小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的數(shù)形結(jié)合

◎盧 浩 (懷遠(yuǎn)縣唐集鎮(zhèn)金輪小學(xué),安徽 蚌埠 233400)

在小學(xué)階段，數(shù)學(xué)是一門以客觀理性思維為要求的學(xué)科，因此教師必須在數(shù)學(xué)課堂上培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維.其中，數(shù)形結(jié)合思想是少數(shù)適合兒童接觸的數(shù)學(xué)思想之一，數(shù)形結(jié)合是通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學(xué)問題的一種思想方法，數(shù)形結(jié)合思想也是一種常用的解決問題的思路.在小學(xué)數(shù)學(xué)中充分發(fā)揮數(shù)形結(jié)合思想，可以將數(shù)學(xué)的抽象部分具體化、形象化，幫助學(xué)生建構(gòu)清晰的直觀概念.然而，在實際教學(xué)中，數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用面臨諸多問題.下面筆者結(jié)合自己的教學(xué)實踐，談?wù)勗谛W(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中如何應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想.

一、數(shù)形結(jié)合的概述

運算能力、空間想象能力、邏輯思維能力是中小學(xué)生數(shù)學(xué)能力的基本內(nèi)容.運算能力離不開數(shù)和數(shù)量關(guān)系，空間想象能力與圖形有關(guān)，數(shù)與形的對應(yīng)有利于提升學(xué)生的邏輯思維能力.

1.數(shù)形結(jié)合的內(nèi)容分類

教材涉及的數(shù)形結(jié)合內(nèi)容大致分類如下.(1)數(shù)的認(rèn)識.如：借助數(shù)軸、直尺、幾何圖形、統(tǒng)計圖等認(rèn)識分?jǐn)?shù)、小數(shù)，用幾何模型表示計數(shù)單位等，用百數(shù)表理解數(shù)的排列規(guī)律等.以數(shù)軸為例，數(shù)軸是數(shù)形結(jié)合最基本的載體，學(xué)生可結(jié)合對數(shù)的認(rèn)識體會數(shù)軸上的點與數(shù)的對應(yīng)關(guān)系.數(shù)軸是數(shù)形結(jié)合思想方法最基礎(chǔ)的滲透工具.(2)計算算理.如：有余數(shù)除法、筆算乘法、分?jǐn)?shù)的加減乘除計算等.(3)運算定律.如：加法乘法運算律、乘法口訣、完全平方和等.(4)認(rèn)識圖形.如：平面圖形、幾何體周長面積體積的計算公式，面積單位的轉(zhuǎn)化，多邊形內(nèi)角和的計算等.(5)函數(shù)思想.如：用數(shù)對表示平面圖形中點的位置，初步體會數(shù)與點的對應(yīng)關(guān)系；利用正反比例關(guān)系繪制圖像，理解兩個變量的變化規(guī)律與趨勢等.(6)典型問題.如借助線段圖解決問題等，利用圖形描述和分析問題、理解數(shù)學(xué)問題.利用圖形描述和分析問題的最直接方式是用線段圖或示意圖把抽象的數(shù)學(xué)問題直觀的地表示出來，使條件與條件、條件與問題的關(guān)系等準(zhǔn)確地呈現(xiàn)出來.(7)統(tǒng)計圖表.如：條形、折線、扇形統(tǒng)計圖等.(8)探尋規(guī)律.尋找數(shù)與形的變化規(guī)律.如：和的奇偶性、探索圖形、數(shù)與形、等比分?jǐn)?shù)求和等.

2.數(shù)形結(jié)合的內(nèi)涵界定

數(shù)形結(jié)合與幾何直觀存在怎樣的關(guān)系？兩者之間有重疊、有不同.在涉及的對象方面，幾何直觀的“形”包含數(shù)形結(jié)合的“形”.幾何直觀是借助圖形展開的思維活動，直觀思維是核心.在應(yīng)用目標(biāo)指向上,二者都是分析、解決問題的手段.幾何直觀指向借助圖形展開的思維活動，能使學(xué)生理清解決問題的思路.數(shù)形結(jié)合指向解題結(jié)果，有“解題化”傾向.《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》中指出，“幾何直觀”一詞“主要是指利用圖形描述和分析問題”.數(shù)形結(jié)合一般指數(shù)學(xué)研究的兩類對象(數(shù)和形)之間的關(guān)系，數(shù)形結(jié)合思想是通過數(shù)和形之間的對應(yīng)關(guān)系和二者的相互轉(zhuǎn)化來解決問題的思想方法.人們一般把小學(xué)數(shù)學(xué)里利用圖形(幾何圖形，如線段圖、平面圖形或獨立圖形等)來描述和分析問題的方法稱為幾何直觀，把利用數(shù)和形之間的關(guān)系(如數(shù)軸、數(shù)對確定位置或正反比例圖像)來分析和解決問題的方法稱為數(shù)形結(jié)合.其實，很難說前者不是數(shù)形結(jié)合，后者不是幾何直觀.

基于以上認(rèn)識，我們可以將小學(xué)數(shù)學(xué)數(shù)形結(jié)合內(nèi)涵界定如下：(1)從廣義層面來說，可將幾何直觀看作數(shù)形結(jié)合思想的初級階段，看作滲透數(shù)形結(jié)合思想的嘗試；(2)數(shù)形結(jié)合研究的基本對象是數(shù)與形，教師要用一定的方法把“數(shù)”和“形”統(tǒng)整起來，借助“形”理解“數(shù)”，運用“數(shù)”或“式”準(zhǔn)確表達(dá)“形”的特征，從而解決問題；(3)數(shù)形結(jié)合研究的基本方法是把數(shù)學(xué)問題中的運算、數(shù)量關(guān)系等與幾何圖形結(jié)合起來進(jìn)行思考.

3.數(shù)形結(jié)合教學(xué)的價值取向

教師在小學(xué)數(shù)學(xué)課堂中運用數(shù)形結(jié)合的思想方法進(jìn)行教學(xué)，可以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維；通過從不同的角度分析問題，培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性和獨特性.

二、數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用意義

1.數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化

數(shù)形結(jié)合思想，顧名思義，就是在解決實際數(shù)學(xué)問題時將數(shù)與形有機(jī)結(jié)合起來，實現(xiàn)數(shù)與形之間的相互轉(zhuǎn)化.通過數(shù)與形的相互印證、相互補(bǔ)充，學(xué)生能更加高效、準(zhǔn)確地解決一些數(shù)學(xué)問題.運用這一思想解決代數(shù)問題時，教師要將抽象繁雜的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)換成直觀形象的圖形呈現(xiàn)給學(xué)生，使一些數(shù)學(xué)問題變得更加生動和具體，從而幫助學(xué)生實現(xiàn)高效學(xué)習(xí).

數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想不僅可以用于將代數(shù)問題中的抽象概念具體化，還可以用于量化幾何問題中的空間概念.在解決代數(shù)問題時，教師需要有意識地引導(dǎo)學(xué)生將數(shù)字轉(zhuǎn)化為圖形，將題干給出的條件具體化.而在幾何問題中，教師應(yīng)要求學(xué)生將圖形與數(shù)字(或特定的公式)結(jié)合起來，將已知的圖形條件轉(zhuǎn)化為數(shù)字關(guān)系.例如，將三角形的周長轉(zhuǎn)化為三條邊長度之和，從而量化幾何問題中的空間概念，提高解題效率.

2.數(shù)學(xué)規(guī)律形象化

在小學(xué)階段，數(shù)學(xué)是一門邏輯性較強(qiáng)的學(xué)科，因此學(xué)生對各種數(shù)學(xué)規(guī)律的熟悉程度在一定程度上就代表了學(xué)生對數(shù)學(xué)這門學(xué)科的整體掌握情況.故而數(shù)學(xué)規(guī)律對小學(xué)階段的數(shù)學(xué)教學(xué)而言格外重要.那么，教師該如何在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)過程中引導(dǎo)學(xué)生更好地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)規(guī)律呢？筆者在此就不得不強(qiáng)調(diào)數(shù)形結(jié)合的重要性.以小學(xué)數(shù)學(xué)中“方向與位置”這一知識點的學(xué)習(xí)為例，在筆者看來，多數(shù)學(xué)生并不具備學(xué)習(xí)這一部分知識所需的方向感及空間想象力，然而這一點并沒有引起一些教師足夠的重視，他們更多時候只是照本宣科，并不能夠使學(xué)生準(zhǔn)確地理解這部分知識，常常會導(dǎo)致學(xué)生一頭霧水.然而，數(shù)形結(jié)合思想能很好地解決這一問題.為了避免教學(xué)過程中出現(xiàn)抽象性問題，教師可以引導(dǎo)學(xué)生將自己熟悉的建筑物的位置或方位口述出來或把校園及周邊的村莊、道路等以平面簡圖的形式畫下來并標(biāo)出標(biāo)志性建筑物的名稱，口述建筑物的方位(如朝南的大門、西邊的操場、東邊的教學(xué)樓等).如此一來，學(xué)生通過繪圖、講述等方式，練習(xí)表達(dá)建筑物的具體方向與位置，通過數(shù)形結(jié)合有效掌握“方向與位置”這一數(shù)學(xué)知識點.

3.降低計算難度

在小學(xué)階段，數(shù)學(xué)計算可謂重中之重，其也是學(xué)生運用所學(xué)知識解決實際問題的基礎(chǔ).但是，學(xué)生常常感到數(shù)學(xué)計算是一大攔路虎.在筆者看來，將數(shù)形結(jié)合思想運用于數(shù)學(xué)計算中，可以大大降低數(shù)學(xué)計算的難度，同時有效提升學(xué)生解決綜合問題的能力.例如，在教學(xué)“長方體與正方體”時就可以運用數(shù)形結(jié)合思想.教師在上課前用硬紙板制作出一個長方體和一個正方體模型并向?qū)W生展示，然后將模型展開，利用長方形、正方形的面積公式對它們的每一個面進(jìn)行計算，從而獲得正方體與長方體的面積.這樣計算就被簡化了，學(xué)生能快速、準(zhǔn)確地掌握這一知識點.

三、數(shù)形結(jié)合思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的運用舉例

在實際的教學(xué)過程中，教師可引導(dǎo)學(xué)生通過在紙上畫圖形，簡單地還原出題目中的情景，以解決問題.

分析：上述例題是小學(xué)階段典型的“數(shù)”問題，即我們常說的代數(shù)問題.對于剛結(jié)束學(xué)前教育、尚未建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)思維的小學(xué)生而言，想通過數(shù)字運算來解決此類問題是很難的.但是，如果教師教會學(xué)生用將“數(shù)”轉(zhuǎn)化為“形”來思考，那么學(xué)生就能很容易地解決這一問題.因此，在此類問題的教學(xué)中，教師要有意識地培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想.以上述代數(shù)問題為例，在實際的教學(xué)過程中，教師可引導(dǎo)學(xué)生通過在紙上畫圖形簡單地還原出題目中的情景.畫一個正方形表示小紅同學(xué)，畫一個圓代表一位同學(xué)，先從左往右畫，第一個位置畫圓，第二個位置畫正方形，再從右往左畫圓，直到正方形成為第三個圖形.這樣便可直觀地再現(xiàn)題干中描述的情景，學(xué)生能輕易地得出答案.由此可見，數(shù)形結(jié)合的思想不但有助于將抽象的問題具體化，而且能培養(yǎng)學(xué)生的思考能力，幫助學(xué)生探索出更多新穎的解題方式.

對于幾何圖形的計算問題，在實際教學(xué)過程中，教師要有意識地將“數(shù)”的相關(guān)概念引入幾何問題中，一步步引導(dǎo)學(xué)生將數(shù)字與圖形結(jié)合在一起，即數(shù)與形結(jié)合.

看這樣一道例題：現(xiàn)有一個直角三角形，兩條直角邊的長分別是 3 cm、4 cm，斜邊長是5 cm.請求出該三角形的面積及周長.

分析：事實上，在使用數(shù)形結(jié)合思想解決數(shù)學(xué)問題時，不僅可以如前文一樣利用圖形來具體化數(shù)字，還可以用數(shù)字量化圖形，這也是數(shù)形結(jié)合在數(shù)學(xué)問題中的運用方法之一，這種“逆向使用”在幾何問題中尤為重要.在上例中，求三角形的周長時還可以用直尺量，但是做所有求面積的題目時只靠眼睛觀察或直尺測量是不行的.因此在教學(xué)時，教師就要有數(shù)形結(jié)合的意識，將“數(shù)”的相關(guān)概念引入幾何問題，一步步引導(dǎo)學(xué)生將數(shù)字與圖形結(jié)合在一起，讓學(xué)生知道三角形的周長等于所有邊長之和，三角形的面積可通過底和高的乘積再除以2來求得，最后將具體的數(shù)字代入公式，即可做到數(shù)與形相結(jié)合.

四、數(shù)形結(jié)合要注意的問題

1.提高畫圖水平

在運用數(shù)形結(jié)合思想的過程中，教師在短時間內(nèi)畫出特定的圖形，這就對教師的繪畫水平有一定的要求.一些數(shù)學(xué)專業(yè)素養(yǎng)極高的教師在繪畫方面的能力有待提高.隨著當(dāng)今社會科技的快速發(fā)展，多媒體逐漸廣泛應(yīng)用于教學(xué)活動中，甚至在教學(xué)過程中替代一部分板書，但是多媒體不能完全取代教師板書.因此，在運用數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行教學(xué)的過程中，一些教師的繪畫水平較低可以說是現(xiàn)存的問題之一.

2.方法的運用

處于小學(xué)階段的學(xué)生對知識點的歸納和總結(jié)能力不足，同時缺乏總結(jié)意識.這導(dǎo)致學(xué)生在遇到可以用數(shù)形結(jié)合思想解答的題目時，可能一時間無法想到使用該方法.這和學(xué)生的做題量較小及數(shù)學(xué)思維不夠系統(tǒng)有關(guān)，教師要引導(dǎo)和提醒學(xué)生用數(shù)形結(jié)合解決相關(guān)的問題.一些教師不能提醒是數(shù)形結(jié)合在小學(xué)數(shù)學(xué)教育過程中應(yīng)用存在的問題之一.

綜上所示，高校大學(xué)生自我效能感與志愿、基層服務(wù)動機(jī)呈相關(guān)性。自我效能感越高越能激發(fā)高校大學(xué)生的志愿和基層服務(wù)動機(jī)，進(jìn)而將志愿和基層行為付諸實際行動，在個人自信心、榮譽感、自豪感在志愿和基層活動中可獲得滿足，這種被滿足感能夠激發(fā)和提升了自我效能感，進(jìn)而產(chǎn)生積極正面的引導(dǎo)和良心循環(huán)。自我效能感與志愿、基層動機(jī)之間起到相互促進(jìn)的作用，因而引導(dǎo)高校大學(xué)生進(jìn)行志愿與基層服務(wù)時，可以從滿足其自信能力、榮譽感等方面入手，從而提高其參與志愿和基層服務(wù)的積極性。

3.無相關(guān)教材可供參考

一般地，數(shù)形結(jié)合這一思想在初中階段才被系統(tǒng)地運用于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí).事實上，很多學(xué)生早在小學(xué)階段便開始運用數(shù)形結(jié)合思想.而這種運用更多的是無意識、不自知的.一些小學(xué)教師沒有系統(tǒng)地向?qū)W生講述過該理論，同時市面上沒有系統(tǒng)的有關(guān)小學(xué)數(shù)學(xué)中數(shù)形結(jié)合思想運用的教材，導(dǎo)致一些教師在教學(xué)過程沒有相應(yīng)的教材可以參考.這也是在小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中有效運用數(shù)形結(jié)合思想的困難之一.

五、數(shù)形結(jié)合的教學(xué)建議

1.教師努力提升數(shù)形結(jié)合意識及作圖能力

在小學(xué)教學(xué)階段，教師的教學(xué)水平?jīng)Q定課堂教學(xué)的質(zhì)量，高素質(zhì)的教師對課堂教學(xué)重要性不必過多贅述.想要讓數(shù)形結(jié)合思想更好地運用于小學(xué)數(shù)學(xué)教育的過程中，首先必須從源頭出發(fā)，切實提高教師對數(shù)形結(jié)合思想的理解和掌握程度，同時提高教師的作圖水平.為此，學(xué)校相關(guān)部門有必要組織教師進(jìn)行專項培訓(xùn)，以提高教師的相關(guān)能力.隨著時代的進(jìn)步與經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，不斷更新教育理念也是當(dāng)代教師的要求之一.

2.引導(dǎo)學(xué)生從基礎(chǔ)性習(xí)題著手

小學(xué)階段的學(xué)生在理解題意能力和知識儲備上都有限，不能快速總結(jié)出有效的題干信息和概括出較為抽象的數(shù)學(xué)概念.故而，教師在使用數(shù)形結(jié)合思想引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)知和判斷數(shù)學(xué)語言、理解抽象的數(shù)學(xué)概念時，應(yīng)該從基礎(chǔ)性習(xí)題著手.降低例題的難度，將重點放在數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用上.當(dāng)學(xué)生對數(shù)形結(jié)合思想的運用達(dá)到一定的熟練程度時，教師再視情況增加例題的難度，最終提高學(xué)生運用這一思想的能力.

3.帶領(lǐng)學(xué)生動手操作，將數(shù)字“實物化”

在引導(dǎo)學(xué)生運用數(shù)形結(jié)合思想解決實際問題時，教師還可以帶領(lǐng)學(xué)生動手操作，將題干中的有效信息轉(zhuǎn)化為更加直觀的實物.以下述題目為例：現(xiàn)有一張長方形紙條，第一次剪去它的1/2.，第二次剪去剩余部分的1/2.，這時，剩下的部分占原紙張的幾分之幾？顯而易見，在此類題目中，學(xué)生利用上述方法能更加直觀地找出一般性的解題思路，并且能夠更加直觀地理解分?jǐn)?shù)乘法運算規(guī)律.因此，在運用數(shù)形結(jié)合思想解決實際問題時，在條件允許的情況下，學(xué)生可將題干中的有效信息轉(zhuǎn)化為實物，從而更加直觀地解決此類問題.

4.促進(jìn)數(shù)形結(jié)合有機(jī)融合

形是數(shù)的直觀呈現(xiàn)，數(shù)是形的邏輯表達(dá).教師要引導(dǎo)學(xué)生將形象思維與邏輯思維有機(jī)結(jié)合起來，做到數(shù)中有形、形中有數(shù)，提高辯證思維能力.

如利用面積模型推導(dǎo)計算公式：有一個邊長為a的正方形，將它的邊長增加b，得到一個邊長為(a+b)的正方形.學(xué)生自主分割圖形，發(fā)散思維，通過數(shù)與形的對應(yīng)關(guān)系印證結(jié)果，感受數(shù)學(xué)的魅力.因為面積相等，所以可以證明(a+b)2=a2+2ab+b2.教師引導(dǎo)學(xué)生利用面積模型來推導(dǎo)完全平方公式，感受用數(shù)形結(jié)合的直觀性與簡捷性，提高數(shù)學(xué)思維能力.數(shù)形結(jié)合實質(zhì)是將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖形聯(lián)系起來，使抽象思維和形象思維結(jié)合起來，通過對圖形的處理，發(fā)揮直觀對抽象的支柱作用，揭示數(shù)和形之間的內(nèi)在聯(lián)系.

如著名的“雞兔同籠”問題.雞兔同籠，共有8個頭、26條腿，雞、兔各多少只？

分析：這道題目可以用兩個長方形來表示.如圖1，a表示兔的只數(shù)，b表示雞的只數(shù)，a與b的和是8，即雞兔共有8只.右邊的2表示每只雞有2條腿，左邊4表示每只兔有4條腿.小長方形表示雞的腿數(shù),大長方形表示兔的腿數(shù)，兩個圖形的面積之和26表示雞兔一共有26條腿.

圖1

如圖2，假設(shè)全是兔，腿的總數(shù)是4(a+b)，比實際總腿數(shù)多2b條，所以4(a+b)=26+2b，即4×8=26+2b，b=3.

圖2

同理，如圖3，假設(shè)全是雞，腿的總數(shù)是2(a+b)，比實際總腿數(shù)少2a條，所以2(a+b)=26-2a，即2×8=26-2a，a=5.

圖3

當(dāng)“雞兔同籠”與數(shù)形結(jié)合有機(jī)融合，思維過程就一目了然了.

六、結(jié) 論

數(shù)形結(jié)合是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要數(shù)學(xué)思想之一，利用數(shù)形結(jié)合思想解決相關(guān)問題可以幫助學(xué)生建構(gòu)具體、形象的數(shù)學(xué)概念.雖然在此過程中仍然存在一些問題，但是數(shù)形結(jié)合思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要性是不言而喻的.隨著時代的發(fā)展,處于教學(xué)一線的教師要不斷增加自身的知識儲備，以求達(dá)到良好的教學(xué)效果.