探秘坐標(biāo)系中的“點(diǎn)”與“線”

文／黃 錦

我們知道，幾何圖形具有直觀、形象等特點(diǎn)。作為構(gòu)成復(fù)雜圖形的元素，點(diǎn)與線也不例外。如果將點(diǎn)、線放到平面直角坐標(biāo)系中研究，則會(huì)讓我們?nèi)缁⑻硪?，在感性基礎(chǔ)上又增添幾分理性的色彩。那么點(diǎn)、線與坐標(biāo)系“相遇”究竟會(huì)碰撞出怎樣的火花呢？這里結(jié)合2021 年幾道中考試題，老師帶領(lǐng)大家一探究竟。

一、聚焦——坐標(biāo)系中的“點(diǎn)”

例1（2021·黑龍江綏化）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，MN垂 直 于x軸，以MN為 對(duì) 稱 軸 作△ODE的軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸MN與線段DE相交于點(diǎn)F，與x軸交于點(diǎn)G，點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B恰好落在的雙曲線上。點(diǎn)O、E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是點(diǎn)C、A。若點(diǎn)A為OE的中點(diǎn)，且△AEF的面積為1，則k的值為_____。

圖1

【思路分析】從圖形上直觀感受點(diǎn)的對(duì)稱性。由此可得到GE=GA、CG=OG、BC=OD、AE=AO，再根據(jù)△EGF∽△EOD，可得OD=4FG。k的值與點(diǎn)B的坐標(biāo)相伴相生。觀察到點(diǎn)D關(guān)于直線MN對(duì)稱后的點(diǎn)B坐標(biāo)是變化的，不妨設(shè)EG=m，F(xiàn)G=n，即D點(diǎn)坐標(biāo)為（0，4n），B點(diǎn)坐標(biāo)為（-6m，4n）。由△AEF的面積為1，得mn=1。又因?yàn)锽點(diǎn)落在反比例函數(shù)圖像上，所以k=-6m·4n=-24。

【方法歸納】我們?cè)趫D形的對(duì)應(yīng)關(guān)系中應(yīng)多“聚焦”點(diǎn)的變化，借助坐標(biāo)系的代數(shù)特征，通過設(shè)未知數(shù)來表示點(diǎn)的坐標(biāo)，在變化中尋找關(guān)于點(diǎn)的坐標(biāo)的不變規(guī)律。充分利用坐標(biāo)系的定位與描述功能，可以賦予點(diǎn)更多的內(nèi)涵。

二、聯(lián)動(dòng)——坐標(biāo)系中的“線”

例2（2021·北京）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，⊙O的半徑為1，對(duì)于點(diǎn)A和線段BC，給出如下定義：若將線段BC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)可以得到⊙O的弦B'C'（B'、C'分別是B、C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)），則稱線段BC是⊙O的 以 點(diǎn)A為 中 心 的“關(guān) 聯(lián) 線段”?！鰽BC是邊長(zhǎng)為1 的等邊三角形，點(diǎn)A（0，t），其中t≠0。若BC是⊙O的以點(diǎn)A為中心的“關(guān)聯(lián)線段”，求t的值。

【思路分析】同學(xué)們還記得旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)嗎？旋轉(zhuǎn)前后對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心連線的距離是相等的。由此可知，當(dāng)BC是⊙O的以點(diǎn)A為中心的“關(guān)聯(lián)線段”時(shí)，不僅△ABC是等邊三角形，△AB′C′也是等邊三角形。相同情況下，對(duì)于B′C′與BC，你更“喜歡”誰(shuí)？毫無疑問是B′C′。理由是B′C′更方便利用圓的相關(guān)性質(zhì)解決問題。當(dāng)點(diǎn)A在y軸的正半軸上時(shí)，如圖2，設(shè)B'C'與y軸的交點(diǎn)為D，連接OB'，易得B'C'⊥y軸，所以，所以O(shè)A=；當(dāng)點(diǎn)A在y軸的負(fù)半軸上時(shí)，如圖3，同理可得綜上所述，

圖2

圖3

【方法歸納】我們?cè)谘芯縿?dòng)態(tài)問題時(shí)，要多關(guān)注運(yùn)動(dòng)過程中的變量與不變量，而圖形的旋轉(zhuǎn)要從旋轉(zhuǎn)方向、角度等要素中找到合理、方便的研究對(duì)象。此外，由于線段B′C′長(zhǎng)度一定，故點(diǎn)B′與點(diǎn)C′的坐標(biāo)間必然存在著某種關(guān)聯(lián)，因此，在坐標(biāo)系中研究B′C′時(shí)要充分利用這種“關(guān)聯(lián)”。