(shù)字幾何處理的關(guān)鍵步驟。

如前所述，網(wǎng)格數(shù)據(jù)作為一種基本的數(shù)據(jù)對象，其明確的拓?fù)潢P(guān)系降低了三維重建的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的復(fù)雜度，有關(guān)網(wǎng)格數(shù)據(jù)三維重建中的降噪方法，前人已經(jīng)做出了許多的研究工作。就目前所做的文獻(xiàn)調(diào)研情況，針對網(wǎng)格數(shù)據(jù)中不同降噪方法的理論基礎(chǔ)，大致可以分為3類。

第一類是基于微分幾何的方法，這類方法不同于統(tǒng)計學(xué)方法，往往有著較高的復(fù)雜度。比如Zhao Huanxi[1]的高斯曲率流方法，通過計算點的高斯曲率值并設(shè)置判別條件來對不同區(qū)域進行降噪和特征保持，這種方法在一些具有尖銳特征的模型上有著比較好的處理效果，但算法所涉及的法向量的重定向以及高斯曲率的計算會使得算法的處理效率降低；微分幾何的方法也應(yīng)用于法向量的降噪和模型重構(gòu)[2]，這類方法的主要特點就是使用曲面的微分方程作為理論基礎(chǔ)進行曲面擬合和相關(guān)法向量的計算。

第二類是基于圖像信號處理中的濾波，這類算法理論豐富且利于推廣和延伸，是三維重建中相當(dāng)重要的一部分內(nèi)容。比如Fleishman[3]的雙邊濾波算法，通過空間距離權(quán)值和角度權(quán)值來進行權(quán)值平均，算法的復(fù)雜度低，有著比較好的降噪和特征保持效果，尤其在具有尖銳模型特征上表現(xiàn)明顯（如CAD模型）；Lee Kai-Wah[4]的法向量重定向的雙邊濾波，通過對法向量進行雙邊濾波來重定向點的法向量，最后通過所求得的法向量來設(shè)計迭代公式，以此反求要更新的頂點位置；毛志紅[5]在雙邊濾波上做出了一些改進，提出了一種基于Susan鄰域的雙邊濾波算法，算法基于一個定義的Susan鄰域進行雙邊濾波，在降噪和特征保持上有比較良好的效果；Yoshizawa[6]的NL-means算法，通過定義相似權(quán)來進行降噪處理，算法效果良好，但是全局算法本身的計算量龐大，處理的時間也隨之劇增；夏鋒[7]提出了一種基于相似區(qū)域塊的估計方法，通過計算曲率、形狀指數(shù)和形狀直徑函數(shù)構(gòu)建高階張量矩陣進行相似度的甄別，以此尋找相似塊，從而重建點的法向量，最后通過2-鄰域的最小二乘擬合平面，以此更新頂點位置，但文中僅僅進行了法向量的重定向，更新的步長僅由點到最小二乘法平面的距離求得，導(dǎo)致該方法魯棒性不高。從圖像中拓展的Lp范數(shù)濾波應(yīng)用于三角網(wǎng)格也是近幾年研究的熱點內(nèi)容[8-9，11]，范數(shù)濾波是一種優(yōu)化求解器，求解器的關(guān)鍵在于范數(shù)對象的構(gòu)建。

第三類是以特征提取為核心的濾波算法，這類濾波方法的主體還是圖像濾波算法的應(yīng)用推廣，為了讓濾波器具有更高的魯棒性，這類算法在網(wǎng)格模型特征提取上做出了相當(dāng)多的工作，但也大量增加算法的時間開銷。如Fan Hanqi[10]的基于子鄰域一致性的特征保持網(wǎng)格濾波算法，算法以點法向量的關(guān)系進行點聚類，進而將得到類的邊界標(biāo)記為特征，最后進行雙邊濾波；Lu Xuanquan[11]的魯棒性的特征保持網(wǎng)格降噪算法的一大重要內(nèi)容就是對特征點的識別、連接及重建，最后通過更新頂點位置完成濾波。

1.2 主要貢獻(xiàn)

雖然模型降噪的方法還有很多，比如曲面逼近、曲面擬合、基于深度學(xué)習(xí)的法向濾波等[12-16]，但是效果良好的算法往往復(fù)雜度過高，時間開銷大；而較低復(fù)雜度的算法對特征保持的效果往往不理想?；趯D像處理中的幾何均值濾波的研究，本文提出了一種新穎的基于幾何均值濾波的簡單高效網(wǎng)格濾波算法，以第二類圖像信號處理中濾波方法為基礎(chǔ)進行延伸，應(yīng)用高斯核函數(shù)及同態(tài)濾波思想提升濾波器的魯棒性，在有效保持特征的同時，高效地去除噪聲。

2 相關(guān)工作

2.1 預(yù)備知識

圖1 原始網(wǎng)格模型和含噪聲模型

三維測量儀器在掃描的過程中由于外界的因素及掃描儀或相機本身的原因不可避免地會產(chǎn)生噪聲，在本文實驗中，算法利用網(wǎng)格平均邊長L來產(chǎn)生加性的高斯噪聲，根據(jù)可能產(chǎn)生的隨機噪聲大小程度，將噪聲按Noise∈（0，1）中的值來分級，定義Noise=（0～0.2）L時為輕度噪聲，Noise=（0.2～0.5）L時為 中 度 噪 聲，Noise=（0.5 ～1.0）L為重度噪聲。

三角網(wǎng)格模型可以用三元組來表示，M=（VM，KM，PM），VM是所有頂點的集合；KM代表拓?fù)潢P(guān)系，包含頂點索引值、連接邊和三角面片信息；PM表示頂點的屬性信息，比如點空間位置、點法向量等[5]。網(wǎng)格數(shù)據(jù)中比較重要且明確的就是易獲取的鄰域信息（如圖2），在KM中點p的1-鄰域可以表示為N（p，1），2-鄰域可以表示為N（p，2），以此類推，p的n-鄰域可以表示為N（p，n）。

圖2 網(wǎng)格點N-鄰域索引示意圖

2.2 二維圖像濾波方法

幾何均值濾波是圖像處理中一種常見的濾波方法，幾何均值濾波器對一副圖像的復(fù)原表達(dá)式由下式給出[17]：

式中：g（s，t）為像素灰度值；f^（x，y）為復(fù)原后的中心像素灰度值；Sxy為空間模板；mn為模板大小。

高斯函數(shù)由于其低通特性在濾波器中應(yīng)用廣泛，經(jīng)過變換后也可變?yōu)楦咄V波器，尤其是在雙邊濾波器和頻率域濾波上，經(jīng)?？梢钥吹礁咚篂V波器的使用。低通的高斯濾波器用于對圖像的平滑，而高通高斯濾波器用于銳化圖像，本文研究高斯高通濾波器所具有的特性。頻率域濾波中，理想的高通濾波器應(yīng)具有如下特點[18]：

理想的高通濾波器理論上是可以實現(xiàn)的，但實際上本文使用的是特性相似的濾波函數(shù)來逼近理想的高通濾波，比如布特沃斯濾波器和高斯高通濾波器就在圖像銳化中得到廣泛應(yīng)用，高斯高通濾波器可由下式來表達(dá)[18]：

圖3所示的是形式變化后的高斯高通函數(shù)圖像，常數(shù)c控制函數(shù)邊坡的銳利度，函數(shù)值在γL和γH之間過渡。

圖3 近似的高斯高通濾波函數(shù)特性

2.3 三維網(wǎng)格降噪方法

基于張量分解的三維網(wǎng)格降噪方法[7]主要通過模型幾何屬性獲取子模型塊相似塊，對子模型塊及其相似塊的法向量進行張量處理?；趶埩康木W(wǎng)格降噪過程中，現(xiàn)有方法主要通過修正法向方向進行降噪，法向偏移沒有進行優(yōu)化處理。該方法的缺點是不能合理設(shè)置法向偏移量。

自適應(yīng)雙邊濾波器網(wǎng)絡(luò)濾波方 法[22]，結(jié) 合 三維網(wǎng)格模型的局部特征強度，自適應(yīng)地優(yōu)化濾波參數(shù)，實現(xiàn)局部雙邊濾波器中數(shù)值濾波器和空域濾波器的合理搭配。該濾波器能夠更好地保持三維網(wǎng)格模型的細(xì)節(jié)特征。不過，自適應(yīng)雙邊濾波器檢測特征強度的復(fù)雜度較高。因此實現(xiàn)效率較低。

加權(quán)的M-估計器方法中[21]，雖然有效地保持模型的特征，但是該方法需要人為干預(yù)去調(diào)節(jié)參數(shù)，需要用戶的經(jīng)驗值。

3 加權(quán)的幾何均值濾波器

3.1 幾何均值濾波器的推廣

幾何均值濾波器的操作對象是圖像灰度值，即圖像像素點具有的一個顏色屬性。在網(wǎng)格數(shù)據(jù)中，能夠表征網(wǎng)格點屬性的量有很多，可以從PM中選取構(gòu)造，設(shè)VM中的任意點可以表示為v=（vx，vy，vz），本文選取點空間位置作為網(wǎng)格濾波的基礎(chǔ)，可以將幾何均值濾波推廣至三維空間，有下式：

式中：vi=（vix，viy，viz）是中心點；vj=（vjx，vjy，vjz）是vi的1-鄰域點；N=N（vi，1）是鄰域點個數(shù)；v^i=（v^ix，v^iy，v^iz）是迭代的新點位置。類似于灰度值零點的處理，在處理三維點空間位置時，也需要將網(wǎng)格點平移到第一卦限，保持v=（vx，vy，vz）的坐標(biāo)值恒正，在濾波完成后再進行平移還原。

3.2 顯著性（相似性）高斯權(quán)函數(shù)的構(gòu)造

有關(guān)于特征區(qū)域的判別也是幾何處理中的有趣的研究內(nèi)容，噪聲與網(wǎng)格的幾何特征都屬于高頻信息，現(xiàn)在依然沒有一個有效的數(shù)學(xué)定義將二者區(qū)分開，在網(wǎng)格的尺度很大的情況下，甚至連人眼都難以區(qū)分，所以目前在區(qū)分特征與噪聲的研究上往往是擬合一個度量函數(shù)來迭代求解，或者是依據(jù)能量函數(shù)進行全局的優(yōu)化迭代求解。在網(wǎng)格濾波算法發(fā)展的歷程中，幾乎所有方法的求解優(yōu)化和函數(shù)擬合都有一個特征顯著性或者相似性的度量函數(shù)[19]。目前在特征顯著性度量上，可以用急劇變化的方向曲率及高斯曲率等作為度量閾值；也可以使用網(wǎng)格點法向量夾角、網(wǎng)格邊夾角及三角片面夾角等，本文中則使用法向量夾角和空間距離來識別網(wǎng)格模型的顯著特征，最后擬合一個函數(shù)進行新頂點位置的求解。

3.2.1 同態(tài)濾波思想應(yīng)用

為了避免特征區(qū)域受到不同流型面的影響而被鈍化，本濾波算法設(shè)計的基本思路是濾波器要具有能夠?qū)⒃肼朁c拉向原始曲面，以滿足降噪要求，同時保持特征不被鈍化的特點，參考1.3節(jié)介紹的同態(tài)濾波思想，綜上所述，推廣的新點迭代公式可以按如下重寫為

式中：K（t，r）∈（0，1），是本算法的顯著（相似）性度量函數(shù)；t、r變量均為表征特征的參數(shù)變量，參考式（2），濾波器關(guān)注于感興趣的特征區(qū)域，特征的判別屬于閾值控制，所以理想的顯著性度量高斯權(quán)函數(shù)K（t，r）應(yīng)該具有式（2）的特點，公式的中括號內(nèi)容是同態(tài)濾波器的應(yīng)用形式，用于保持（銳化）特征，整個點空間位置的迭代公式屬于全局點空間位置的幾何均值濾波函數(shù)，用于去除噪聲（紋理特征）。

3.2.2 高斯核函數(shù)的應(yīng)用

與算術(shù)均值中的加權(quán)雙邊濾波相似，點的法向量夾角γ和點的空間距離S作為本文顯著性度量函數(shù)的基礎(chǔ)，即t=γ，r=S，本文使用幾何均值來計算兩個特征顯著性值，K（t，r）表達(dá)式為

式中：θv為法向量夾角的閾值；θs為空間距離的閾值；θv和θs都是自適應(yīng)的，可以由模型網(wǎng)格點中的平均法向量夾角和平均邊長計算得到；μ0、μ1為相關(guān)系數(shù)，即閾值控制系數(shù)，它控制著高斯權(quán)函數(shù)的邊坡銳利度，控制系數(shù)是本文算法特征保持性能的關(guān)鍵，通常需要進行參數(shù)調(diào)整來確定最優(yōu)的值，實施過程中依據(jù)經(jīng)驗選取，如對一些只包含平面和不連續(xù)特征的機械零件模型可以將μ0、μ1選取得小一點，以使濾波函數(shù)擁有更好的特征保持性。

3.3 算法步驟

表1給出了本文算法的偽代碼。通過設(shè)置迭代次數(shù)，使得算法達(dá)到最好的降噪效果，同時保持關(guān)鍵特征，一般而言，iterations=3時本文算法能夠在保持特征的同時進行噪聲的去除，迭代過多就可能會模糊特征，針對不同模型進行試驗選取合適的迭代次數(shù)可以得到更適合模型的效果。

表1 算法的偽代碼

4 結(jié)果

本實驗實施了章節(jié)2.3所講述的算法，加性噪聲水平為0.15，μ0、μ1分別設(shè)置為0.12和0.30，實驗中對比了經(jīng)典的最小平方濾波算法[20]、Susan結(jié)構(gòu)保持濾波算法[5]、加權(quán)的M-估計器濾波算法[21]、特征保持的雙邊濾波算法及本文算法。

如圖4所示，使用機械零件模型來驗證本文的算法效果，從圖中標(biāo)記區(qū)域可以看出本文算法在特征保持上有著相當(dāng)良好的效果，雖然特征保持的雙邊濾波算法也有著良好的特征保持效果，但是算法降噪后存在噪聲點，降噪效果并不理想。如圖5所示，本文使用Bunnies-iH模型來對比不同算法得到的效果，從灰色框標(biāo)示的區(qū)域可以看出，非魯棒性的最小平方濾波算法嚴(yán)重模糊了特征，同樣的M-估計器和特征保持的雙邊濾波算法在眼睛和文字特征的保持上沒有本文提出算法的效果好。

圖4 Frandisk模型的不同算法降噪效果對比

圖5 Bunnies-iH模型不同算法降噪效果對比

如圖6所示，灰色框標(biāo)示的區(qū)域中，特征保持的雙邊濾波算法在眼皮上仍然有未去除的噪聲存在，本文算法、Susan降噪與加權(quán)的M-估計器均有著良好的降噪和特征保持效果；如圖7所示，最小平方濾波雖然降噪效果很好，但是特征也被嚴(yán)重模糊，在左邊灰色框標(biāo)示的3D人像中，有3個比較大的噪聲點存在，右邊的灰色框標(biāo)示區(qū)域中所標(biāo)記的是頭發(fā)特征，經(jīng)過本文算法降噪只剩下2個噪聲點，同時頭發(fā)特征被很好地保留下來。

圖6 Man-head模型不同算法降噪效果對比

圖7 lenaH模型不同算法降噪效果對比

為了進一步證明本文算法在不同模型上良好濾波的性能，表2定量統(tǒng)計了4種算法與本文算法濾波完成后網(wǎng)格模型相較于原始無噪聲網(wǎng)格模型的最大絕對誤差Dmax、平均誤差Dmean、誤差方差δ及均方誤差（MSE），加粗部分為最優(yōu)結(jié)果。從表2可以看出，本文算法的誤差統(tǒng)計值與均方誤差（MSE）上都能取得最低值，這說明采用本文的方法能夠最大程度地去除噪聲、恢復(fù)原始模型并有效保持特征。圖8對比了濾波的4種算法與本文算法在4種模型上的均方誤差值，從均方誤差（MSE）可以看出，與其他算法相比，本文算法在不同模型上的表現(xiàn)更穩(wěn)定，誤差也更小。

表2 濾波后相比原始模型的誤差統(tǒng)計以及均方誤差

圖8 本文算法與其他算法在不同模型上均方誤差的對比

5 結(jié)論

本文在幾何均值濾波基礎(chǔ)上，綜合了同態(tài)濾波和雙邊濾波等的思想，并延伸至3D 網(wǎng)格濾波降噪中，實驗表明該算法在特征保持和降噪上都有著良好的效果。算法的處理的核心是基于點空間位置的魯棒統(tǒng)計，并應(yīng)用類似于雙邊濾波中的權(quán)值的處理，算法中選取了法向量夾角值與空間距離作為權(quán)值，并構(gòu)造了模型特征局部相似性高斯度量權(quán)函數(shù)。最后基于同態(tài)濾波的理論來設(shè)計迭代公式對頂點位置進行更新迭代。算法魯棒性關(guān)鍵在于模型特征局部相似性權(quán)重函數(shù)的使用，即如果濾波的中心點在特征區(qū)域，迭代公式受到相似權(quán)函數(shù)的影響會執(zhí)行銳化的操作，類似于圖像銳化處理的高通濾波；如果中心點在非特征區(qū)域，迭代公式受到相似權(quán)函數(shù)的影響會執(zhí)行平滑的操作，類似于圖像降噪處理的低通濾波。算法的對比實驗效果及定量的誤差分析數(shù)據(jù)表明了本算法對具有不同特征尺度模型的降噪處理具有一定的效果。本文的不足在于：本文的算法只有針對非CAD模型具有好的降噪效果，但是針對CAD零件模型尖銳處沒有達(dá)到很好的效果，并不能體現(xiàn)出本文算法的優(yōu)勢。在未來的工作中希望對該算法加以改進，使算法具有普適性。