一類三階積分邊值問題的正解

張廣新, 楊赟瑞 , 劉凱凱

(蘭州交通大學 數理學院, 甘肅 蘭州 730070)

0 引言

基于常微分積分邊值問題在地下水流、等離子物理等領域的廣泛應用,越來越多學者致力于此類問題正解的研究[1-4],并借助不動點定理、上下解方法結合極值原理、Leray-Schauder度理論等建立了一些有意義的研究成果,特別是偶數階積分邊值問題.

2011年,Ma[1]利用全局分歧方法結合Krein-Rutman定理研究了四階積分邊值問題

(1)

正解的存在性.

2020年,楊璐[2]基于Leggett-Williams不動點定理,研究了一類含雙參數的四階積分邊值問題

(2)

三個正解的存在性.但是,對奇數階三階積分邊值問題正解的研究尚不多見[5-7].

2013年,楊佳[6]借助Guo-Krasnoselskill不動點定理研究了帶積分邊界條件的三階邊值問題

(3)

單調正解的存在性.

近來,何燕琴等人[7]利用混合單調算子方法建立了三階積分邊值問題

(4)

單調正解的存在性.

基于上述工作,本文利用Guo-Krasnoselskill不動點定理研究一類三階積分邊值問題

(5)

正解及兩個正解的存在性.注意到,積分邊值條件包含兩點邊值條件以及非局部條件.因此,本文完善并推廣了一些三階邊值問題正解的研究結果[6,8].

1 預備知識

首先,給出本文需要的假設條件、相關定義和主要工具:

(A1)f∈C([0,1]×[0,+∞)×[0,+∞),[0,+∞));

1)‖Tu‖≤‖u‖,u∈P∩?Ω1,且‖Tu‖≥‖u‖,u∈P∩?Ω2；

2)‖Tu‖≥‖u‖,u∈P∩?Ω1,且‖Tu‖≤‖u‖,u∈P∩?Ω2,

引理1 邊值問題(5)有唯一解

(6)

其中

證明過程類似于文[6],故此省略.

引理2Gi(t,s)(i=1,2)有以下性質:

(7)

(ii) 對?t,s∈[0,1],有(1-t)(1-s)≤G2(t,s)≤1-s

(8)

(9)

證明(i) 當0≤s≤t≤1時,

(ii) 不難驗證,對任意的(t,s)∈[0,1]×[0,1],有(1-t)(1-s)≤G2(t,s)≤1-s成立.

記E=C1[0,1],對任意的u∈E,定義

引理3 若(A1)～(A3)成立,則邊值問題(5)的唯一解u滿足u(t)≥0,u′(t)≥0,且

(10)

所以u′(t)≥0.由引理2可知,對任意的t∈[0,1],有

證畢.

(11)

在K上定義算子T為

(12)

則邊值問題(5)有解等價于算子T存在不動點.

引理4 若(A1)～(A3)成立,則T:K→K是全連續(xù)算子.

證明對任意的u∈K,有

(13)

因此(Tu)≥0,(Tu)′≥0.由式(12)、式(13)以及引理2知

和

所以

(14)

(15)

因此,結合式(12)～(15)及引理2,可得

所以Tu∈K.

假設um,u∈k且‖um-u‖1→0(m→∞),則存在M1>0,使得對任意的自然數m,有‖um‖1≤M1.令

M2=sup{f(t,u,u′):(t,u,u′)∈[0,1]×[0,M1]×[0,M1]},

則對任意的t∈[0,1],由引理2可知,

由勒貝格控制收斂定理可知,當t∈[0,1]時,有

和

從而

‖(Tum)-(Tu)‖1=‖(Tum)-(Tu)‖+‖(Tum)′-(Tu)′‖→0, (m→∞),

即T是連續(xù)算子.再利用Arzela-Ascoli定理不難證明T:K→K是全連續(xù)的.證畢.

2 主要結論

定義

定理2 若(A1)～(A3)成立,則邊值問題(5)至少存在一個正解,當且僅當下列條件之一成立:

(16)

(17)

令Ω1={u∈E:‖u‖1<ρ1},則由式(17)可知,對任意u∈K∩?Ω1,有

于是

同理可得

‖Tu‖1≤‖u‖1,u∈K∩?Ω1

(18)

(19)

(20)

令ρ2?ρ1,Ω2={u∈E:‖u‖1<ρ2},則由式(11)和式(20)可知,對于任意的u∈K∩?Ω2,有

于是

同理可得

從而,由式(19)可知

即

‖Tu‖1≥‖u‖1,u∈K∩?Ω2

(21)

(ii)的證明與(i)相似,故此省略.證畢.

定理3 若(A1)～(A3)和下述條件成立:

則邊值問題(5)至少存在兩個正解u1,u2,且滿足0<‖u1‖1<γ<‖u2‖1.

‖Tu‖1≥‖u‖1,u∈K∩?Ωz

(22)

其中Ωz={u∈E:‖u‖1

‖Tu‖1≥‖u‖1,u∈K∩?Ωδ

(23)

其中Ωδ={u∈E:‖u‖1<δ}.

記Ωγ={u∈E:‖u‖1<γ},則由條件(ii)可知,對任意的u∈K∩?Ωγ,有

‖Tu‖1=‖Tu‖+‖(Tu)′‖<γ=‖u‖1.

即

‖Tu‖1<‖u‖1,u∈K∩?Ωγ

(24)

因此,由式(22)和式(24)及定理1可知,邊值問題(5)存在正解u1,且z≤‖u1‖1<γ;同時,由式(23)和式(24)及定理1可知,邊值問題(5)存在正解u2,且γ<‖u2‖1≤δ,故邊值問題(5)至少存在兩個正解u1,u2,且滿足0<‖u1‖1<γ<‖u2‖1.證畢.

3 應用舉例

例1 考慮三階積分邊值問題

(25)

例2 考慮三階積分邊值問題

(26)