柔性輪對(duì)的離散時(shí)間傳遞矩陣法建模及垂向振動(dòng)1)

劉鵬飛 *, 楊紹普 *, 劉永強(qiáng) ** 顧曉輝 *, 劉澤潮 *,

* (石家莊鐵道大學(xué)省部共建交通工程結(jié)構(gòu)力學(xué)行為與系統(tǒng)安全國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,石家莊 050043)

? (石家莊鐵道大學(xué)河北省交通工程結(jié)構(gòu)力學(xué)行為演變與控制重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,石家莊 050043)

** (石家莊鐵道大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院,石家莊 050043)

引言

輪對(duì)是軌道交通車輛最為重要的走行部件,發(fā)揮著承載、牽引、制動(dòng)及導(dǎo)向等重要功能,但同時(shí)屬于簧下質(zhì)量,在長期使用過程中,車輪踏面及軌面不可避免會(huì)出現(xiàn)剝離掉塊、擦傷、波磨及車輪多邊形等典型的短波不平順激擾,容易激發(fā)輪對(duì)的中高頻結(jié)構(gòu)振動(dòng),甚至輪對(duì)結(jié)構(gòu)與軌道結(jié)構(gòu)的自振頻率相吻合而演化為系統(tǒng)的耦合共振,由此惡化了列車的運(yùn)行環(huán)境并加劇輪軌缺陷的進(jìn)一步發(fā)展.因此在車輛系統(tǒng)中,中高頻域動(dòng)力學(xué)研究中考慮輪對(duì)結(jié)構(gòu)振動(dòng)十分必要,對(duì)于延緩和消除相關(guān)問題的產(chǎn)生具有重要意義.

近年來,從輪對(duì)柔性建模及動(dòng)態(tài)仿真問題,國內(nèi)外相關(guān)學(xué)者開展了大量研究.主要的研究方法是,基于有限元軟件進(jìn)行輪對(duì)彈性建模,提取振動(dòng)模態(tài),之后與動(dòng)力學(xué)軟件進(jìn)行聯(lián)合仿真,進(jìn)而實(shí)現(xiàn)非線性振動(dòng)的求解.例如,文獻(xiàn)[1-12]主要建立了輪對(duì)的有限元模型,進(jìn)一步與動(dòng)力學(xué)仿真軟件結(jié)合,從而開展中高頻輪對(duì)合理建模問題[1]、輪軌磨耗問題[2]、多邊形激擾問題[3-4]、車輪扁疤沖擊振動(dòng)問題[5-6]、車輛運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性問題[7]、鋼軌波磨激擾問題[8-9]、軸承壽命問題[10]、滾動(dòng)噪聲問題[11]、輪軌摩擦自激振動(dòng)與輪對(duì)彎曲振動(dòng)耦合問題[12]等方面的研究.可以看出,相關(guān)的建模方法和仿真技術(shù)也是當(dāng)前剛?cè)狁詈蟿?dòng)力學(xué)的主要研究手段.此外,國內(nèi)外學(xué)者也在積極探索輪對(duì)彈性振動(dòng)建模的其他方法.如Guiral 等[13]在非慣性車輛運(yùn)動(dòng)參照系的框架內(nèi)推導(dǎo)出了一種柔性輪對(duì)的計(jì)算公式.Baeza 等[14]給出了三種基于歐拉方法的柔性轉(zhuǎn)動(dòng)固體動(dòng)力響應(yīng)計(jì)算公式,適用于固體與非旋轉(zhuǎn)結(jié)構(gòu)相互作用的研究.徐寧等[15]利用假設(shè)模態(tài)法,得到帶有集中質(zhì)量及轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的彈性車軸振型函數(shù),從而建立考慮輪對(duì)彈性振型的車軸模型.文獻(xiàn)[16]利用歐拉坐標(biāo)系中的拉格朗日方程和模態(tài)疊加法,建立和求解輪對(duì)彈性振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程.崔瀟等[17]采用歐拉坐標(biāo)系下旋轉(zhuǎn)效應(yīng)柔性輪對(duì)模型進(jìn)行剛?cè)狁詈宪囕v-軌道系統(tǒng)多體動(dòng)力學(xué)建模,楊云帆等[18]采用歐拉梁模擬輪軸彈性振動(dòng),建立了考慮輪對(duì)柔性的直線電機(jī)地鐵車輛動(dòng)力學(xué)模型.

總體而言,輪對(duì)彈性振動(dòng)的建模方法較為成熟,有限元方法最為常用,通過模態(tài)疊加原理實(shí)現(xiàn)隨機(jī)激擾下輪對(duì)結(jié)構(gòu)振動(dòng)與車輛振動(dòng)的求解,結(jié)合有限元和動(dòng)力學(xué)軟件是一種有效的途徑.但無論是基于有限元法還是直接推導(dǎo)輪對(duì)的彈性振動(dòng)方程,結(jié)構(gòu)改變后往往需重新建模和推導(dǎo),較難實(shí)現(xiàn)模塊化,計(jì)算機(jī)編程也略為復(fù)雜.近年來,傳遞矩陣法已突破線性振動(dòng)的限制,通過時(shí)間離散實(shí)現(xiàn)了轉(zhuǎn)子系統(tǒng)、武器系統(tǒng)等非線性動(dòng)力學(xué)及彈性振動(dòng)問題的求解[19-22],該方法通過可將振動(dòng)系統(tǒng)分解為一定數(shù)量的離散單元,各單元均可獨(dú)立編制傳遞矩陣,最后再通過單元邊界處的力和運(yùn)動(dòng)狀態(tài)向量集成為整體振動(dòng)系統(tǒng),無需推導(dǎo)系統(tǒng)總體動(dòng)力學(xué)方程,因而具有求解規(guī)模少、模塊化組合、易于編程等優(yōu)點(diǎn),但相關(guān)方法在軌道交通車輛動(dòng)力學(xué)研究中還鮮有報(bào)道.

因此,本文以機(jī)車車輛單軸滾振試驗(yàn)臺(tái)為研究對(duì)象,引入分布質(zhì)量彈性輪軸的離散時(shí)間傳遞矩陣、車輪傳遞矩陣等,進(jìn)一步建立考慮輪對(duì)彈性振動(dòng)的試驗(yàn)臺(tái)剛?cè)狁詈蟿?dòng)力學(xué)分析模型,綜合新型顯式積分法、Newmark 隱式積分法和Riccati 法對(duì)系統(tǒng)振動(dòng)進(jìn)行數(shù)值求解,最后通過單軸滾振試驗(yàn)臺(tái)的測試結(jié)果對(duì)仿真模型進(jìn)行驗(yàn)證,以期為考慮結(jié)構(gòu)部件彈性振動(dòng)的車輛-軌道耦合系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)研究提供新的建模方法和研究思路.

1 分布質(zhì)量彈性輪軸離散時(shí)間傳遞矩陣

用傳遞矩陣法對(duì)輪對(duì)建模時(shí),可將輪對(duì)分為分布質(zhì)量彈性輪軸和集總質(zhì)量的車輪等剛體部件,通過狀態(tài)向量與傳遞矩陣的關(guān)系實(shí)現(xiàn)截面力和運(yùn)動(dòng)量的傳遞計(jì)算.狀態(tài)向量用于描述部件端部的剪力、彎矩、位移及加速度等力和運(yùn)動(dòng)量.文獻(xiàn)[19]中系統(tǒng)建立了以力、位移為狀態(tài)變量的傳遞矩陣法.文獻(xiàn)[21]針對(duì)無質(zhì)量彈性梁-滑動(dòng)軸承-圓盤系統(tǒng)進(jìn)行了研究,同時(shí)指出,研究軸系結(jié)構(gòu)瞬態(tài)響應(yīng)時(shí),由于彈性模量大、時(shí)間步長小,可能出現(xiàn)病態(tài)矩陣,采用力、加速度的狀態(tài)向量可盡力避免此問題.鑒于此,首先設(shè)定輪軸狀態(tài)變量W為

式中,M為截面力矩,Q為剪力,為截面轉(zhuǎn)角加速度,為截面的垂向振動(dòng)加速度.

建立分布質(zhì)量彈性輪軸離散時(shí)間傳遞矩陣的本質(zhì)在于確定彈性軸輸入端和輸出端狀態(tài)向量的力學(xué)傳遞關(guān)系.對(duì)于動(dòng)力輪對(duì)結(jié)構(gòu)(圖1),從參振的角度可大體分為軸箱、車輪、齒輪箱與輪軸四個(gè)部分,其中輪軸作為相對(duì)的細(xì)長結(jié)構(gòu),貢獻(xiàn)了主要的彈性振動(dòng)能量.彈性輪軸可視為彈性梁結(jié)構(gòu),假設(shè)其第i段長度為li,梁的線密度為ρ,在車輛坐標(biāo)系中定義左側(cè)為輸入端,剪力QL,彎矩ML,定義右側(cè)為輸出端剪力QR、彎矩MR,則其受力狀態(tài)如圖2 所示,對(duì)應(yīng)的左右側(cè)位移為ZL和ZR,g為重力加速度,ρg為梁上分布質(zhì)量的重力分布.

圖1 輪對(duì)結(jié)構(gòu)Fig.1 Wheelset structure

圖2 分布質(zhì)量彈性軸的受力與變形Fig.2 Force and deformation of elastic axle with distributing mass

設(shè)梁的彈性振動(dòng)位移用模態(tài)疊加法求解,引入正則振型函數(shù)φ(x),正則振型坐標(biāo)q(t),則梁在距其左端面x處、t時(shí)刻的彈性位移可表示為

根據(jù)其剪力和彎矩平衡關(guān)系,并考慮慣性力,可建立梁單元的受力平衡方程式(3)和式(4),對(duì)于輸入端到輸出端的垂向位移及轉(zhuǎn)角變形,同樣根據(jù)剪力、彎矩及分布載荷條件下的梁彈性變形進(jìn)行疊加可得到變形方程式(5)和式(6)[22]

式中,EI為梁的抗彎剛度.式(3)～ 式(6)即為輸入端到輸出端的分布質(zhì)量彈性梁的力和位移傳遞關(guān)系.為了進(jìn)行數(shù)值積分求解同時(shí)保證彈性梁振動(dòng)求解的收斂性和穩(wěn)定性,引入Newmark-β隱式積分法進(jìn)行上述四式的改造[19].Newmark-β法積分格式如下

基于式(7)～ 式(10),將式(3)～ 式(6)中的位移項(xiàng)表示為當(dāng)前時(shí)刻加速度及上一時(shí)刻加速度、位移及振動(dòng)速度的顯式表達(dá),則改造后的位移公式可進(jìn)一步表達(dá)為式(11)和式(12)

上式中還存在積分項(xiàng),進(jìn)行傳遞矩陣推導(dǎo)的關(guān)鍵在于消除模態(tài)函數(shù)積分項(xiàng)中的正則加速度坐標(biāo).以式(3)中積分項(xiàng)為例,若取前4 階模態(tài),結(jié)合式(2),可知

根據(jù)振動(dòng)力學(xué),梁端位移和轉(zhuǎn)角的加速度滿足如下關(guān)系

于是可將轉(zhuǎn)角、位移的加速度統(tǒng)一用矩陣表示為式(15),式中U為可用模態(tài)函數(shù)求解出的系數(shù)矩陣

令

則關(guān)于振型函數(shù)的定積分項(xiàng)可表示為

對(duì)比式(15)和式(16),加速度狀態(tài)向量與積分項(xiàng)的矩陣表達(dá)都是關(guān)于正則坐標(biāo)加速度的.那么,如果通過加速度狀態(tài)向量的線性疊加組合來表示該積分項(xiàng),就可消除原方程積分項(xiàng)中關(guān)于時(shí)間的正則振型坐標(biāo)加速度.為此,引入待定系數(shù)a1～a4,則積分項(xiàng)可進(jìn)一步表達(dá)為

式中,左端和右端項(xiàng)可約掉正則振型坐標(biāo)加速度項(xiàng),左右側(cè)再經(jīng)過轉(zhuǎn)置,可得

最終通過矩陣運(yùn)算,可得待定系數(shù)a1～a4的具體數(shù)值

式(18)中,方程的左側(cè)是正則振型函數(shù)關(guān)于軸長度的積分,在已知振型函數(shù)后,可直接求得結(jié)果,同樣轉(zhuǎn)置矩陣UT也可通過振型函數(shù)獲得,于是關(guān)于待定系數(shù)a1～a4的求解就轉(zhuǎn)化成了一階常系數(shù)線性方程組的求解問題.只要振型假設(shè)合理,矩陣UT可逆,便可求出待定系數(shù)的具體量值,也即表明通過軸左、右端的狀態(tài)向量間接表達(dá)了積分項(xiàng).對(duì)于式(18)也可通過高斯消元法快速求解.

同理,對(duì)于式(4)、式(11)和式(12)中的包含振型函數(shù)的積分項(xiàng),采用類似方法也可得到對(duì)應(yīng)的組合待定系數(shù)bi,ci和di(i=1～ 4).最終,將方程式(3)～式(4)、式(11)～式(12),統(tǒng)一表達(dá)為如下矩陣形式

則,左右端的傳遞關(guān)系可轉(zhuǎn)變?yōu)?/p>

式中,H和D′矩陣為軸段的場傳遞矩陣,A1和A2及D為推導(dǎo)出的中間矩陣,且滿足下式

2 車輪、齒輪箱及彈簧阻尼系統(tǒng)傳遞矩陣

對(duì)于車輪,簡化為具有垂向、側(cè)滾位移的剛體處理,其左、右側(cè)受力狀態(tài)及狀態(tài)向量如圖3 所示.剛體質(zhì)心兩側(cè)的轉(zhuǎn)角、位移均相同,基于達(dá)朗貝爾原理,根據(jù)垂向力平衡和轉(zhuǎn)矩平衡關(guān)系,不難推導(dǎo)出其振動(dòng)微分方程,此處不再贅述,直接給出車輪的傳遞矩陣,如式(25)中Hw和Pw.

圖3 車輪受力狀態(tài)Fig.3 Force conditions of wheel

式中,Jw為車輪側(cè)滾慣量,mw為車輪質(zhì)量,Fw為輪軌垂向力,Mw為側(cè)滾蠕滑力矩.

對(duì)于齒輪箱,將其2/3 質(zhì)量作為簧下參振質(zhì)量,與彈性輪軸連接,則式(25)中傳遞矩陣同樣適用于齒輪箱.對(duì)于軸箱,僅考慮軸箱的垂向振動(dòng),為此式(25)中進(jìn)一步令Jw和Mw=0 即可.

轉(zhuǎn)向架系統(tǒng)中,軸承、一系和二系懸掛均可一定程度上簡化為剛度-阻尼力元,本文以軸承為例進(jìn)行說明.如圖4 所示的彈簧、阻尼系統(tǒng),彈簧剛度為Kb,阻尼系數(shù)Cb,左右側(cè)的位移不相等,剪力相同、方向相反,若不考慮該系統(tǒng)的彎曲剛度和阻尼,可認(rèn)為左右側(cè)的彎矩相同,則滿足式(26)中的數(shù)學(xué)關(guān)系

圖4 彈簧-阻尼系統(tǒng)受力狀態(tài)Fig.4 Force conditions of spring-damping system

進(jìn)一步,將式(26)采用矩陣表示,并引入Newmark-β法積分格式對(duì)其改造,最終可得到式(27)的表達(dá)形式,即為該力元的離散時(shí)間傳遞矩陣

3 單軸滾振試驗(yàn)臺(tái)的垂向動(dòng)力學(xué)建模及求解方法

3.1 動(dòng)力學(xué)建模

以單軸滾振試驗(yàn)臺(tái)為例(圖5),建立其動(dòng)力學(xué)模型(圖6).需要指出的是,模型分為兩部分,一為輪對(duì)系統(tǒng),基于上文的離散時(shí)間傳遞矩陣法進(jìn)行建模;二為虛擬構(gòu)架和軌道輪組部分,直接給出動(dòng)力學(xué)方程,并采用新型顯式積分法(翟方法)[23]求解其速度和位移響應(yīng).這樣處理的目的是,輪對(duì)之外的系統(tǒng)采用顯式積分法求解容易編程實(shí)現(xiàn),且無需聯(lián)立求解高階代數(shù)方程組,可進(jìn)一步提高計(jì)算效率.建模時(shí),可將輪對(duì)彈性體作為子模型,方便后期與車輛-軌道耦合動(dòng)力學(xué)模型、列車-軌道動(dòng)力學(xué)模型[23-26]及其求解方法進(jìn)行對(duì)接,同時(shí)也可通過本次分析和試驗(yàn),來檢驗(yàn)復(fù)雜剛?cè)狁詈舷到y(tǒng)中顯、隱式混合積分求解振動(dòng)的可行性.

圖5 單軸滾振試驗(yàn)臺(tái)系統(tǒng)構(gòu)成Fig.5 Compositions of single-wheelset rolling and vibration test system

輪對(duì)發(fā)揮彈性振動(dòng)的主要結(jié)構(gòu)是輪軸,可將輪軸采用分布質(zhì)量彈性梁建模.軸承的支撐剛性和阻尼則簡化為彈簧-阻尼力元.如圖6 所示,本文將輪對(duì)-齒輪箱系統(tǒng)從左到右分為12 個(gè)部分,3,5,6,8,10 為彈性軸段,采用式(21) 中傳遞矩陣;軸箱體1 和12 采用式(25)傳遞矩陣,但僅考慮垂向振動(dòng);軸承力元2 和11 采用式(27)中的傳遞矩陣;車輪4 和9 及齒輪箱7 采用式(25)的傳遞矩陣.

圖6 試驗(yàn)臺(tái)動(dòng)力學(xué)模型Fig.6 Dynamic model of test rig

對(duì)于剛性構(gòu)架和軌道輪,僅考慮其垂向運(yùn)動(dòng),對(duì)應(yīng)的振動(dòng)微分方程為

由于針對(duì)垂向振動(dòng),輪軌垂向力簡化為Hertz 非線性接觸彈簧[23],以右輪為例,作用力可表示為

式中,R為車輪名義滾動(dòng)半徑,Z0(t)為t時(shí)刻軌道不平順,ZtR(t)為軌道輪垂向位移.誠然,輪-輪接觸和輪-軌接觸有一定差異,若考慮空間接觸關(guān)系,需進(jìn)一步描述輪-輪接觸斑形狀、蠕滑力的不同,具體可參考文獻(xiàn)[27].

3.2 振動(dòng)求解方法

下面重點(diǎn)闡述基于Riccati 法來求解輪對(duì)系統(tǒng)的振動(dòng)加速度.基于離散時(shí)間傳遞矩陣法建立的各部件傳遞矩陣均具有如式(31) 的統(tǒng)一形式,其中,H11,H12,H21,H22為2 × 2 階方陣,F,E為2 × 1階列陣.將狀態(tài)變量W分為力狀態(tài)變量和加速度狀態(tài)變量兩部分,分別對(duì)應(yīng)f和,如式(32)所示

引入Riccati 變換[21,23],第i截面端部力f和加速度狀態(tài)變量之間滿足如下關(guān)系

式中,各單元對(duì)應(yīng)的Pi和Si矩陣可由下式遞推計(jì)算

依據(jù)系統(tǒng)的邊界條件確定式(33)～ 式(36)的邊界狀態(tài).對(duì)于左側(cè)軸箱,邊界條件滿足f=0,=0,那么可知P0=0 且S0=0,由式(35)和式(36)依次遞推出各截面的P和S矩陣.進(jìn)而,由最右端滿足f13=0,=0,則通過下式(37)確定最右端的加速度矢量.最后根據(jù)式(33)和式(34)依次獲得各截面的加速度和力狀態(tài)變量

本文模型的求解涉及了3 種重要的計(jì)算方法,系統(tǒng)總體求解流程如圖7 所示.具體的求解步驟為:

圖7 動(dòng)力學(xué)模型數(shù)值求解流程Fig.7 Numerical solving flow of dynamic model

(1) 獲取t時(shí)刻的振動(dòng)位移、速度,以及輪軌力、軸承力等線性及非線性作用力;

(2)采用新型顯式積分法(翟方法)計(jì)算剛性構(gòu)架、軌道輪t+Δt時(shí)刻的位移和速度響應(yīng),預(yù)估柔性輪對(duì)系統(tǒng)振動(dòng)位移和速度;

(3)基于第(1)步結(jié)果和第(2)步預(yù)估結(jié)果,計(jì)算t+Δt時(shí)刻一系懸掛力、輪軌力、軸承力;

(4)采用Riccati 方法計(jì)算柔性輪對(duì)系統(tǒng)振動(dòng)加速度;

(5) Newmark-β法計(jì)算t+Δt時(shí)刻柔性輪對(duì)系統(tǒng)的振動(dòng)速度、位移;

(6)檢驗(yàn)第(2)步預(yù)估振動(dòng)量和Newmark-β法積分求解振動(dòng)量的差異是否小于允許誤差,若大于設(shè)定誤差,進(jìn)行預(yù)估振動(dòng)量與積分振動(dòng)量的平均,再返回步驟(3),重新計(jì)算懸掛力、輪軌力;重復(fù)上述步驟,直到誤差低于設(shè)定閾值,即獲得需要的輪軸系統(tǒng)振動(dòng)速度、位移;

(7)反饋輪對(duì)系統(tǒng)振動(dòng)量及一系懸掛力、輪軌力至構(gòu)架、軌道輪組成的外部系統(tǒng),通過振動(dòng)方程直接計(jì)算下一時(shí)刻構(gòu)架、軌道輪的加速度;

(8)保存t+Δt時(shí)刻系統(tǒng)的位移、速度和加速度,作為下一時(shí)刻積分的初始條件.

4 輪對(duì)振動(dòng)特性數(shù)值仿真和試驗(yàn)驗(yàn)證

針對(duì)單軸滾振試驗(yàn)臺(tái)及輪對(duì)進(jìn)行數(shù)值仿真和同步試驗(yàn).基于假設(shè)模態(tài)法,文獻(xiàn)[22]確定振型函數(shù),并代入到前文分布質(zhì)量彈性軸的傳遞矩陣中.建模涉及的主要參數(shù)在表1 中列出,其中軸承的剛度和阻尼可參考文獻(xiàn)[28]的計(jì)算結(jié)果,軌道輪組下部其支承剛度和阻尼參考文獻(xiàn)[29].至于柔性輪對(duì)的自振特性,可直接參照文獻(xiàn)[30]中作者前期給出的計(jì)算方法,采用傳遞矩陣亦可方便求解,對(duì)于本文所研究的動(dòng)力輪對(duì),其所考慮的最高階模態(tài)為3 階彎曲模態(tài),對(duì)應(yīng)頻率為560 Hz.

表1 主要建模參數(shù)Table 1 Main modeling parameters

4.1 軌道輪切削、打磨與測試

為了檢驗(yàn)理論模型的正確性,開展了300～400 km/h 速度級(jí)輪對(duì)激振試驗(yàn),軌道輪直徑1.8 m,車輪名義滾動(dòng)直徑0.915 m.對(duì)車輪和軌道輪進(jìn)行了表面幾何狀態(tài)測試(圖9),并對(duì)軌道輪進(jìn)行了多邊形打磨.測試結(jié)果顯示(圖10),輪對(duì)有初始的一階不圓順,軌道輪即使通過切削加工也存在較低水平的粗糙度,但幅值不超過0.03 mm.進(jìn)一步通過局部打磨模擬了軌道輪多邊形和局部凹陷.其中多邊形的波長157 mm,對(duì)應(yīng)于軌道輪36 階多邊形,幅值不超過0.05 mm,局部凹陷波長300 mm、波深0.3 mm,代表單一的諧波不平順,軌道輪切削后初始的軌面粗糙度水平較低.在試驗(yàn)中,車輪不圓順始終參與系統(tǒng)激振,為此在仿真中將車輪多邊形作周期延拓,并與軌道輪3 種激擾進(jìn)行疊加,形成復(fù)合不平順(圖10(c)),以此作為仿真模型的輪軌接觸界面輸入激勵(lì).

圖9 室內(nèi)試驗(yàn)Fig.9 Laboratory test

圖9 室內(nèi)試驗(yàn)(續(xù))Fig.9 Laboratory test (continued)

圖10 輪對(duì)及軌道輪表面幾何狀態(tài)Fig.10 Geometric states of wheelset and rail roller surfaces

4.2 振動(dòng)特性的試驗(yàn)驗(yàn)證

基于前述離散傳遞矩陣法建立的彈性軸單輪對(duì)動(dòng)力學(xué)模型,進(jìn)行了理論模型的試驗(yàn)驗(yàn)證,試驗(yàn)過程中,測試了不同軌面狀態(tài)下的軸箱振動(dòng)加速度,信號(hào)采集采用壓電式加速度傳感器,采樣頻率不低于5000 Hz,以盡量涵蓋主要的中高頻振動(dòng).圖11 給出了初始不平順狀態(tài)下,輪對(duì)以400 km/h 速度運(yùn)行時(shí)軸箱加速度測試結(jié)果和仿真結(jié)果的比較.從頻域上看,仿真結(jié)果較好捕捉了軸箱1600 Hz 范圍內(nèi)的振動(dòng)主頻峰值,但主要振動(dòng)能量集中于500 Hz 以內(nèi).在時(shí)域中,對(duì)測試結(jié)果進(jìn)行1600 Hz 和500 Hz 低通濾波,與計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比較.500 Hz 低通濾波后,測試加速度和仿真加速度幅值總體分別分布在(-3.4～+2.8)g和(-3.6～+3.1)g的范圍內(nèi),最大幅值相差0.3g左右,約9%.

圖11 初始粗糙度狀態(tài)下仿真和測試加速度比較Fig.11 Comparisons between simulation and test acceleration under initial roughness

進(jìn)一步,對(duì)多邊形激擾下的軸箱振動(dòng)響應(yīng)進(jìn)行對(duì)比驗(yàn)證,測試和仿真加速度對(duì)比如圖12 所示,輪對(duì)運(yùn)行速度400 km/h.同樣,在頻域上看,仿真結(jié)果較好反映了實(shí)際系統(tǒng)在1510 Hz 范圍內(nèi)主要振動(dòng)特征,振動(dòng)主頻包含了輪對(duì)轉(zhuǎn)頻(39 Hz)、多邊形激擾頻率(707 Hz)及其倍頻等.在時(shí)域響應(yīng)上,對(duì)測試結(jié)果進(jìn)行1510 Hz 和1000 Hz 的低通濾波,幅值分布在 ± 8.5g和-6g～ +7.5g的范圍內(nèi),仿真加速度幅值總體在-6g～ +7.9g的范圍內(nèi),因此在1000 Hz 頻率內(nèi),測試和計(jì)算結(jié)果幅值相差0.4g,約5%.事實(shí)上,在500～ 1000 Hz 的頻率范圍內(nèi),僅軌道輪多邊形激擾引起的強(qiáng)迫振動(dòng)較為顯著,其余頻率對(duì)應(yīng)振動(dòng)能量十分微弱.

圖12 多邊形激擾下仿真和測試加速度比較Fig.12 Comparisons between simulation and test accelerations under polygon excitation

最后,以軌道輪局部凹陷為主要激勵(lì),對(duì)仿真模型的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比驗(yàn)證,由于局部凹陷的幅值較大,考慮運(yùn)行安全,在試驗(yàn)中將輪對(duì)走行速度設(shè)定在了300 km/h.同時(shí)為研究剛、柔建模方法對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)帶來的影響,也分析了剛性輪對(duì)的振動(dòng)響應(yīng),在時(shí)域-頻域?qū)Ψ抡婧蛯?shí)測軸箱振動(dòng)加速度進(jìn)行了比較,如圖13 所示.對(duì)于柔性輪對(duì),仿真結(jié)果反映了實(shí)際系統(tǒng)在1580 Hz 范圍內(nèi)主要振動(dòng)特征,但在500 Hz～ 1580 Hz 的高頻區(qū)段,振動(dòng)幅值較小,振動(dòng)能量總體集中于500 Hz 以內(nèi).經(jīng)過1580 Hz 和500 Hz 的低通濾波后,在時(shí)域響應(yīng)上,測試和和仿真結(jié)果能清晰識(shí)別和捕捉局部凹陷產(chǎn)生的振動(dòng)激擾成分,加速度幅值范圍均在(-19～+21)g之間,響應(yīng)規(guī)律較接近,最大幅值相差在1g之內(nèi),誤差在5%左右.對(duì)于剛性輪對(duì),總體能夠反映250 Hz 以內(nèi)的振動(dòng),但超過該頻率的高頻部分未能充分體現(xiàn),相較測試結(jié)果和柔性輪對(duì)計(jì)算結(jié)果要小,最終在時(shí)域響應(yīng)上,剛性輪對(duì)建模的振動(dòng)加速度幅值分布在 ± 11g范圍內(nèi),約為實(shí)測結(jié)果的60%左右,因此基于離散時(shí)間傳遞矩陣法的柔性輪對(duì)模型具有更高的求解精度.也進(jìn)一步表明,采用柔性輪對(duì)建模方法能夠更好的描述結(jié)構(gòu)在中高頻域的彈性振動(dòng).

圖13 局部凹陷激擾下仿真和測試加速度比較Fig.13 Comparisons between simulation and test accelerations under local-dent excitation

綜上所述,基于離散時(shí)間傳遞矩陣法建立的單輪對(duì)彈性體模型能夠較好模擬輪軌高頻激振條件下的振動(dòng)性能,與單軸滾振試驗(yàn)臺(tái)的測試結(jié)果對(duì)比表明,模型在500 Hz 頻率范圍內(nèi)的振動(dòng)能量集中區(qū)總體具有較好的適應(yīng)性.采用新型顯式積分法、Newmark-β隱式法對(duì)系統(tǒng)的混合積分?jǐn)?shù)值求解方案也是可行的,獲得了較好的求解精度.就車輪多邊形磨耗而言,根據(jù)以往研究,輪對(duì)的彎曲振動(dòng)是其重要誘因之一[31],所建立的理論模型能夠反映這一要素.但仍需要指出的是,輪對(duì)同時(shí)存在扭轉(zhuǎn)、彎曲耦合振動(dòng),輪軌法向接觸非線性、蠕滑非線性特性同時(shí)會(huì)影響輪對(duì)的結(jié)構(gòu)振動(dòng).誠然,在本文研究的工況下以垂向振動(dòng)為主,后期在車輛-軌道耦合動(dòng)力學(xué)模型進(jìn)一步集成該模型時(shí),需要綜合考慮輪對(duì)系統(tǒng)的空間彈性振動(dòng)形態(tài).另外,離散時(shí)間傳遞矩陣法可實(shí)現(xiàn)軸、盤類等形狀規(guī)則零件的模塊化建模,但如何利用該方法對(duì)車輪、齒輪箱等空間復(fù)雜曲面及結(jié)構(gòu)等高維問題進(jìn)行動(dòng)力學(xué)建模仍需深入探索.

5 結(jié)論

本文以機(jī)車車輛單軸滾振試驗(yàn)臺(tái)為研究對(duì)象,推導(dǎo)了彈性輪軸及主要參振部件的離散時(shí)間傳遞矩陣,同時(shí)考慮上部構(gòu)架和下部軌道輪組的振動(dòng),建立了試驗(yàn)臺(tái)動(dòng)力學(xué)分析模型,綜合新型顯式積分法、Newmark-β隱式積分法及Riccati 方法對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行了數(shù)值求解.通過打磨軌道輪,開展了高速條件下的輪對(duì)運(yùn)行試驗(yàn)和仿真測試,主要結(jié)論如下.

(1)綜合對(duì)比軌道輪微幅不平順、多邊形沖擊和凹陷式諧波激擾下的計(jì)算和試驗(yàn)結(jié)果,理論模型總體能夠捕捉及反映輪對(duì)結(jié)構(gòu)中高頻的振動(dòng)特性,特別是在500 Hz 以內(nèi)的振動(dòng)能力集中區(qū),時(shí)域上的仿真結(jié)果響應(yīng)規(guī)律和測試結(jié)果比較接近,三種工況下計(jì)算的加速度幅值誤差分別低于9%,5%和5%.

(2)輪對(duì)彈性系統(tǒng)采用離散時(shí)間傳遞矩陣法建模,采用Riccati 方法和Newmark-β隱式積分法求解,外部構(gòu)架及軌道輪振動(dòng)則采用顯式積分求解,上述混合建模和混合積分求解的思路是可行的.

(3)離散時(shí)間傳遞矩陣方法建模時(shí)無需推導(dǎo)系統(tǒng)總體動(dòng)力學(xué)方程,只要具備了各組成部件的傳遞矩陣,不同模型可調(diào)用相應(yīng)模塊并組裝即可,且涉及的矩陣階次低,可實(shí)現(xiàn)快速建模及求解.