基于主余震理論的余震地震動(dòng)PGA衰減關(guān)系研究

施雨捷，芮 佳，3*，黃小寧，王皓冬

(1.青海大學(xué)土木工程學(xué)院，青海 西寧 810016； 2.青海省建筑節(jié)能材料與工程安全重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，青海 西寧 810016；3.甘肅省建筑設(shè)計(jì)研究院，甘肅 蘭州 730030)

強(qiáng)烈地震發(fā)生后往往會(huì)伴隨多次余震，而很多建筑結(jié)構(gòu)在主震作用下能夠保持相對(duì)完好，但是在余震作用下會(huì)出現(xiàn)損傷甚至倒塌的情況。地震動(dòng)特性(幅值、持時(shí)、頻譜特性等)和建筑結(jié)構(gòu)在地震作用下的響應(yīng)有密切關(guān)系，因此有必要掌握地震動(dòng)本身的參數(shù)信息，從而對(duì)建筑結(jié)構(gòu)在地震作用下的響應(yīng)有進(jìn)一步的了解。目前，許多學(xué)者專注于建立和優(yōu)化地震動(dòng)的衰減關(guān)系，他們?cè)谘芯恐写蠖鄬⒌卣饎?dòng)參數(shù)轉(zhuǎn)化為震級(jí)、斷層距、剪切波速和其他場(chǎng)地條件的函數(shù)。Boore等[1-2]、Campbell[3]和Graizer等[4]在研究地震動(dòng)的衰減關(guān)系時(shí)并未考慮余震對(duì)衰減結(jié)果的影響；而Abrahamson[5-6]、Chiou等[7-8]雖然在構(gòu)建地震動(dòng)參數(shù)衰減方程時(shí)將余震納入考慮范圍，但是僅僅將其看作衰減方程的影響參數(shù)，并未考慮不同余震的差異性。

本文基于NGA-West 2中學(xué)者提出的模型[1-12]，考慮了余震地震參數(shù)，研究余震相對(duì)地震動(dòng)參數(shù)和地震參數(shù)及場(chǎng)地參數(shù)之間的規(guī)律；從PEER數(shù)據(jù)庫(kù)中選擇752組主余震地震動(dòng)序列，歸納建立衰減關(guān)系，通過(guò)多元非線性回歸方法回歸出了余震相對(duì)地震動(dòng)參數(shù)的變化規(guī)律，為地震危險(xiǎn)性分析和工程實(shí)踐提供一定的理論依據(jù)。

1 地震動(dòng)數(shù)據(jù)庫(kù)

建立地震序列數(shù)據(jù)庫(kù)是分析建筑結(jié)構(gòu)地震響應(yīng)的前提。本文根據(jù)下列要求[4-5，8-16]選擇合適的地震序列：(1)同一序列的主震和余震均來(lái)自于同一臺(tái)站；(2)所選地震序列各項(xiàng)參數(shù)均有效；(3)不考慮雙主震情況，剔除余震峰值加速度大于主震峰值加速度的數(shù)據(jù)；(4)所有地震序列均為殼內(nèi)地震序列；(5)去除峰值加速度小于0.03 g的地震序列；(6)所有地震序列需要相應(yīng)的場(chǎng)地條件數(shù)據(jù)；(7)剔除震源距過(guò)小的地震序列；(8)地震序列均記錄于自由場(chǎng)地。根據(jù)蒙特卡洛原理，從美國(guó)太平洋地震研究中心的下一代地震衰減數(shù)據(jù)庫(kù)中選用752組真實(shí)記錄的主余震地震動(dòng)序列[11]，分別來(lái)自11條地震序列，有183個(gè)臺(tái)站記錄。根據(jù)主震序列和余震時(shí)間區(qū)分的地震動(dòng)數(shù)據(jù)及其臺(tái)站情況如表1所示。

表1 主余震序列相關(guān)信息Tab.1 Information of main and aftershock sequence

2 余震地震動(dòng)PGA衰減模型

2.1 衰減模型的建立

根據(jù)相關(guān)學(xué)者[1-10,12]提出的NGA-West2地震動(dòng)衰減關(guān)系，統(tǒng)計(jì)本文選取的地震序列數(shù)據(jù)庫(kù)中的數(shù)據(jù)變化規(guī)律，提出下列余震地震動(dòng)參數(shù)的衰減關(guān)系：

(1)

式中：Y表示地震動(dòng)強(qiáng)度參數(shù)IM，本文為地震峰值加速度PGA；?Y表示相對(duì)地震動(dòng)強(qiáng)度參數(shù)，本文為余震峰值加速度與主震峰值加速度的比值?PGA；Mms表示主震矩震級(jí)；?M表示相對(duì)震級(jí)，本文為余震震級(jí)與主震震級(jí)的比值；Vref表示特定的參考速度，本文為美國(guó)地震減災(zāi)計(jì)劃NEHRP中B類和C類場(chǎng)地的剪切波速界限值，取760 m/s；VS30表示地下30 m的平均剪切波速；Dms表示主震的斷層距；ε表示計(jì)算值和實(shí)際數(shù)據(jù)之間的殘差；b1-b4表示公式的回歸系數(shù)。

在公式(1)中，等號(hào)右邊第一項(xiàng)和第二項(xiàng)用于描述?Y隨地震參數(shù)的變化情況，第三項(xiàng)模擬場(chǎng)地參數(shù)對(duì)?Y的影響，第四項(xiàng)表示傳播參數(shù)對(duì)?Y的幾何影響。采用最小二乘法進(jìn)行回歸，主要基于3個(gè)假設(shè)：(1)期望函數(shù)的形式正確；(2)隨機(jī)噪聲服從均值為零的正態(tài)分布，各個(gè)隨機(jī)項(xiàng)之間相互獨(dú)立，且方差是常數(shù)；(3)期望函數(shù)和隨機(jī)噪聲之間相互獨(dú)立。

2.2 回歸結(jié)果

根據(jù)最小二乘法原理[13]，編寫Matlab代碼進(jìn)行非線性回歸，得到對(duì)應(yīng)本文地震峰值加速度PGA的擬合系數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差，上述公式代入回歸系數(shù)可寫為：

(2)

式中：ε滿足均值為0，標(biāo)準(zhǔn)差為0.497 6的正態(tài)分布。

圖1為不同主震震級(jí)對(duì)應(yīng)的?PGA隨場(chǎng)地剪切波速VS30變化的數(shù)學(xué)關(guān)系。從圖1可以看出，相對(duì)地震動(dòng)參數(shù)和主震矩震級(jí)之間呈正相關(guān)，符合系數(shù)b1取值的數(shù)學(xué)規(guī)律。

圖1 不同Mms對(duì)應(yīng)的?PGA隨VS30的變化Fig.1 Variation of ?PGA with VS30 corresponding to different Mms

圖2為不同余震震級(jí)對(duì)應(yīng)的?PGA隨場(chǎng)地剪切波速VS30變化的數(shù)學(xué)關(guān)系。從圖2可以看出，相對(duì)地震動(dòng)參數(shù)和主余震震級(jí)之比呈負(fù)相關(guān)，符合系數(shù)b2取值的數(shù)學(xué)規(guī)律。

圖2 不同?M對(duì)應(yīng)的?PGA隨VS30的變化Fig.2 Variation of ?PGA with VS30 corresponding to different ?M

圖3為?PGA隨場(chǎng)地剪切波速Dms變化的數(shù)學(xué)關(guān)系。從圖3可以看出，相對(duì)地震動(dòng)參數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)場(chǎng)地剪切波速之比呈正相關(guān)，與VS30呈負(fù)相關(guān)。

圖3 不同VS30對(duì)應(yīng)的?PGA隨Dms的變化Fig.3 Variation of ?PGA with Dmscorresponding to different VS30

圖4為不同主震震源距對(duì)應(yīng)的?PGA隨場(chǎng)地剪切波速VS30變化的數(shù)學(xué)關(guān)系。結(jié)合b4的值及圖4的結(jié)果可以看出，主震的震源距對(duì)?Y的影響很小，以VS30=300 m/s為例，當(dāng)震源距從30 km提高到120 km時(shí)，?Y的增加幅度僅為2%，變化較小。

圖4 不同Dms對(duì)應(yīng)的?PGA隨VS30的變化Fig.4 Variation of ?PGA with VS30 corresponding to different Dms

2.3 回歸結(jié)果合理性判定

為了驗(yàn)證本次非線性回歸的科學(xué)性和合理性，對(duì)本次回歸的數(shù)據(jù)和結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析。本文參考相關(guān)[14-15]研究，根據(jù)如下公式將所有的地震數(shù)據(jù)規(guī)范化：

ln(obsnor)=ln(obs)-ln(pre)+ln(prenor)

(3)

式中：obsnor是規(guī)范化后的統(tǒng)計(jì)值，obs是統(tǒng)計(jì)值，pre是根據(jù)實(shí)際地震動(dòng)數(shù)據(jù)的公式計(jì)算估計(jì)值，prenor是在標(biāo)準(zhǔn)條件下的公式計(jì)算估計(jì)值。

圖5、圖6和圖7為兩種標(biāo)準(zhǔn)條件下計(jì)算估計(jì)值和規(guī)范化統(tǒng)計(jì)值的統(tǒng)計(jì)圖，可以看出，在這兩種標(biāo)準(zhǔn)條件下，大部分計(jì)算估計(jì)值都在16%和84%虛線以內(nèi)。根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布理論可知，本文構(gòu)建的模型能較好地回歸出余震相對(duì)地震動(dòng)參數(shù)的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，從而說(shuō)明本文假定的正確性。

圖5 計(jì)算估計(jì)值和規(guī)范化統(tǒng)計(jì)值隨場(chǎng)地剪切波速變化關(guān)系的比較Fig.5 Comparison of prenor and obsnor with the variation of shear wave velocity

圖6 計(jì)算估計(jì)值和規(guī)范化統(tǒng)計(jì)值隨震源距變化關(guān)系的比較Fig.6 Comparison of prenor and obsnor with the variation of hypocentral distance

圖7 計(jì)算估計(jì)值和規(guī)范化統(tǒng)計(jì)值隨主余震震級(jí)比變化關(guān)系的比較Fig.7 Comparison of prenor and obsnor with the variation of magnitude ratio of main aftershocks

3 分析與對(duì)比

3.1 殘差分析

本文參考相關(guān)學(xué)者[12,16-17]采用的對(duì)數(shù)殘差理論驗(yàn)證所構(gòu)建的模型是否符合統(tǒng)計(jì)學(xué)規(guī)律，對(duì)數(shù)殘差為統(tǒng)計(jì)值的對(duì)數(shù)減去計(jì)算估計(jì)值的對(duì)數(shù)，如下列公式所示：

Re=ln(obs)-ln(pre)

(4)

式中：Re為對(duì)數(shù)殘差，obs為統(tǒng)計(jì)值，pre為計(jì)算估計(jì)值。

圖8分別為對(duì)數(shù)殘差與主震震級(jí)Mms、震級(jí)之比?M、場(chǎng)地剪切波速VS30和主震震源距Dms的關(guān)系。從圖8可以看出，當(dāng)主震震級(jí)Mms、震級(jí)之比?M和場(chǎng)地剪切波速VS30、主震震源距Dms變化時(shí)，事件間的殘差都均勻分布在零值附近，沒(méi)有出現(xiàn)相應(yīng)的趨勢(shì)和偏差，說(shuō)明本次預(yù)測(cè)結(jié)果和主震震級(jí)、主余震震級(jí)之比、場(chǎng)地剪切波速以及主震震源距之間相對(duì)無(wú)偏差。

圖8 對(duì)數(shù)殘差與主震震級(jí)Mms、相對(duì)震級(jí)?M、場(chǎng)地剪切波速VS30、主震震源距Dms的關(guān)系圖Fig.8 Relationship between Log Residuals and Mms，?M，VS30 and Dms

圖9 對(duì)數(shù)殘差的正態(tài)Q-Q散點(diǎn)圖Fig.9 Normal Q-Q scatter plot of Log Residuals

根據(jù)Abrahamson[18]和Jayaram等[19]的理論可知，對(duì)數(shù)殘差分布通常和正態(tài)分布存在某種聯(lián)系。圖9為對(duì)數(shù)殘差和標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的Q-Q散點(diǎn)圖，橫坐標(biāo)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布分位數(shù)，縱坐標(biāo)為規(guī)范化對(duì)數(shù)殘差分位數(shù)。所有的離散分位數(shù)據(jù)都可以近似看成一條斜率為1的直線。根據(jù)Q-Q散點(diǎn)圖的定義，當(dāng)離散分位數(shù)據(jù)近似為一條斜率為1的直線時(shí)，可以認(rèn)為兩個(gè)數(shù)據(jù)的分布規(guī)律一致,說(shuō)明本次規(guī)范化對(duì)數(shù)殘差和標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布屬于同一分布，與前人的研究[18-19]結(jié)果一致，且符合最小二乘法的計(jì)算假定。

3.2 與其他模型的比較

在現(xiàn)有的地震動(dòng)參數(shù)衰減關(guān)系中，選取精確度較高的AS2008和CY2008兩大統(tǒng)計(jì)模型與本文所構(gòu)建的模型進(jìn)行比較，分析其聯(lián)系和差異。根據(jù)Chi-Chi地震參數(shù)，本文采用Mms=7.2，Mas=5.9，Dms=90 km，VS30=360 m/s；Mms=7.6，Mas=6.2，Dms=30 km，VS30=250 m/s作為標(biāo)準(zhǔn)條件。圖10為兩種標(biāo)準(zhǔn)條件下不同模型計(jì)算的?PGA隨VS30變化的數(shù)學(xué)關(guān)系。根據(jù)圖10可知，VS30在150～220 m/s時(shí)，本文構(gòu)建的模型和CY2008模型的回歸相似度較高，說(shuō)明本文模型在VS30取值較小時(shí)可以展現(xiàn)合適的回歸結(jié)果；當(dāng)VS30從220 m/s增加至750 m/s時(shí)，本文模型和AS2008模型的回歸相似度十分接近，最大誤差僅為5%，說(shuō)明本文模型在VS30取值較大時(shí)能更好地體現(xiàn)擬合性。此外，通過(guò)比較分析可知，本文所構(gòu)建的模型能在場(chǎng)地剪切波速變化的情況下保證估算值的偏大性，在工程應(yīng)用中較為安全。

圖10 不同預(yù)測(cè)模型的比較圖Fig.10 Comparison of different prediction models

4 討論與結(jié)論

了解主震和余震地震動(dòng)參數(shù)及地震參數(shù)之間的關(guān)系，可以在地震危險(xiǎn)性分析中使用主震的地震參數(shù)數(shù)據(jù)計(jì)算出余震相對(duì)地震動(dòng)強(qiáng)度，為地震危險(xiǎn)性分析提供依據(jù)。前人主要對(duì)主震的地震參數(shù)進(jìn)行分析[1-10,12,16-17]，大部分學(xué)者僅僅將余震作為一個(gè)固定的常數(shù)納入衰減關(guān)系，并沒(méi)有考慮余震具體的地震參數(shù)。因此，將余震地震參數(shù)納入衰減方程，分析和研究余震相對(duì)地震動(dòng)強(qiáng)度，有利于提高預(yù)測(cè)方程的精度，對(duì)地震危險(xiǎn)性分析具有重要意義。本文基于NGA-West2中學(xué)者提出的模型，將余震地震參數(shù)納入考慮，研究了余震相對(duì)地震動(dòng)參數(shù)和地震參數(shù)及場(chǎng)地參數(shù)之間的統(tǒng)計(jì)規(guī)律。從PEER數(shù)據(jù)庫(kù)中選擇752組主余震地震動(dòng)序列，歸納建立衰減關(guān)系，通過(guò)多元非線性回歸方法回歸出了余震相對(duì)地震動(dòng)參數(shù)的變化規(guī)律，并得出以下結(jié)論：

(1)相對(duì)地震動(dòng)參數(shù)和主震矩震級(jí)及標(biāo)準(zhǔn)場(chǎng)地剪切波速之比呈正相關(guān)，和主余震震級(jí)及場(chǎng)地剪切波速之比呈負(fù)相關(guān)，和主震震源距Dms之間的關(guān)系較小。

(2)本文模型的殘差與震級(jí)之比?M、場(chǎng)地剪切波速VS30、主震震源距Dms無(wú)關(guān)。根據(jù)Q-Q Plot的表現(xiàn)來(lái)看，相對(duì)地震動(dòng)參數(shù)服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布。

(3)通過(guò)與AS2008及CY2008模型進(jìn)行比較可知，本文模型的預(yù)測(cè)值在VS30較小時(shí)和CY2008模型的預(yù)測(cè)值較為接近，在VS30取值較大時(shí)和AS2008模型的最大誤差僅為5%，說(shuō)明本文的回歸模型表現(xiàn)較好。