由一道題談求平面向量最值的思路

鄭尚東

平面向量最值問題具有較強的綜合性，解答此類問題，需靈活運用向量的三角形法則、平行四邊形法則、向量的加減和數(shù)乘運算法則、向量的數(shù)量積公式、向量的模的公式以及向量的坐標(biāo)運算法則.下面結(jié)合一道例題談一談求解平面向量最值問題的思路.

例題：如圖1所示，OA，OB的模長為1，其夾角為120°，點C在以O(shè)為圓心的圓弧AB上運動，若OC=xOA +yOB，求x+y的最大值.

本題看似簡單，其實較為復(fù)雜.由于C為動點，所以我們很難快速確定C的位置，求得OC，便無法求得x+y的最值.需靈活運用坐標(biāo)系法、向量的數(shù)量積公式、正余弦定理來求解.

思路一：運用坐標(biāo)系法

運用坐標(biāo)系法求解平面向量最值問題，需先根據(jù)題意和圖形，建立合適的平面直角坐標(biāo)系，將向量、點的坐標(biāo)表示出來，通過向量的坐標(biāo)運算求得問題的答案.

運用坐標(biāo)系法解題的關(guān)鍵是建立恰當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，這里以O(shè)點為原點，以O(shè)A為x軸，垂直于OA的直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，便能快速求得各個點的坐標(biāo)和向量的坐標(biāo)，求得x+y的表達式，運用正弦函數(shù)的有界性求得最值.

在建立平面直角坐標(biāo)系后，求得x、y的表達式，便可根據(jù)同角的三角函數(shù)關(guān)系式sin2θ+ cos2θ=1建立關(guān)于x、y的關(guān)系式，再運用基本不等式求得最值.坐標(biāo)系法的優(yōu)點在于將向量問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)運算問題，這樣便于快速求得最值.

思路二：利用向量的數(shù)量積公式

向量的a與b的數(shù)量積a.b=|a||b|cosθ，其中θ為向量a與b的夾角.用向量的數(shù)量積公式可以表示出兩個向量與夾角之間的關(guān)系.在求解平面向量最值問題時，可根據(jù)題意構(gòu)造出兩個向量，將二者相乘，運用向量的數(shù)量積公式，根據(jù)夾角的取值范圍來求得最值.

通過數(shù)乘運算，構(gòu)造出兩個向量的數(shù)量積，運用向量的數(shù)量積公式和向量的模的公式求得x、y的表達式，進而根據(jù)正弦函數(shù)的有界性求得最值.

結(jié)合圖形，運用正余弦定理可快速建立三角形邊角之間的關(guān)系，這樣便能快速求得x+y的表達式，再根據(jù)正弦函數(shù)的有界性即可求得最值.

解法5主要運用了正弦定理，解法6主要運用了余弦定理，求得x、y的關(guān)系式.再結(jié)合基本不等式即可求得最值.

可見，求解平面向量最值問題的思路很多，解題的關(guān)鍵在于求得目標(biāo)式，可運用坐標(biāo)系法，也可利用向量的數(shù)量積公式，還可以運用正余弦定理，最后利用三角函數(shù)的有界性和基本不等式，便可求得最值.