求解與數(shù)列有關(guān)的最值問題的途徑

吳玲

與數(shù)列有關(guān)的最值問題常與數(shù)列、函數(shù)、不等式、導(dǎo)數(shù)等知識(shí)相結(jié)合，具有較強(qiáng)的綜合性.解答此類問題，需綜合運(yùn)用數(shù)列的性質(zhì)、定義、前n項(xiàng)和公式、函數(shù)的性質(zhì)以及不等式的性質(zhì).本文重點(diǎn)探討一下求解與數(shù)列有關(guān)的最值問題的途徑.

一、利用數(shù)列的單調(diào)性

數(shù)列是定義在正整數(shù)集上的一種特殊函數(shù)，它和函數(shù)一樣，具有單調(diào)性.在解答與數(shù)列有關(guān)的最值問題時(shí)，我們可以先判斷出數(shù)列的單調(diào)性，再利用數(shù)列的單調(diào)性來求出最值.一般地，若數(shù)列為遞增數(shù)列，則數(shù)列的首項(xiàng)為最小值，最后一項(xiàng)的極值為最大值;若數(shù)列為遞減數(shù)列，則數(shù)列的首項(xiàng)為最大值，最后一項(xiàng)的極值為最小值.

判斷數(shù)列的單調(diào)性一般有兩種方法：一是作差法，二是作商法.若an< an+1，則數(shù)列單調(diào)遞增;若an>an+1，則數(shù)列單調(diào)遞減.根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性，找出其中的最大值，即可求得數(shù)列前n項(xiàng)和的最大值.

二、采用基本不等式法

基本不等式法是求解最值問題的重要方法.在求解與數(shù)列有關(guān)的最值問題時(shí)，可將目標(biāo)式看作或者放縮為兩式的和或者積的形式，只需使和或者積為定值，便可利用基本不等式：a+b≥2√ab（a，b>0）求得數(shù)列的最值，但同時(shí)要注意運(yùn)用基本不等式的三個(gè)前提條件：一正二定三相等.

解答本題，主要采用了基本不等式法，首先對(duì)函數(shù)式進(jìn)行變形，配湊出兩式的和n+ 25/n，而n、25/n的積

為定值，于是運(yùn)用基本不等式快速求得最值.

三、數(shù)形結(jié)合

數(shù)列是特殊的一種函數(shù)，具有數(shù)和形的雙重特征，因此在求解與數(shù)列有關(guān)的最值問題時(shí)，可將目標(biāo)式看作函數(shù)式，畫出其圖形，采用數(shù)形結(jié)合的方式來解題.我們借助圖形，便可快速分析出數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和與項(xiàng)數(shù)之間的關(guān)系，順利求得問題的答案.

等差數(shù)列可以視為關(guān)于n的一次函數(shù)，因此可根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式繪制出圖形，這樣便能直觀地分析出數(shù)列的項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)之間的變化規(guī)律，從而快速求得最值.

在解答與數(shù)列有關(guān)的最值問題時(shí)，要根據(jù)題目中所給的條件，仔細(xì)研究數(shù)列的特點(diǎn)、規(guī)律、性質(zhì)，靈活運(yùn)用數(shù)列的單調(diào)性，創(chuàng)造使用基本不等式的條件，將數(shù)形結(jié)合，這樣便可使問題快速獲解.