歐洲大學(xué)數(shù)學(xué)教育研究發(fā)展趨勢
——基于第十屆歐洲數(shù)學(xué)教育研究學(xué)會(huì)大會(huì)的分析

◎王萍萍 嚴(yán)亞強(qiáng) (.蘇州大學(xué)東吳學(xué)院,江蘇 蘇州 5000;.蘇州大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,江蘇 蘇州 5000)

數(shù)學(xué)教育是一個(gè)年輕而蓬勃的研究領(lǐng)域，有學(xué)者甚至將其比作尚在襁褓中的嬰兒.相比于數(shù)學(xué)教育，大學(xué)數(shù)學(xué)教育研究則更為年輕,很多研究都是在20世紀(jì)90年代后才出現(xiàn)的.在Tall等人《高等數(shù)學(xué)思維》這一標(biāo)志性著作出版之后，大學(xué)數(shù)學(xué)教育研究領(lǐng)域就成了一座“富礦”，不斷吸引著學(xué)者們多角度、多層次地挖掘與開發(fā).

歐洲數(shù)學(xué)教育研究學(xué)會(huì)大會(huì)(以下簡稱CERME)由歐洲數(shù)學(xué)教育研究學(xué)會(huì)主辦.該學(xué)會(huì)于2010年成為國際數(shù)學(xué)教育委員會(huì)(ICMI)附屬的跨國數(shù)學(xué)教育組織之一,而CERME是其規(guī)模最大且影響力最大的活動(dòng)形式.“大學(xué)數(shù)學(xué)教育”作為大會(huì)的主要專題，近些年接收的論文數(shù)量大幅提升，關(guān)注的課題愈加廣泛，研究愈加細(xì)致.以下對這些研究進(jìn)行分析，提煉其中的熱點(diǎn)和趨勢，以期對我國大學(xué)數(shù)學(xué)教育研究與實(shí)踐有所啟示.

一、近二十年歐洲大學(xué)數(shù)學(xué)教育研究概述

“大學(xué)數(shù)學(xué)教育”從CERME 1起就是大會(huì)的主要專題之一.某學(xué)者回顧大學(xué)數(shù)學(xué)教育在CERME中的變化發(fā)展歷程時(shí),將CERME 1-3稱為該專題的“早期研究時(shí)代”,CERME 4-6稱為“高等數(shù)學(xué)思維時(shí)期”,而從CERME 7開始，“大學(xué)數(shù)學(xué)教育時(shí)期”正式來臨.到了CERME 10時(shí)，該專題接收的論文數(shù)是CERME 7時(shí)的兩倍，且在所有專題中接收的論文數(shù)最多.可見，大學(xué)數(shù)學(xué)教育研究越來越受到歐洲數(shù)學(xué)教育研究者的重視，該領(lǐng)域也越發(fā)展現(xiàn)出活力.

二、歐洲大學(xué)數(shù)學(xué)教育研究發(fā)展趨勢

CERME 10正值大會(huì)舉辦二十周年，吸引了世界各國眾多數(shù)學(xué)教育學(xué)者踴躍參與，此次會(huì)議對定義和塑造未來幾十年歐洲數(shù)學(xué)的教與學(xué)起著重要的推動(dòng)和引領(lǐng)作用.CERME 10中“大學(xué)數(shù)學(xué)教育”專題的論文具有重要的研究價(jià)值，研究方向和方法代表著歐洲大學(xué)數(shù)學(xué)教育研究的最新發(fā)展趨勢.

1.重視中學(xué)與大學(xué)數(shù)學(xué)的銜接與過渡問題

中學(xué)與大學(xué)數(shù)學(xué)的銜接與過渡已經(jīng)成為大學(xué)數(shù)學(xué)教育研究領(lǐng)域的一個(gè)熱點(diǎn)問題.希臘雅典大學(xué)學(xué)者的研究描繪了一名數(shù)學(xué)專業(yè)一年級學(xué)生兩個(gè)學(xué)期完成中學(xué)向大學(xué)數(shù)學(xué)過渡的歷程.研究者將其視為“人生大事”，并將此過渡歷程分為三個(gè)階段：即將從中學(xué)畢業(yè)的分離階段,離開中學(xué)到大學(xué)初始的閾限階段,以及融入大學(xué)的結(jié)合階段.研究者分別在三個(gè)不同階段對學(xué)生進(jìn)行訪談,聚焦社交、學(xué)術(shù)和數(shù)學(xué)內(nèi)容三個(gè)維度在不同階段上的發(fā)展變化,以及社交和學(xué)術(shù)如何相互作用以完成數(shù)學(xué)內(nèi)容維度上后兩個(gè)階段的過渡.

意大利米蘭理工大學(xué)的學(xué)者則聚焦大一新生預(yù)備課程的課堂筆記，對比學(xué)生在一道熟悉的程序性問題和一道不熟悉的陳述性問題的記錄情況(記什么、怎么記)，了解學(xué)生過渡階段不同的學(xué)習(xí)層次、狀況和習(xí)慣.德國明斯特大學(xué)的學(xué)者則聚焦大一新生在預(yù)備課程前后的自我效能感的變化情況，由于學(xué)生自我效能感通常與毅力、堅(jiān)持不懈及成功相關(guān)，因此這一調(diào)查結(jié)果可以在一定程度上反映學(xué)生的過渡情況.

還有學(xué)者考察大學(xué)教師為幫助新生順利過渡進(jìn)行的嘗試.英國東安格利亞大學(xué)的學(xué)者關(guān)注數(shù)學(xué)教師為防止一年級學(xué)生產(chǎn)生交流認(rèn)知沖突,在教學(xué)評價(jià)上采用的策略.研究者使用斯法德有關(guān)數(shù)學(xué)話語的新術(shù)語“交流認(rèn)知沖突”來表示本研究中數(shù)學(xué)專業(yè)一年級學(xué)生在數(shù)論學(xué)習(xí)中對“變量”的錯(cuò)誤認(rèn)知和含糊不清的理解,而這種沖突通常是由“變量”在不同數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的多種表征帶來的.研究者通過教師訪談和試題分析,發(fā)現(xiàn)教師為避免學(xué)生用中學(xué)時(shí)對“變量”的認(rèn)知來理解數(shù)論中的“變量”,在試題的編排次序、試題敘述的語言上都進(jìn)行了一定的暗示,教師的這些努力都旨在促進(jìn)學(xué)生從中學(xué)數(shù)學(xué)向大學(xué)數(shù)學(xué)的過渡.

2.重視大學(xué)數(shù)學(xué)教師的教學(xué)實(shí)踐研究

教師是課堂教學(xué)最關(guān)鍵的因素，許多研究者對大學(xué)數(shù)學(xué)教師的教學(xué)展開探討.愛爾蘭國立都柏林大學(xué)的學(xué)者引用美國數(shù)學(xué)家匈菲爾德的一句話概述自己的研究內(nèi)容：“你看到的和沒看到的,決定了你做的和沒做的”,聚焦教學(xué)中的“決策點(diǎn)”,即一節(jié)課中需要教師做出教學(xué)決策的重要時(shí)機(jī).文中分析了決策點(diǎn)對教學(xué)的重要性,指出教師擁有的資源(主要指知識)、取向(包括性情、信念、價(jià)值觀、體驗(yàn)和愛好)和目標(biāo)決定了教師做出的教學(xué)決策.本文的三位作者對自己在數(shù)學(xué)教學(xué)中有關(guān)決策點(diǎn)的135條教學(xué)記錄進(jìn)行了分析,從中歸納出8種類型的決策點(diǎn)和7種引發(fā)決策點(diǎn)的原因.

美國加州大學(xué)伯克利分校的學(xué)者也探討了相關(guān)問題，研究者將教師干預(yù)學(xué)生的決策瞬間比作爵士樂的即興演出，并利用匈菲爾德的TRU數(shù)學(xué)框架對一位教師的教學(xué)干預(yù)進(jìn)行分析與評價(jià).TRU課堂評價(jià)框架包含五個(gè)維度：數(shù)學(xué)內(nèi)容、認(rèn)知需求、學(xué)生的學(xué)習(xí)機(jī)會(huì)、學(xué)生的身份認(rèn)同、應(yīng)用評價(jià).該評價(jià)框架最新版本和層次劃分如表1所示.研究者指出TRU課堂評價(jià)框架可以發(fā)展教師的教學(xué)并加強(qiáng)教學(xué)反思，是促進(jìn)教師專業(yè)發(fā)展的有效工具.

表1 TRU數(shù)學(xué)課堂評價(jià)框架的五個(gè)維度

新西蘭奧克蘭大學(xué)的學(xué)者通過教師訪談，分析和比較了大學(xué)教師的教學(xué)情況.研究描述了講授微積分、線性代數(shù)和復(fù)分析課程的三名經(jīng)驗(yàn)豐富的大學(xué)講師對“根”的不同教學(xué)理解,并分析了引起這些差異的教學(xué)因素,如所教課程傳達(dá)的數(shù)學(xué)理念不同,教材所述方法不同,以及講師對學(xué)生進(jìn)一步學(xué)術(shù)需求的考慮等.研究者指出,三位講師傳授給學(xué)生的知識受到各自所教課程的數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)性的影響,他們彼此之間缺乏對話，使得學(xué)生對知識的理解受限于教材內(nèi)容且不全面.研究者呼吁應(yīng)發(fā)展大學(xué)數(shù)學(xué)教師的教學(xué)知識，并指出討論和交流有助于大學(xué)數(shù)學(xué)教師對數(shù)學(xué)和教學(xué)的理解，并建議編制共同認(rèn)可的定義和概念手冊，幫助學(xué)生建立連貫統(tǒng)一的數(shù)學(xué)觀念.

3.關(guān)注大學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情況

了解大學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情況是大學(xué)教師決定教什么、怎么教、如何改進(jìn)教學(xué)的基礎(chǔ).挪威北極大學(xué)的學(xué)者調(diào)查了自己授課的59名工科一年級學(xué)生如何學(xué)習(xí)線性代數(shù),以及如何檢驗(yàn)自己的學(xué)習(xí)效果.研究者使用扎根理論,將學(xué)生的回答分為程序型方法和概念型方法兩類.程序型方法指“使用和操作數(shù)學(xué)技能,如計(jì)算、規(guī)則、公式、算法和符號等”；概念型方法指“通過解釋和應(yīng)用數(shù)學(xué)情境中的概念,通過在語言、視覺(圖形)和形式數(shù)學(xué)之間進(jìn)行轉(zhuǎn)換和連接等表明對概念的理解”.調(diào)查顯示,學(xué)生在學(xué)習(xí)線性代數(shù)時(shí)更強(qiáng)調(diào)概念型方法，而自己是否學(xué)會(huì)知識則通過解題,即程序型方法來檢驗(yàn).

數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)也是研究者的關(guān)注對象，如西英格蘭大學(xué)的學(xué)者調(diào)查數(shù)學(xué)專業(yè)二年級學(xué)生在“群論”第一學(xué)期學(xué)習(xí)中的體驗(yàn).數(shù)學(xué)教學(xué)研究中，以抽象代數(shù)，尤其是群論為對象的研究并不多見，主要關(guān)注學(xué)生的認(rèn)知過程和錯(cuò)誤、抽象過程中遇到的困難、學(xué)生對語義縮寫和符號的反應(yīng)等.本文研究者以斯法德的交流認(rèn)知理論為分析框架，考察其他數(shù)學(xué)領(lǐng)域(如集合論)與群論間交流認(rèn)知沖突的存在性.通過分析學(xué)生的課程作業(yè)和訪談等，研究者發(fā)現(xiàn)，在處理集合、群、子群及其元素時(shí)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是不完善的.此外，研究者還發(fā)現(xiàn)即便學(xué)生不能完全掌握某個(gè)數(shù)學(xué)概念，也能完成與此相關(guān)的數(shù)學(xué)題的證明.

眾多微積分的教學(xué)研究都表明，極限概念無論在高中還是大學(xué)都是一個(gè)難點(diǎn)，它成為學(xué)生建立微積分基礎(chǔ)、從具體的初等數(shù)學(xué)思維向抽象的高等數(shù)學(xué)思維過渡的一大障礙.瑞典斯德哥爾摩大學(xué)的學(xué)者采用文獻(xiàn)分析法，將學(xué)生學(xué)習(xí)極限概念的障礙分為三種類型：與極限的數(shù)學(xué)根源有關(guān)的認(rèn)識論障礙、與極限的抽象性質(zhì)有關(guān)的認(rèn)知障礙，以及呈現(xiàn)給學(xué)生的教學(xué)障礙.研究者指出這三種形式的障礙彼此聯(lián)系，這些障礙源可以通過教學(xué)得以消除.

4.關(guān)注大學(xué)數(shù)學(xué)教與學(xué)的新方式

眾所周知,高等教育正在經(jīng)歷著一場向虛擬教學(xué)方式轉(zhuǎn)變的過程,有數(shù)據(jù)顯示,2013年全球有超過四千萬高等學(xué)院學(xué)生接受在線教育,而到2017年這個(gè)數(shù)據(jù)已增至2013年的三倍.美國紐約市立大學(xué)的學(xué)者就探討了在線數(shù)學(xué)教育的有效性.研究者探討了學(xué)生選擇在線數(shù)學(xué)課程的原因、選擇在線和面授課程學(xué)習(xí)成績的差異等.調(diào)查顯示,時(shí)間限制、與自身性格或?qū)W習(xí)風(fēng)格相符是學(xué)生選擇在線課程最主要的原因；而借助紐約市立大學(xué)數(shù)據(jù)庫,研究者發(fā)現(xiàn)選擇兩類不同授課方式的學(xué)生在STEM課程的通過率上沒有顯著差異.研究還顯示在線課程會(huì)影響學(xué)生參與數(shù)學(xué)課程的模式(內(nèi)容和順序等).

英國學(xué)者對201名工科大學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中使用的工具進(jìn)行了調(diào)查,得到七種類型的工具,分別是“官方”的數(shù)學(xué)教材、學(xué)生的課堂筆記、學(xué)校網(wǎng)站上的共享資源、Wolfram Alpha計(jì)算引擎、與教師的交流、與同學(xué)的交流以及其他網(wǎng)絡(luò)資源等.顯而易見,現(xiàn)代信息和通信技術(shù)的發(fā)展正在影響和改變著大學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式.

除上述四方面研究外，研究者們還對其他問題展開了探討，如德國帕德博恩大學(xué)的學(xué)者研究了一個(gè)小型博士生項(xiàng)目中數(shù)學(xué)助教在數(shù)學(xué)輔導(dǎo)課程中使用的任務(wù)類型；法國布列塔尼南大學(xué)的學(xué)者采用問卷和訪談方法調(diào)查237名法國工程師工作中的數(shù)學(xué)培訓(xùn)和數(shù)學(xué)需求；挪威阿格德爾大學(xué)的學(xué)者展示了生物系學(xué)生通過大學(xué)數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)在數(shù)學(xué)觀念和數(shù)學(xué)能力上的變化；塞爾維亞大學(xué)的學(xué)者通過對一名數(shù)學(xué)家的推理和證明進(jìn)行個(gè)案研究，從中獲得數(shù)學(xué)教育上的啟示.該專題多樣化的研究內(nèi)容展現(xiàn)出大學(xué)數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域廣闊的探索空間.

三、總結(jié)與啟示

上述研究至少反映出歐洲大學(xué)數(shù)學(xué)教育研究的以下四個(gè)方面特征：

一是聚焦課堂.課堂始終是教育研究的初始地與必然回歸，專題中的研究也充分體現(xiàn)了這一點(diǎn).特別地，許多研究都是大學(xué)數(shù)學(xué)教師身兼教學(xué)者和研究者進(jìn)行的探究，這樣的研究更能引發(fā)教師產(chǎn)生共鳴，也更能深刻反映并解決教學(xué)實(shí)際問題.

二是對數(shù)學(xué)專業(yè)師生的關(guān)注度提升.以往，關(guān)于非數(shù)學(xué)專業(yè)的研究比較多，關(guān)于數(shù)學(xué)專業(yè)的研究比較少.CERME 10中有研究者關(guān)注數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生從中學(xué)到大學(xué)數(shù)學(xué)的過渡、數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生對分析及群論中概念的理解情況，關(guān)注教授代數(shù)拓?fù)湔n程的數(shù)學(xué)教授的教學(xué)日志、數(shù)學(xué)家在教學(xué)中如何進(jìn)行猜想和證明、數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育者合作教數(shù)學(xué)的項(xiàng)目等，這些研究在一定程度上反映出數(shù)學(xué)專業(yè)領(lǐng)域的教學(xué)日益受到研究者關(guān)注.

三是重視中學(xué)與大學(xué)數(shù)學(xué)的銜接與過渡.研究者圍繞此課題進(jìn)行多層次探討，如調(diào)查大學(xué)預(yù)備課程中學(xué)生的變化、大一學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的交流認(rèn)知沖突、追蹤學(xué)生大一年級過渡過程的發(fā)展變化、關(guān)注教師為幫助學(xué)生過渡采用的教學(xué)和評價(jià)實(shí)踐等，這些研究為更深入了解學(xué)生過渡中遇到的困難及制定可行的教學(xué)策略提供了豐富的素材.

四是關(guān)注大學(xué)數(shù)學(xué)教與學(xué)的新方式.科學(xué)技術(shù)的發(fā)展大大改變了現(xiàn)有的大學(xué)數(shù)學(xué)教與學(xué)方式，由此帶來的一系列相關(guān)課題，如教學(xué)技術(shù)的發(fā)展、成效、評價(jià)方式等都引起了研究者的關(guān)注與重視.

大學(xué)數(shù)學(xué)教育已經(jīng)成為國內(nèi)外數(shù)學(xué)教育研究的一個(gè)重要課題,我國學(xué)者也進(jìn)行了廣泛而深入的研究.如中學(xué)與大學(xué)數(shù)學(xué)的銜接問題上,有的學(xué)者對高中與大學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)對比，提出若干大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中存在的問題；有的學(xué)者調(diào)查分析高中增加與刪減內(nèi)容與學(xué)生總體適應(yīng)性高低的關(guān)系;還有的學(xué)者從大學(xué)數(shù)學(xué)教材的編制角度提出銜接建議.同時(shí)，有些學(xué)者關(guān)注大學(xué)數(shù)學(xué)課程的設(shè)置，如介紹了自己所在大學(xué)的數(shù)學(xué)課程改革及效果、提出大學(xué)數(shù)學(xué)第一和第二課堂進(jìn)行研究性學(xué)習(xí)的理念、對大學(xué)數(shù)學(xué)文化課程的建設(shè)與教學(xué)進(jìn)行了探索等.近年來，網(wǎng)絡(luò)教學(xué)平臺(tái)構(gòu)建、線上線下結(jié)合的大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)方式也受到了學(xué)者的大量關(guān)注.此外，大學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)方式、評價(jià)方式,大學(xué)生的學(xué)習(xí)方式、對數(shù)學(xué)概念的理解等也是學(xué)者關(guān)注的對象.整體上，就大學(xué)數(shù)學(xué)課程與教學(xué)而言，目前已有的研究以非數(shù)學(xué)專業(yè)為主，而數(shù)學(xué)專業(yè)相對較少；關(guān)注本科生較多，而關(guān)注更高層次的研究生培養(yǎng)、職場數(shù)學(xué)培訓(xùn)及其過渡問題的不多，顯然這些課題都有待更深入探索.