基于斷裂力學(xué)的層狀巖石Hoek-Brown準(zhǔn)則修正模型研究

李英杰王炳乾左建平薛東杰劉德軍

中國(guó)礦業(yè)大學(xué)(北京)力學(xué)與建筑工程學(xué)院,北京 100083

泥頁(yè)巖是一種常見沉積巖,約占沉積巖類的70% ,一直被認(rèn)為是含油氣盆地的蓋層巖石[1]。隨著頁(yè)巖氣作為綠色能源進(jìn)行開采,頁(yè)巖也成了儲(chǔ)氣層,其力學(xué)特性越來(lái)越受到重視。 頁(yè)巖在沉積過程中由于特殊的地質(zhì)環(huán)境會(huì)形成層理結(jié)構(gòu),是典型的各向異性材料[2]。 實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明,隨加載方向與層理方向夾角的不同,頁(yè)巖的各向異性表現(xiàn)在變形參數(shù)、物性參數(shù)和強(qiáng)度參數(shù)[3-5]。 對(duì)于頁(yè)巖的強(qiáng)度特征,目前多采用Jaeger[6]提出的經(jīng)典單弱面強(qiáng)度準(zhǔn)則、雙弱面和多弱面強(qiáng)度準(zhǔn)則來(lái)描述其受壓破壞規(guī)律,但弱面強(qiáng)度理論僅能反映含不同傾角巖塊的強(qiáng)度特征,并不能反映層狀巖體的強(qiáng)度特性[7]。 因此,建立適用于層理性頁(yè)巖等各向異性巖石類材料的強(qiáng)度破壞準(zhǔn)則具有理論和現(xiàn)實(shí)意義。

Hoek-Brown 準(zhǔn)則作為巖石破壞的重要判據(jù),能綜合反映巖塊強(qiáng)度、地質(zhì)條件和巖體結(jié)構(gòu),在巖土及地下工程中起著重要作用[8-10]。 其具體表達(dá)式為

式中,σ1、σ3分別為巖體破壞時(shí)的第一、第三主應(yīng)力;σc為巖石試件的單軸抗壓強(qiáng)度;m、s為Hoek-Brown 準(zhǔn)則參數(shù),分別表示巖石的軟硬程度和破碎程度。

為了明確Hoek-Brown 準(zhǔn)則中各參數(shù)的物理力學(xué)意義,Zuo、李洪濤等[11-13]從細(xì)觀角度對(duì)Hoek-Brown 準(zhǔn)則進(jìn)行討論,通過對(duì)巖石中初始裂紋的斷裂力學(xué)分析和數(shù)學(xué)推演得到了巖石三軸壓縮下的破壞特征量,給出了各向同性巖石的Hoek-Brown 準(zhǔn)則的斷裂力學(xué)解釋,從理論上證明了Hoek-Brown 準(zhǔn)則的合理性,并給出了參數(shù)m的表達(dá)式,為進(jìn)一步理論修正Hoek-Brown 準(zhǔn)則各向異性打下了基礎(chǔ)。

目前廣泛使用的Hoek-Brown 準(zhǔn)則多基于各向同性假設(shè)。 為了得到各向異性材料的破壞準(zhǔn)則,許多學(xué)者對(duì)Hoek-Brown 準(zhǔn)則進(jìn)行各向異性修正[14-17]。 大體上分為兩類,一類是直接修正,一類是間接修正。 直接修正是通過在Hoek-Brown 準(zhǔn)則中插入修正參數(shù)來(lái)考慮巖石的各向異性。 如Saroglou 等[14]提出在Hoek-Brown 準(zhǔn)則中插入新的強(qiáng)度各向異性參數(shù)kβ,并用三軸實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合得到kβ值,修正后的公式為

式中,σcβ為不同層理角度頁(yè)巖的單軸抗壓強(qiáng)度。

間接修正是通過改變Hoek-Brown 準(zhǔn)則中的參數(shù)來(lái)考慮巖石的各向異性。 如Lee 等[15]給出了參數(shù)m的分布函數(shù),并運(yùn)用臨界面方法得到三維各向異性修正的Hoek-Brown 準(zhǔn)則。

本研究以各向同性Hoek-Brown 準(zhǔn)則斷裂力學(xué)分析為基礎(chǔ),考慮層理軟弱面對(duì)初始裂紋起裂的影響,建立層狀巖石破壞的斷裂力學(xué)模型,得到Hoek-Brown 準(zhǔn)則各向異性修正模型。 將修正模型和各向異性Hoek-Brown 模型及頁(yè)巖三軸實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比,驗(yàn)證模型的合理性。

1 各向同性Hoek-Brown 準(zhǔn)則斷裂力學(xué)分析

各向同性材料的Hoek-Brown 準(zhǔn)則理論模型基于如下基本假設(shè)[12]:

(1) 完整巖石內(nèi)隨機(jī)分布大量裂紋,裂紋彼此獨(dú)立。

(2) 圍壓對(duì)微破裂有抑制作用,考慮外荷載具有軸對(duì)稱性的環(huán)向等圍壓情況。

(3) 巖石的破壞發(fā)生在與最大主應(yīng)力平行的平面內(nèi),概率相同。

建立如圖1 所示的受等圍壓巖石斷裂力學(xué)模型。 設(shè)初始裂紋與σ3之間的夾角為θ,由斷裂力學(xué)理論知,圖1 中裂紋為純II 型裂紋,初始裂紋所受的有效剪應(yīng)力τθ及裂紋擴(kuò)展條件如下:

圖1 等圍壓下單裂紋斷裂力學(xué)模型[12]Fig.1 Fracture mechanical model of single crack under constant confining pressure

式中,μ為摩擦系數(shù);KⅡ?yàn)镮I 型應(yīng)力強(qiáng)度因子;KIC為I 型斷裂韌度;κ為常數(shù),其根據(jù)斷裂準(zhǔn)則選取不同值。

Zuo 等[11-13]認(rèn)為,單個(gè)裂紋臨界起裂條件不足以引起巖石脆性破壞,而巖石脆性破壞是巖石內(nèi)部微破裂密度達(dá)到極限的結(jié)果。 通過數(shù)學(xué)分析推導(dǎo)得到各向同性巖石Hoek-Brown 準(zhǔn)則表達(dá)式:

本研究以式(3)為基礎(chǔ),推導(dǎo)適合層狀巖石的修正模型中m的表達(dá)式。

2 Hoek-Brown 準(zhǔn)則各向異性修正

2.1 模型參數(shù)m 的各向異性修正

層狀巖石層理弱面的存在影響裂紋的起裂擴(kuò)展方向,此時(shí)各向同性斷裂分析中的式(2)不再適用。 在前述研究的基礎(chǔ)上,考慮層理面對(duì)裂紋起裂的各向異性作用,建立層狀巖石含單一裂紋的平面斷裂力學(xué)模型,如圖2 所示。 建立該模型時(shí),除了滿足各向同性材料的Hoek-Brown 準(zhǔn)則斷裂力學(xué)分析的基本假設(shè)外,還認(rèn)為層狀巖石破壞也是內(nèi)部微破裂密度達(dá)到極限的結(jié)果,但此時(shí)的破壞發(fā)生在一定“區(qū)域”中,該“區(qū)域”既包含層理又包含基質(zhì)。

圖2 模型認(rèn)為,巖石存在與最小主應(yīng)力夾角為θ的初始微裂紋,同時(shí)存在層理弱面,其與最小主應(yīng)力夾角為β。 為了分析方便,建立初始裂紋尖端直角坐標(biāo)軸x′y′,x′軸沿著初始裂紋方向,y′軸與x′軸垂直,層理與x軸夾角為θ′。 初始裂紋尖端坐標(biāo)系下分叉裂紋方位角θ′,主應(yīng)力坐標(biāo)系下層理方位角β與初始微裂紋方位角θ的幾何關(guān)系為:θ=β+θ′。

圖2 等圍壓下層狀巖石含單裂紋斷裂力學(xué)模型Fig.2 Fracture mechanics model of bedding rock with single crack under constant confining pressure

研究表明[18],對(duì)于純Ⅰ、純Ⅱ型裂紋,當(dāng)弱面方向斷裂韌性與其他方向斷裂韌性的比值分別小于0.259 4、0.662 1 時(shí),裂紋總會(huì)偏轉(zhuǎn)到弱面方向上。 模型首先考慮層理面足夠軟弱使得初始裂紋全部偏轉(zhuǎn)到層理軟弱面的情況。

初始裂紋擴(kuò)展過程中尖端和沿層理方向會(huì)有分叉裂紋。 為了研究初始裂紋偏轉(zhuǎn)到層理弱面后進(jìn)一步起裂擴(kuò)展條件,建立層理分叉裂紋尖端的坐標(biāo)系,其幾何和受力情況如圖3 所示。 Hou 等[19]以裂紋尖端的Williams 應(yīng)力解[20][式(4)]為基礎(chǔ),認(rèn)為與初始裂紋尖端夾角為θ′的分叉裂紋起裂擴(kuò)展微小段距離a時(shí),根據(jù)連續(xù)性假設(shè),分叉裂紋尖端的應(yīng)力等于初始裂紋尖端角度θ′處應(yīng)力σr′r′、σθ′θ′、τr′θ′。 如式(5)所示。

圖3 分叉裂紋尖端幾何與受力示意圖Fig.3 Geometry and stress of the branch crack system

以此為基礎(chǔ),將層狀巖石初始裂隙沿層理面方向的分叉裂紋方位角θ′代入初始裂紋Williams 應(yīng)力解,得層理方向分叉裂紋尖端能量釋放率Gθ′:

式中,KⅠ、KⅡ?yàn)槌跏剂鸭y的應(yīng)力強(qiáng)度因子分別為層理方向分叉裂紋尖端Ⅰ型、Ⅱ型應(yīng)力強(qiáng)度因子;E′為巖石的彈性模量。

將式(4)代入式(5),層理方向分叉裂紋尖端能量釋放率Gθ′:

依據(jù)斷裂力學(xué)理論,當(dāng)分叉裂紋尖端能量釋放率達(dá)到臨界值Gθc時(shí)開始起裂,Gθc可通過Ⅰ型裂紋斷裂韌性KIC求得:

對(duì)于不考慮T應(yīng)力的純Ⅱ型裂紋,沿層理方位分叉裂紋尖端能量釋放率由式(6)得到:

聯(lián)立式(8) ～式(10),得到沿層理弱面分叉裂紋起裂準(zhǔn)則如下:

“誰(shuí)在外面？”病房里的人聽見門口的動(dòng)靜出聲詢問。雷染君回過神，抹干眼淚站起來(lái)，看見姜祈緩緩下了床，艱難地挪動(dòng)到門邊。雷染君推開門，目光第一時(shí)間落在他病服袖口之外的纏著紗布的雙腕上。她緊緊抿住嘴唇，雙手局促不安地握在一起。頭發(fā)束成的馬尾也像失去了往常的活力，毫無(wú)生氣地耷拉著。

代入初始裂紋方位角和層理面方位角幾何關(guān)系式,可得方向?yàn)棣瘸跏嘉⒘鸭y沿層理分叉后起裂條件:

初始裂紋KII對(duì)角度求導(dǎo)計(jì)算極值,得到初始裂紋角度中引起巖石破裂臨界角θ0:

在該角度下巖石的初始裂紋應(yīng)力強(qiáng)度因子達(dá)到最大,最容易引起巖石破裂。 選取θ0作為層理巖石初始微裂紋角,此時(shí)最容易發(fā)生沿層理的破壞。 將θ0代入式(12)得到含層理巖石沿著層理起裂應(yīng)滿足的必要條件:

對(duì)比式(2),κ可以寫成層理角度的函數(shù)κ(β),則有:

根據(jù)式(3)各向同性材料Hoek-Brown 準(zhǔn)則中m參數(shù)表達(dá)形式,對(duì)于含層理的各向異性巖石,m1可以表示為

式中,μ′、σc′、σt′分別為層理面摩擦系數(shù)、抗壓強(qiáng)度和抗拉強(qiáng)度。

結(jié)合式(16)、式(17)進(jìn)一步改寫為

式中,m0為m1中不隨層理角度變化部分。

2.2 模型各向異性修正

上述分析中首先考慮層理面足夠弱的情況,此時(shí)裂紋總是沿層理方向起裂。 但是層狀頁(yè)巖的真實(shí)斷裂和破壞十分復(fù)雜,并不總是呈現(xiàn)沿層理面方向的起裂擴(kuò)展。 同時(shí),不同層理角度頁(yè)巖沿層理方向起裂裂紋數(shù)量呈現(xiàn)出明顯的差異性[21],因此模型修正需要考慮裂紋沿層理和基質(zhì)同時(shí)起裂對(duì)參數(shù)m的影響。

設(shè)Hoek-Brown 準(zhǔn)則參數(shù)m沿層理起裂和沿基質(zhì)起裂時(shí)分別為m1、m2。 初始裂紋沿基質(zhì)起裂可以利用各向同性斷裂力學(xué)分析結(jié)果[12],則Hoek-Brown 準(zhǔn)則參數(shù)m2:

引入修正系數(shù)α表征層狀巖石初始裂紋沿層理和沿基質(zhì)起裂擴(kuò)展的比例,則參數(shù)m可以表示為

修正系數(shù)α說(shuō)明層理弱面影響的程度。α值越大,說(shuō)明受層理面影響沿層理方向起裂的初始裂紋數(shù)量越多,此時(shí)層理面對(duì)各向異性影響越大。 修正系數(shù)α 可以通過實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合得到。

在各向同性巖石Hoek-Brown 準(zhǔn)則斷裂力學(xué)分析基礎(chǔ)上,代入式(21)以及不同層理角度的抗壓強(qiáng)度σcβ,得到層狀巖石各向異性修正式:

修正式是在各向同性Hoek-Brown 強(qiáng)度準(zhǔn)則的斷裂力學(xué)理論基礎(chǔ)上發(fā)展而來(lái)。 認(rèn)為巖石破壞是微破裂密度達(dá)到極限,繼承了各向同性Hoek-Brown 強(qiáng)度準(zhǔn)則巖石破壞特征量的選擇,反映了巖石的細(xì)觀破壞機(jī)理,同時(shí)考慮層理各向異性的影響,準(zhǔn)則中的相關(guān)參數(shù)物理意義明確。

2.3 修正系數(shù)α 和摩擦系數(shù)μ 對(duì)m 的影響分析

由上述分析知,式(21)中的參數(shù)m具有明確的表達(dá)式,其與修正系數(shù)α及基質(zhì)和層理的抗拉強(qiáng)度σt、抗壓強(qiáng)度σc、摩擦系數(shù)μ、κ、κ(β)值有關(guān)。下面將研究修正系數(shù)α和層理摩擦系數(shù)μ′取不同值時(shí)對(duì)m的影響。

設(shè)m0為4,m2為5,α分別取0、0.5、0.6、0.7、0.8、1 時(shí)α的敏感性曲線如圖4 所示。 從圖4 中看出,當(dāng)α＜1 時(shí),m曲線隨層理角度先減小后增大,在臨界角θ0處取得最小值。α對(duì)m曲線的幅值影響較大,即不同層理角度下m隨修正系數(shù)α的減小而增加,并且隨著β角的增大,曲線變化幅度隨α增加而增加;當(dāng)α=0 時(shí),m=m2,此時(shí)m為常數(shù),等于各向同性基巖的材料參數(shù)m2;當(dāng)α=1 時(shí),m=m1,此時(shí)參數(shù)m會(huì)隨層理角度發(fā)生較大變化,呈現(xiàn)出更加明顯的隨層理角度的差異性。 修正系數(shù)α反映了層理對(duì)巖石的影響程度,從而表征材料參數(shù)m的各向異性程度。

圖4 參數(shù)α 敏感性曲線Fig.4 Sensitivity curve of parameter α

設(shè)σ′c/σ′t為5,m2為4,α 為0.8,μ′分別取0.5、0.6、0.7、0.8 時(shí),μ′的敏感性曲線如圖5 所示。圖5 中顯示,μ′取不同值的情況下,m曲線隨層理角度先減小后增大,但曲線隨層理角度的變化幅度并不明顯。 在臨界角θ0處取得最小值,因?yàn)槟Σ料禂?shù)μ′的變化會(huì)改變模型中臨界角,因此曲線極小值點(diǎn)的位置并不同。 在相同的β角下,m值隨著μ′增加而變大。 因?yàn)殡S著摩擦系數(shù)μ′增加,巖石抗剪切的能力和強(qiáng)度都提高。

圖5 參數(shù)μ′敏感性曲線Fig.5 Sensitivity curve of parameter μ′

3 各向異性修正模型參數(shù)確定及驗(yàn)證

由前述推導(dǎo)過程可知,式(17)中的層理相關(guān)力學(xué)參數(shù)的μ′、σ′c、σ′t可以直接測(cè)試;κ(β)計(jì)算由式(16)知需要已知材料參數(shù)θ0,θ0通過式(14)在已知μ′時(shí)可計(jì)算出來(lái)。 同理,m2與基質(zhì)相關(guān)的力學(xué)參數(shù)μ、σc、σt、κ也可通過實(shí)驗(yàn)測(cè)定。

除了上述實(shí)驗(yàn)方法,還可以通過三軸實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合得到部分材料參數(shù)的近似值。 由于層理面分布在基巖中,且材料性質(zhì)不同于基巖,很難單獨(dú)得到層理和基巖的準(zhǔn)確材料常數(shù)。 因此,選取不同角度的試件進(jìn)行三軸實(shí)驗(yàn),擬合得到的m最小值和最大值分別作為層理和基巖的材料常數(shù)m0和m2的估計(jì)值,從而得到修正模型的材料常數(shù)m0、m2。

修正系數(shù)α 需由擬合得到:

(1) 通過單軸壓縮實(shí)驗(yàn)得到不同層理角度巖石的單軸抗壓強(qiáng)度σcβ;

(2) 通過實(shí)驗(yàn)確定m0、m2,再通過三軸實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合得到μ′,根據(jù)式(14)計(jì)算得到θ0;

(3) 在確定θ0和m0后,根據(jù)式(18)將不同層理角度β代入,得到不同層理角度試件的m0;

(4) 將得到的不同角度試件的m1、m2代入式(22),得到各層理角度試件的修正系數(shù)α。

文獻(xiàn)[22-25]進(jìn)行了不同層理角度不同圍壓下頁(yè)巖三軸壓縮實(shí)驗(yàn),可利用文獻(xiàn)中頁(yè)巖的實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)推導(dǎo)的修正模型驗(yàn)證。 其中,實(shí)驗(yàn)所用試件頁(yè)巖1、頁(yè)巖2、頁(yè)巖3 取自龍馬溪組,頁(yè)巖4 取自牛蹄塘組。 對(duì)層狀頁(yè)巖三軸實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合,得到修正的Hoek-Brown 準(zhǔn)則相關(guān)參數(shù)(表1),進(jìn)而計(jì)算得到不同層理角度頁(yè)巖試件的修正參數(shù)α 及相關(guān)系數(shù)R2(表2)。 將得到的各個(gè)參數(shù)代入式(22),可以繪制出兩組頁(yè)巖修正的Hoek-Brown 準(zhǔn)則曲線,如圖6所示。 與實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比可以看出,擬合的相關(guān)系數(shù)較高,證明理論與實(shí)驗(yàn)結(jié)果吻合較好。 同時(shí),對(duì)文獻(xiàn)[7]中的板巖三軸實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行了模型驗(yàn)證,結(jié)果如圖7 所示,理論與實(shí)驗(yàn)結(jié)果吻合較好,證明修正模型對(duì)其他層狀巖石也具有一定的適用性。

表1 修正的Hoek-Brown 準(zhǔn)則相關(guān)參數(shù)擬合結(jié)果Table 1 The determination of parameters for the modified Hoek-Brown criterion

表2 修正的Hoek-Brown 準(zhǔn)則三軸壓縮實(shí)驗(yàn)擬合結(jié)果Table 2 Fitting results of modified Hoek-Brown criterion for triaxial compression test

圖6 龍馬溪組、牛蹄塘組不同層理角度頁(yè)巖修正的Hoek-Brown 準(zhǔn)則曲線及三軸實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比Fig.6 Comparison of modified Hoek-Brown criterion curve with triaxial experimental results for Longmaxi and Niutitang shales with different bedding angles

圖7 板巖三軸實(shí)驗(yàn)結(jié)果、修正的Hoek-Brown 模型及Pietruszezak 模型曲線對(duì)比Fig.7 Comparison of modified Hoek-Brown criterion curve with triaxial experimental results and Pietruszezak model curve for slate

在Hoek-Brown 各向異性修正模型中,Pietruszczak[15]基于臨界面方法提出的模型具有較為明確的物理意義。 該模型認(rèn)為層狀巖石為橫觀各向同性體,m隨角度的空間分布可寫成

式中,a1、a2為與方向無(wú)關(guān)的系數(shù);Ω0為描述空間分布偏差的二階張量Ω的主系數(shù),在橫觀各向同性的情況下可以寫成Ω0=Ω11=Ω33。

本文通過不同層理角度的三軸壓縮實(shí)驗(yàn)得到Pietruszczak 修正模型中擬合的相關(guān)系數(shù)(表3、表4)。 將本文修正模型的擬合曲線和Pietruszczak 修正模型的擬合曲線及實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比(圖6、圖7),結(jié)果顯示,本文的各向異性修正模型擬合效果較好,說(shuō)明本文的各向異性修正模型能夠較好地表征層狀巖石的各向異性破壞。

表3 Pietruszczak 各向異性模型參數(shù)擬合結(jié)果Table 3 The determination of parameters for the Pietruszczak modified Hoek-Brown criterion

表4 Pietruszczak 各向異性修正模型對(duì)三軸壓縮實(shí)驗(yàn)擬合結(jié)果Table 4 Fitting results of Pietruszczak model for triaxial compression test

5 結(jié) 論

本文從各向同性Hoek-Brown 強(qiáng)度準(zhǔn)則的斷裂力學(xué)理論出發(fā),建立了含層理巖石的各向異性Hoek-Brown 強(qiáng)度準(zhǔn)則修正模型,并與已有的模型及實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比驗(yàn)證,得到以下結(jié)論:

(1) 考慮層狀巖石中層理弱面對(duì)裂紋偏轉(zhuǎn)的影響, 建立了含層理巖石初始微裂紋沿層理起裂應(yīng)滿足的必要條件,引入表征初始裂紋最容易引起基質(zhì)發(fā)生破裂的臨界角θ0,得到各向同性Hoek-Brown 強(qiáng)度準(zhǔn)則的斷裂力學(xué)理論中參數(shù)κ隨層理角度變化關(guān)系式,進(jìn)而建立了層理弱面主導(dǎo)裂紋偏轉(zhuǎn)的參數(shù)m1各向異性公式。

(2) 從各向同性Hoek-Brown 強(qiáng)度準(zhǔn)則的斷裂力學(xué)理論出發(fā),對(duì)于層理巖石,考慮了斷裂參數(shù)κ及單軸抗壓強(qiáng)度σc隨層理角度的各向異性。 引入考慮層狀巖石沿層理和沿基質(zhì)混合破裂的修正系數(shù)α,建立了Hoek-Brown 準(zhǔn)則各向異性修正模型。 修正模型反映了巖石的微觀破壞機(jī)理,同時(shí)考慮了層理各向異性的影響,準(zhǔn)則中的相關(guān)參數(shù)物理意義明確。

(3) 修正模型中相關(guān)參數(shù)可以通過實(shí)測(cè)或者擬合實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)得到。 將修正模型預(yù)測(cè)結(jié)果與頁(yè)巖和板巖的三軸壓縮實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比,吻合較好。 同時(shí),與Pietruszczak 建立的Hoek-Brown 各向異性修正模型進(jìn)行比較,反映出該模型對(duì)各向異性頁(yè)巖的強(qiáng)度破壞描述的有效性。