基于能量守恒修正的混凝土損傷本構(gòu)模型

秦毅

摘要：為了改進傳統(tǒng)的混凝土損傷本構(gòu)模型，采用TAW-2000試驗系統(tǒng)對養(yǎng)護3 d和28 d的混凝土試樣進行了三軸力學(xué)特性試驗，并通過混凝土加載過程中的能量計算方法，確定了混凝土變形過程中的總能量、彈性能和耗散能，根據(jù)能量守恒原理建立了可描述混凝土應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系的修正本構(gòu)模型。通過模型曲線的對比驗證了所建立本構(gòu)模型的合理性和優(yōu)越性，并明確了模型參數(shù)的物理意義。結(jié)果表明：以往本構(gòu)模型曲線在混凝土應(yīng)力-應(yīng)變曲線峰后階段具有較大的偏離度，而修正的本構(gòu)模型曲線在應(yīng)力-應(yīng)變曲線峰后段的吻合度要更優(yōu)。模型參數(shù)γ可較好地反映混凝土的脆性和延性特征，模型參數(shù)n可較好地反映混凝土的強度特征。

關(guān) 鍵 詞：混凝土損傷本構(gòu)模型; 能量守恒原理; 敏感性; 脆性; 延性; 強度特征

中圖法分類號： TD712

文獻標(biāo)志碼： A

DOI：10.16232/j.cnki.1001-4179.2022.05.029

0 引 言

基于經(jīng)典力學(xué)理論構(gòu)建的本構(gòu)模型無法很好地描述巖土類材料的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系。在20世紀初期，學(xué)者們在描述金屬材料變形特性時引入了損傷的概念，在后續(xù)的發(fā)展中將損傷理論與經(jīng)典力學(xué)理論相結(jié)合，進而形成了較為完善的損傷力學(xué)體系，這為研究巖土類和混凝土材料的力學(xué)性質(zhì)奠定了一個良好的基礎(chǔ)[1-3]?；炷磷鳛橐粋€由固體骨架和內(nèi)部空隙等組成的介質(zhì)，其應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系和變形破壞機理較為復(fù)雜。要描述混凝土的力學(xué)規(guī)律，需要選取一個合適的損傷內(nèi)變量，此變量應(yīng)能反映混凝土內(nèi)部性質(zhì)的變化規(guī)律，而且其確定方法要簡單可行，進而所構(gòu)建出的損傷演化模型才可以描述混凝土的損傷演化規(guī)律以及變形特性。同時，根據(jù)熱力學(xué)定律[4-5]，混凝土在加載過程中，變形始終伴隨著能量的釋放與積聚，且通過能量耗散理論來解決材料損傷問題的研究成果也越來越多，故采用能量守恒原理建立的損傷本構(gòu)模型可以較好地反映巖土體的損傷破壞機制。

國內(nèi)外學(xué)者對于統(tǒng)計損傷模型的研究，主要是通過通過彈塑性理論、連續(xù)性損傷理論等建立損傷本構(gòu)模型。例如，徐衛(wèi)亞等[6]通過對巖石進行三軸壓縮試驗，分析巖石在應(yīng)力作用下的彈塑性應(yīng)變變化規(guī)律以及巖石內(nèi)部缺陷發(fā)育引起的損傷演化規(guī)律，并基于概率論和損傷力學(xué)建立關(guān)于彈塑性應(yīng)變的統(tǒng)計損傷本構(gòu)模型。Lai等[7]在研究巖石峰后應(yīng)變軟化試驗結(jié)果的基礎(chǔ)上，通過引入損傷閾值的概念來建立考慮巖石峰后應(yīng)變軟化特性的損傷本構(gòu)模型。Li等[8]認為現(xiàn)有屈服準(zhǔn)則不能較好地描述多相凍土的強度特性，采用能量守恒原理對Mohr-Coulomb準(zhǔn)則進行改進，進而建立了一種新型的凍土損傷本構(gòu)模型。曹文貴等[9]認為巖石內(nèi)部空隙對其變形特性具有重大影響，故通過微光手段分析了空隙對混凝土體變形破壞機理的影響，進而建立了考慮空隙變形的損傷本構(gòu)模型。王蘇生等[10]為了研究混凝土孔隙與損傷之間的關(guān)系，構(gòu)建了一種以孔隙體積變化量為內(nèi)變量的損傷變量模型，進而建立了考慮孔隙體積變化新型損傷模型。

上述研究成果只是基于傳統(tǒng)理論建立損傷本構(gòu)模型，未真正地考慮到混凝土在加載過程中能量變形破壞機理且無法真正揭示混凝土變形的本質(zhì)。由于混凝土的加載破壞與損傷主要是由于內(nèi)部儲存的應(yīng)變能達到混凝土單元的表面能時，儲存在混凝土內(nèi)部的應(yīng)變能開始大量釋放，最終導(dǎo)致混凝土單元發(fā)生破壞，同時，能量的釋放與積聚也會影響混凝土的變形破壞。因此，本文基于能量守恒定律對傳統(tǒng)混凝土損傷模型進行修正，可以使修正后的模型應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系更加接近于實際狀況，可更好地反映混凝土加載過程中的損傷演化規(guī)律。

1 混凝土統(tǒng)計損傷本構(gòu)模型建立

1.1 模型的建立

由能量守恒原理可知[11]，混凝土壓縮過程中的能量守恒方程為

W=We+Wd（1）

式中：We為彈性能，MJ/m3;Wd為耗散能，MJ/m3。

本文試驗應(yīng)力滿足以下關(guān)系：σ1>σ2=σ3，由廣義胡克定律得出

ε1=1Eσ1-2μσ3（2）

式中：ε1為應(yīng)變，%;E為彈性模量，GPa;μ為泊松比，無量綱;σ1，σ3為分別第一、第三主應(yīng)力，MPa。

將式（2）進行變換得：

σ1=Eε1+2μσ3（3）

由于混凝土結(jié)構(gòu)具有非均勻性，可將混凝土材料分為彈性變形部分和損傷變形部分。在損傷演化過程中通過引入連續(xù)性因子δ來表示彈性變形部分的等效應(yīng)力[12]，則混凝土總應(yīng)力為

σ1=σ′1+σD=Eδε1+2μσ3+σD（4）

式中：σ′1為等效彈性應(yīng)力，MPa;σD為損傷體應(yīng)力（殘余應(yīng)力），該值為殘余階段的應(yīng)力-應(yīng)變曲線對應(yīng)的殘余應(yīng)力值，MPa;δ為連續(xù)性因子，無量綱。

而損傷變量D與連續(xù)性因子δ之間存在以下關(guān)系[13]：

D=1-δn（5）

式中：D為損傷變量;n為材料常數(shù)。

在三軸壓縮條件下，外界對混凝土系統(tǒng)做功產(chǎn)生的能量W為

dW=dW1+dW3=σ1dε1+2σ3dε3（6）

式中：W1為軸向應(yīng)變能，MJ/m3;W3為徑向應(yīng)變能，MJ/m3。

將式（4）代入式（6）中得到混凝土從外界吸收總能量W為

dW=Eδε1+2μσ3+σDdε1+2σ3dε3（7）

由文獻[14-15]可知，彈性能的計算一般采用圖1所示方法，即混凝土的彈性應(yīng)變能為彈性部分的等效應(yīng)力與相應(yīng)應(yīng)變所圍成面積。

彈性應(yīng)變能為

dWe=（Eδε1+2μσ3）dε1+2σ3dε3+12Eε21dδ（8）

在加載過程中消耗的耗散能Wd為

dWd=γdD+σDdε1（9）

式中：γ為耗能率，MJ/m3。

聯(lián)立式（5）和式（9）得到耗散能與連續(xù)性因子之間關(guān)系為

dWd=-n（1-δ）n-1γdδ+σDdε1（10）

將式（7）～（10）代入式（6）中化簡得到軸向應(yīng)變與連續(xù)性因子之間關(guān)系：

E2ε21+2μσ3ε1=n（1-δ）n-1γ（11）

根據(jù)能量守恒原理將式（11）與式（3）和（5）聯(lián)立化簡，得出修正后的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系為

σ1=Eε12+nγε11-δn-1（12）

參數(shù)δ是與應(yīng)力和應(yīng)變有關(guān)的變量，根據(jù)式（4）可得：

δ=σ1-2μσ3-σDEε1（13）

將式（13）代入式（12）中，得到：

σ1=Eε12+nγε11-σ1-2μσ3-σDEε1n-1（14）

1.2 模型參數(shù)確定

由圖2中應(yīng)力-應(yīng)變曲線示意圖可知[16-18]：混凝土在加載變形至峰值點時，存在以下幾何關(guān)系① ε1=ε1c時，有σ1=σ1c;② ε1=ε1c時，有σ/ε=0。其中，ε1c為峰值點應(yīng)變，σ1c為峰值點應(yīng)力。

由條件（1）可知，在峰值點處存在以下關(guān)系：

σ1c=Eε1c2+nγε1c1-σ1c-2μσ3-σDEε1cn-1（15）

可以將式（15）簡化，即：

σ1c=Eε1c2+nγε1can-1（16）

參數(shù)a可以表示為

a=1-σ1c-2μσ3-σDEε1c（17）

由條件（2）可知，在峰值點處存在以下關(guān)系：

dσdεε=ε1c=0（18）

將式（18）展開后，得到：

dσ1cdε1c=E2-nγan-1ε21c+σ1c-2μσ3-σDnγan-2Eε31c=0（19）

由式（19）可得：

γ=2nEε1c-2σ1c-2μσ3-σDE2ε31c=2nb（20）

其中參數(shù)b可以表示為

b=Eε1c-2σ1c-2μσ3-σDE2ε31c（21）

將an進行泰勒展開，得到：

an=1+nlna+on2（22）

將式（22）代入到式（16）中，得到：

2n2b（1+nlna）=aε1cσ1c-Eε1c2（23）

式（23）為關(guān)于未知參數(shù)n的一元三次方程?？赏ㄟ^方程求解確定出參數(shù)n值，再將參數(shù)n值代入到式（20）中得到參數(shù)γ值。

2 混凝土三軸室內(nèi)試驗

本文混凝土試樣制備采用的配合比為水∶水泥∶砂∶石子=0.51∶1∶1.81∶3.68，制備出標(biāo)號為C20混凝土。水泥采用P.O.32.5普通硅酸鹽水泥，碎石采用取自鞍山礦區(qū)的煤矸石，將煤矸石破碎成粒徑5～15 mm碎石，砂為普通河砂（中砂，粒徑在5～15 mm），水為丹東自來水廠的普通自來水。按照上述配合比將混凝土制作成高為100 mm，直徑為50 mm的圓柱體，在溫度20 ℃和相對濕度90%的環(huán)境下進行養(yǎng)護，分別養(yǎng)護3 d和28 d。三軸壓縮試驗方案大致如下：① 將以50 N/s的加載速率把圍壓加載到預(yù)定值（圍壓分別選取0，0.5，1.0，1.5 MPa），必須在整個試驗過程中維持圍壓不變;② 以50 N/s的加載速率增加軸壓，直至混凝土試樣應(yīng)力達到峰值;③ 此時圍壓依然保持不變，持續(xù)施加軸向應(yīng)變加載速率，直至混凝土變形進入殘余變形階段為止;④ 將圍壓和軸壓進行卸載，取出混凝土試樣后進行標(biāo)記;⑤ 從數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)中將試驗數(shù)據(jù)導(dǎo)出、保存。

以養(yǎng)護3 d為例，三軸壓縮試驗結(jié)果如表1所列。

繪制出養(yǎng)護3 d和28 d混凝土的應(yīng)力-應(yīng)變曲線如圖3所示。

由圖3可知：混凝土在不同圍壓下的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系曲線走向基本一致，但是養(yǎng)護3 d、圍壓為0 MPa時，混凝土的應(yīng)力-應(yīng)變曲線在峰值應(yīng)力值為4.513 MPa，其他圍壓作用下混凝土的應(yīng)力-應(yīng)變曲線未出現(xiàn)這種情況，這可能是由于沒有圍壓的束縛、試件養(yǎng)護時間過短且混凝土內(nèi)部結(jié)構(gòu)孔隙過大，使得混凝土在峰后承載力快速下降。混凝土的應(yīng)力-應(yīng)變曲線變形特性為：① 壓密變形階段，此時混凝土內(nèi)部原有孔隙在外荷載作用下，開始逐漸閉合，使得應(yīng)變變化不大，曲線基本重合，沒有明顯的偏離;② 彈性變形階段，圍壓的增大使得應(yīng)變受到束縛的程度加劇，導(dǎo)致隨著偏應(yīng)力的增大，軸向應(yīng)變雖然繼續(xù)增大，但是曲線開始出現(xiàn)明顯的偏離;③ 塑性變形階段，隨著圍壓繼續(xù)增大曲線偏離程度越大，且混凝土峰值點所對應(yīng)的應(yīng)力也越大;④ 峰后應(yīng)變軟化階段，隨著應(yīng)變的逐步增大，應(yīng)力開始迅速下降逐漸趨于平穩(wěn)。

根據(jù)試驗結(jié)果計算出本文所采用混凝土的強度參數(shù)值，采用Mohr-Coulomb準(zhǔn)則來對第一主應(yīng)力和第三主應(yīng)力之間的關(guān)系進行擬合，得到第一主應(yīng)力和第三主應(yīng)力試樣數(shù)據(jù)和擬合曲線的對比如圖4所示。

由圖4可知擬合直線與峰值強度軸的截距為5.427，擬合直線的斜率為4.757。根據(jù)莫爾應(yīng)力可確定出混凝土的黏聚力c=5.918 MPa，內(nèi)摩擦角φ=40.737°，且Mohr-Coulomb準(zhǔn)則與試驗數(shù)據(jù)具有較好的擬合度，擬合曲線和試驗數(shù)據(jù)的相關(guān)性系數(shù)為0.992，殘差平方和為0.202，說明本文選用此破壞準(zhǔn)則描述混凝土強度特性是合理可行的。

3 混凝土損傷模型參數(shù)確定及模型驗證

根據(jù)試驗數(shù)據(jù)確定出該損傷本構(gòu)模型中參數(shù)值見表2[8，19]，以養(yǎng)護3 d為例。

將表2中的參數(shù)值代入到修正后的損傷本構(gòu)模型，繪制出該模型不同圍壓下的應(yīng)力-應(yīng)變曲線如圖5所示。

從圖5可知：模型曲線與試驗數(shù)據(jù)擬合程度較高，且其相關(guān)性系數(shù)較大（均在0.90以上）;混凝土在不同圍壓作用下，模型曲線和試驗曲線的對比規(guī)律基本一致，在峰前階段曲線幾乎重合，很好地描述了混凝土的線彈性階段，對峰后階段的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系也有較好的描述。這表明該模型更加接近圍巖實際的損傷破壞演化規(guī)律，可以較好地反映混凝土應(yīng)力-應(yīng)變變化關(guān)系。

為了體現(xiàn)出本文模型的優(yōu)越性，采用文獻[18]中的模型與本文模型進行對比，繪制出不同圍壓作用下模型對比曲線如圖6所示。

由圖6可知：文獻[18]中的模型曲線與試驗曲線也有良好的吻合度，但文獻模型曲線對混凝土應(yīng)力-應(yīng)變曲線峰后階段具有較大的偏離度，而本文建立的模型曲線與混凝土峰后應(yīng)力-應(yīng)變曲線的吻合度要高于文獻的，且本文建立的模型可較好地反映混凝土在不同圍壓作用下應(yīng)力-應(yīng)變曲線的變化趨勢。

為了使參數(shù)的物理含義較為明確，對文中引入的參數(shù)進行敏感性分析。以養(yǎng)護3 d、圍壓0.5 MPa試樣為例。通過控制參數(shù)n，分析參數(shù)γ對應(yīng)力-應(yīng)變曲線的影響;通過控制參數(shù)γ，分析參數(shù)n對應(yīng)力-應(yīng)變曲線的影響，繪制出不同參數(shù)作用下混凝土的應(yīng)力-應(yīng)變曲線如圖7所示。

由圖7可知：隨著參數(shù)γ的增大，在同一應(yīng)變作用下混凝土的應(yīng)力都是隨著參數(shù)γ的增大而增大，且混凝土的應(yīng)力-應(yīng)變曲線的峰后特性越來越不明顯，即隨著參數(shù)γ的增大，混凝土的應(yīng)力-應(yīng)變曲線由應(yīng)變軟化逐漸向硬化轉(zhuǎn)變，這說明參數(shù)γ反映了混凝土的脆性和延性特征。隨著參數(shù)n的增大，混凝土應(yīng)力-應(yīng)變曲線變化有所區(qū)別，參數(shù)n越小混凝土的峰值強度越大，說明了參數(shù)n越小，混凝土抵抗變形破壞能力越強，即參數(shù)n反映了混凝土的強度特征。

4 結(jié) 論

（1） 針對現(xiàn)有混凝土損傷力學(xué)模型的局限性，根據(jù)混凝土加載過程中滿足能量守恒定律的特點，對混凝土應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系進行改進，并考慮到損傷的本質(zhì)就是能量積聚與耗散，以此建立了一種新型的混凝土損傷本構(gòu)模型，使其應(yīng)用范圍更廣。

（2） 模型曲線與試驗數(shù)據(jù)擬合程度較高，說明該模型可以較好地反映混凝土應(yīng)力-應(yīng)變變化關(guān)系，更加接近混凝土的變形破壞規(guī)律。在峰前階段曲線幾乎重合，很好地描述了混凝土的線彈性階段，對后期的塑性特性的非線性變化也具有較好的模擬效果。

（3） 混凝土的應(yīng)力-應(yīng)變曲線在圍壓為零時峰值應(yīng)力值為4.513 MPa，其他圍壓作用下混凝土的應(yīng)力-應(yīng)變曲線未出現(xiàn)這種情況，這可能是由于沒有圍壓的束縛、試件養(yǎng)護時間過短且混凝土內(nèi)部結(jié)構(gòu)孔隙過大，使得混凝土在峰后承載力快速下降。

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（編輯：鄭 毅）

Concrete damage constitutive model based on energy conservation

QIN Yi

（Department of Civil Engineering，Eastern Liaoning University，Dandong 118003，China）

Abstract：

In order to study the deformation characteristics of concrete under different confining pressures and different curing cycles，the TAW-2000 test system was used to conduct triaxial mechanical property tests on concrete samples cured for 3d and 28d.The total energy，elastic energy and dissipated energy in the concrete deformation process were determined by the energy calculation method during the concrete loading process.According to the energy conservation principle，a constitutive model that can describe the stress-strain relationship of concrete was obtained.The comparison of model curves proves the rationality and superiority of the established constitutive model.The physical meaning of new model parameters is clarified.The results show that the previous models’ curves have a large deviation at the post-peak stage of the concrete stress-strain curve.However，the degree of fitting of the new model curve at the post-peak stage is higher.The model parameter γ can better reflect the brittleness and ductility characteristics of concrete.The model parameter n can better reflect the strength characteristics of concrete.

Key words：

concrete damage constitutive model;energy conservation principle;sensitivity;brittleness;ductility;strength characteristics