求函數(shù)值域的三種路徑

王仕娜

求函數(shù)的值域問題通常會(huì)要求根據(jù)已知的函數(shù)式和定義域，求函數(shù)值的取值范圍.解答此類問題的關(guān)鍵是根據(jù)函數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征，選擇合適的方法進(jìn)行求解.本文主要介紹三種求函數(shù)值域的思路.

一、利用函數(shù)與反函數(shù)的關(guān)系

我們知道，函數(shù)與其反函數(shù)的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱，函數(shù)的定義域即為其反函數(shù)的值域，函數(shù)的值域即為其反函數(shù)的定義域.在求函數(shù)的值域受阻時(shí)，可利用函數(shù)與其反函數(shù)的關(guān)系，通過求其反函數(shù)的定義域來求得原函數(shù)的值域.

利用函數(shù)與其反函數(shù)的關(guān)系求函數(shù)的值域，需明確函數(shù)的值域與其反函數(shù)的定義域之間的等價(jià)性.根據(jù)原函數(shù)的解析式求得其反函數(shù)的解析式，便可快速求得其定義域.

二、利用函數(shù)的單調(diào)性

函數(shù)的單調(diào)性是求最值的重要T具.一般地，若（x）在定義域[a，b]上是增函數(shù)，則f（x）的最小值為（a），最大值為f（b）;若f （x）在定義域[a，b]上是減函數(shù)，則f（x）的最大值為f（a），最小值為（b）.利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的值域，需先根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，或?qū)Ш瘮?shù)與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系，判斷出函數(shù)的單調(diào)性，然后根據(jù)函數(shù)的定義域求函數(shù)的最值.

利用函數(shù)的單調(diào)性求復(fù)合函數(shù)的值域時(shí)，不僅要遵循“同增異減”的法則，還要關(guān)注白變量的取值范圍，

三、根據(jù)函數(shù)的有界性

函數(shù)的有界性是確定函數(shù)值域的關(guān)鍵.若存在兩個(gè)常數(shù)m、M使得函數(shù)y=f（x），x∈D滿足m≤f（x）≤M，則稱函數(shù)y=f（x）在D上有界，其中m、M分別是它的下界和上界.根據(jù)函數(shù)的有界性求函數(shù)的值域，通常需根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和圖象確定函數(shù)的上界或下界，那么下屆即為函數(shù)的最小值，上界即為函數(shù)的最大值.

相比較而言，第一種思路較為簡(jiǎn)單，但適用范圍較窄;第二、三種思路的適用范圍較廣泛，且第二種思路比較常用.在求函數(shù)的值域時(shí)，同學(xué)們要仔細(xì)研究函數(shù)式的特征，將其進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃危俪浞掷煤瘮?shù)的單調(diào)性、有界性、與其反函數(shù)的關(guān)系來解題.