圓柱矢量波函數(shù)的構(gòu)建及其在圓柱波導(dǎo)中的應(yīng)用

雒向東，海 波，趙宇杰，梁 曄

(1.蘭州城市學(xué)院 電子工程學(xué)院，甘肅 蘭州 730070； 2.《甘肅高師學(xué)報(bào)》編輯部，甘肅 蘭州 730070；3.蘭州城市學(xué)院 信息工程學(xué)院，甘肅 蘭州 730070)

0 引言

近幾十年來(lái)，自Hansen首次引進(jìn)矢量波函數(shù)來(lái)解決某些電磁場(chǎng)問(wèn)題[1-3]，Stratton驗(yàn)證了這些函數(shù)的有效性[4]，這些函數(shù)的使用方法進(jìn)一步被Stratton、Morse、Feshbach等人推廣[5]，戴振鐸、宋文淼、魯述等就電磁理論中的并矢格林函數(shù)(DGF)也做了大量的研究[6-13]，使得DGF方法被廣泛地應(yīng)用于電磁理論及工程的各個(gè)領(lǐng)域。毫無(wú)疑問(wèn)，DGF現(xiàn)已成為電磁理論中的一個(gè)重要概念和解決問(wèn)題的方法。用DGF方法解決各種電磁場(chǎng)工程問(wèn)題，其關(guān)鍵在于求出DGF表達(dá)關(guān)系，因此DGF的研究和求解自然成為人們關(guān)注的熱點(diǎn)問(wèn)題。由于不同的正交曲線坐標(biāo)系的本征波函數(shù)的展開各有特殊性，使得DGF研究具有復(fù)雜性，國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)此均作了大量研究，如對(duì)規(guī)則形狀波導(dǎo)、常用坐標(biāo)系等問(wèn)題已形成較一致的意見(jiàn)。但有些問(wèn)題，如柱坐標(biāo)系中的本征展開問(wèn)題仍存在爭(zhēng)議，對(duì)該問(wèn)題的報(bào)道也比較少[14-18]。本文就圓柱波導(dǎo)DGF的構(gòu)建、正交歸一性質(zhì)及其在圓柱波導(dǎo)中的應(yīng)用做了詳細(xì)研究，其研究結(jié)論可為基于DGF方法解決電磁場(chǎng)工程等問(wèn)題提供理論和技術(shù)支持。

1 構(gòu)建具有離散本征值的圓柱矢量波函數(shù)

1.1 圓柱坐標(biāo)系中的標(biāo)量波函數(shù)

建立如圖1所示的圓柱波導(dǎo)示意圖。圓柱截面半徑為a，坐標(biāo)變量用r、φ、z來(lái)表示。用pnm和qnm分別表示整階貝塞爾函數(shù)Jn(x)和該函數(shù)微商J′n(x)的根。

圖1 圓柱波導(dǎo)示意圖

首先研究齊次標(biāo)量亥姆霍茲方程，從而得到柱坐標(biāo)系的標(biāo)量波函數(shù)。用分離變量法解標(biāo)量波動(dòng)方程：

(1)

(2)

設(shè)式(2)的解為：

Φ(r，φ，z)=R(r)Φ(φ)Z(z)。

(3)

對(duì)式(3)分離變量，得出的4個(gè)分量方程為：

Φ″+n2Φ=0，

(4)

(5)

(6)

(7)

式(4)和式(5)中的Φ和Z的解為諧函數(shù)，可能的取值分別為：

cosnφ，sinnφ，einφ，e-inφ(n=0，1，2，3，…)，

(8)

coshz，sinhz，eihz，e-ihz。

(9)

式(6)中，R是n階貝塞爾函數(shù)，方程解的形式為：

(10)

(11)

或者可寫成：

(12)

式(12)中，“+”表示沿z反方向傳播的波，“-”表示沿z正方向傳播的波，下標(biāo)e、o分別表示函數(shù)為偶函數(shù)和奇函數(shù)。在圓波導(dǎo)內(nèi)，假設(shè)波沿z軸方向?qū)校卅?、r方向均為駐波，其基本波函數(shù)可表示為[19]：

(13)

式(13)中，除n=0的情況外，每一組分離常數(shù)對(duì)應(yīng)兩種不同極化場(chǎng)的模式，稱為模式的極化簡(jiǎn)并。

1.2 圓柱坐標(biāo)系中的矢量波函數(shù)

基于圓柱坐標(biāo)系中的標(biāo)量波函數(shù)，定義兩類圓柱矢量波函數(shù)，它們?cè)趓=a時(shí)都滿足矢量狄里克雷邊界條件。

兩類圓柱矢量波函數(shù)定義為[6]：

(14)

其中，

(15)

(16)

其中，

(17)

兩組矢量波函數(shù)的全表達(dá)式為：

(18)

(19)

描述圓柱波導(dǎo)中的磁場(chǎng)，可采用的矢量波函數(shù)為：

(20)

(21)

函數(shù)M(h)和N(h)滿足下列關(guān)系[6]：

(22)

(23)

1.3 圓柱坐標(biāo)系中矢量波函數(shù)的正交歸一性

圓柱矢量波函數(shù)具有正交性，可舉例證明如下：

(24)

要證明式(24)正交關(guān)系成立，首先討論下面積分：

(25)

將式(18)及(19)代入式(25)可得：

e-i(h-h′)zdV。

(26)

第一種情形：

(27)

(28)

第二種情形：

(29)

(30)

這兩種情形推證中都應(yīng)用了以下公式[6]338：

(31)

在以上兩種情況的推證中，由于Jn(λa)=0，故I1=I2=0，所以有：

(32)

矢量波函數(shù)正交歸一關(guān)系總結(jié)如下(不再證明)：

(33)

(34)

(35)

式(34)和(35)中，δ0表示對(duì)n的克羅內(nèi)克δ函數(shù)。式中體積分是對(duì)無(wú)限長(zhǎng)波導(dǎo)的整個(gè)區(qū)域的積分，當(dāng)n≠n′時(shí)，在φ域中所有圓柱矢量波函數(shù)都是正交的，這些正交關(guān)系這里不再證明。

2 圓柱波導(dǎo)的并矢格林函數(shù)

(36)

式(36)中，求和指數(shù)m、n與關(guān)系式pnm=λa和qnm=μa相聯(lián)系，上式可簡(jiǎn)化記為：

(37)

Nenμ(-h′)·Menλ(h)Benλ(h)]dV，

(38)

(39)

用Nonμ(-h′)、Menλ(-h′)和Monλ(-h′)分別與式(36)作前標(biāo)積，同樣可分別求得其系數(shù)為：

(40)

(41)

(42)

四個(gè)系數(shù)可簡(jiǎn)寫為：

(43)

(44)

(45)

假設(shè)磁型并矢格林函數(shù)為：

(46)

將式(45)和(46)代入DGF滿足的麥克斯韋方程[20]：

(47)

求解系數(shù)得：

(48)

(49)

將系數(shù)表達(dá)式(48)和(49)代入式(46)得：

(50)

用圍線積分法計(jì)算[21]，對(duì)TE模當(dāng)：

(51)

根據(jù)式(50)解得：

(52)

對(duì)TM模，當(dāng)：

(53)

根據(jù)式(50)解得：

(54)

(55)

式(55)中上行符號(hào)對(duì)應(yīng)z>z′，下行符號(hào)對(duì)應(yīng)z

(56)

式(56)中，kμ、kλ表示兩組模式相應(yīng)的導(dǎo)波函數(shù)。

(58)

δ(r-r′)=δ(ρ-ρ′)δ(φ-φ′)，

(59)

(60)

(61)

(62)

式(62)中使用了兩個(gè)單位階躍函數(shù)為：

(63)

(64)

進(jìn)一步推導(dǎo)得：

(65)

由廣義函數(shù)理論知：

?U(z-z′)=ezδ(z-z′)，

(66)

?U(z′-z)=-ezδ(z-z′)。

(67)

將式(66)、式(67)代入式(65)得：

(68)

利用式(60)，式(68)又可寫成：

(69)

式(69)對(duì)于所有ρ，φ，z值都適用，由于下式成立：

δ(ρ-ρ′)δ(φ-φ′)δ(z-z′)=δ(R-R′)。

(70)

把式(69)和式(70)代入式(61)得：

(71)

將式(55)代入式(71)得圓柱波導(dǎo)第一類電型DGF為：

(72)

3 結(jié)語(yǔ)

利用分離變量法獲得圓柱坐標(biāo)系中的標(biāo)量波函數(shù)，進(jìn)而研究圓柱系中的矢量波函數(shù)，部分地證明這些函數(shù)的正交歸一化性質(zhì)，利用這些性質(zhì)并借助Ohm-Rayleigh方法詳細(xì)推證圓柱坐標(biāo)系中圓柱波導(dǎo)的第一類電型并矢格林函數(shù)關(guān)系，利用此關(guān)系并借助第一、二類電型并矢格林函數(shù)對(duì)稱關(guān)系獲得第二類電型并矢格林函數(shù)，這些電型并矢格林函數(shù)對(duì)解決在圓柱波導(dǎo)壁上用開口孔徑場(chǎng)激勵(lì)的波導(dǎo)內(nèi)場(chǎng)等問(wèn)題可提供理論依據(jù)和指導(dǎo)方法[22]。