例析求角雙變量不等式問題的辦法

鄭小瑛

含有雙變量的不等式問題，通常要求證明不等式、求參數(shù)的取值范圍.顯然此類問題具有一定的難度，且綜合性較強(qiáng).本文以一道題為例，談一談求解雙變量不等式問題的兩個辦法. 該目標(biāo)不等式中含有兩個變量a、b，且式子較為復(fù)雜.解答該題，關(guān)鍵在于對兩個變量進(jìn)行適當(dāng)?shù)奶幚?，可將其中一個變量看作常量，或通過換元，將雙變量問題轉(zhuǎn)化為單變量問題來求解.

辦法一：將其中一個變量看作常量

對于雙變量不等式問題，有時我們可將其中一個變量看作常量，將不等式進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?，?gòu)造出關(guān)于另一個變量的函數(shù)，再利用函數(shù)的性質(zhì)和圖象、導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)來求得最值，從而證明不等式成立.

將變量“b”看作常量，構(gòu)造函數(shù)g（a），通過二次求導(dǎo)判斷出函數(shù)g（a）的單調(diào)性，求得其最值，從而證明結(jié)論.將雙變量問題中的一個變量看作常量，就能少討論一個變量，通過討論與另一個變量相關(guān)的方程、函數(shù)、不等式，求得問題的答案，這樣能有效地降低解題的難度.

辦法二：換元

在解答雙變量問題時，可引進(jìn)一個參數(shù)，將兩個變量用參數(shù)表示出來，把不等式變形為關(guān)于參數(shù)的函數(shù)，再利用函數(shù)和導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)來解題.通過換元，可將雙變量問題轉(zhuǎn)化為單變量問題.

用該解法解答本題需注意兩點(diǎn)：一是引進(jìn)參數(shù)t，將雙變量問題轉(zhuǎn)化為單變量問題;二是構(gòu)造函數(shù)g（t），并通過二次求導(dǎo)，判斷出函數(shù)g（t）的單調(diào)性.從整體來看，該解法中主要運(yùn)用了換元法和導(dǎo)數(shù)法.

將不等式兩邊的式子作商后，需要比較商式與1的大小關(guān)系.于是通過換元，構(gòu)造關(guān)于t的函數(shù)，通過求導(dǎo)研究函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而利用函數(shù)的單調(diào)性解題.

由上述分析可知，無論運(yùn)用哪種辦法解題，都需要利用函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)函數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性之間的關(guān)系來解題.因此，在解答雙變量不等式問題時，同學(xué)們要注意將不等式與函數(shù)關(guān)聯(lián)起來，這樣才能快速解題.

（作者單位：陜西省蓮湖教師進(jìn)修學(xué)校）