含濕相變粗糙多孔材質(zhì)的熱質(zhì)耦合分形研究*

高偉業(yè)，張 賽，張 杰，胡世旺，汪振毅

（昆明理工大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，昆明 650500）

引言

多孔材質(zhì)內(nèi)部復(fù)雜的傳熱傳質(zhì)過程對于能源開發(fā)和工程隔熱等領(lǐng)域至關(guān)重要[1-2]，因此研究多孔材質(zhì)的熱質(zhì)耦合傳遞具有重要的工程應(yīng)用價值.馮守玲等[3]假定多孔材質(zhì)為均勻連續(xù)結(jié)構(gòu)，構(gòu)建了不同粒徑和不同流速下的多孔介質(zhì)固定床模型，根據(jù)連續(xù)性方程對溫度場分布進(jìn)行了數(shù)值模擬研究.何增等[4]運用數(shù)值離散方法，對氣體在低含水率介質(zhì)中的遷徙進(jìn)行了數(shù)值模擬，得出了估算氣體遷徙距離的半經(jīng)驗公式.石金誠等[5]運用能量分析的方法和微分不等式技術(shù)，構(gòu)建了雙擴(kuò)散擾動模型，分析了流體在多孔介質(zhì)中的流動情況.實際上，多孔材質(zhì)的內(nèi)部是非均勻連續(xù)的，其內(nèi)部的結(jié)構(gòu)參數(shù)對傳熱傳質(zhì)過程有著重要意義.徐鵬等[6]和Li 等[7]根據(jù)多尺度多孔介質(zhì)的分形標(biāo)度特征，建立了光滑單相毛細(xì)管道模型，分析了多孔材質(zhì)內(nèi)部參數(shù)對氣體的滲流和擴(kuò)散機(jī)制的影響.張賽等[8]運用分形理論建立了具有隨機(jī)性的氣體擴(kuò)散模型，分析了氣體的不同擴(kuò)散機(jī)制與結(jié)構(gòu)參數(shù)之間的關(guān)系.陳家豪等[9]根據(jù)改進(jìn)的偽勢格子Boltzmann(LB)兩相模型，結(jié)合幾何潤濕邊界條件，分析了多孔介質(zhì)內(nèi)接觸角滯后性對非混相驅(qū)替效率的影響.Wu 等[10]建立了多尺度的球狀模型，將孔隙通道描述為不規(guī)則半徑毛細(xì)管道，推導(dǎo)出不規(guī)則半徑毛細(xì)管道內(nèi)的滲流系數(shù)和導(dǎo)熱系數(shù).這些研究只分析了多孔材質(zhì)的孔道表面為光滑條件下的傳熱和傳質(zhì)特性.實際工程中，孔道表面一般為粗糙表面，并且多孔材質(zhì)中的傳熱傳質(zhì)過程有耦合作用.鄭川等[11]基于多孔介質(zhì)傳熱和地下水流動理論，建立了一維滲流-傳熱模型，分析了滲流速度、方向?qū)艿纻鳠崽匦缘挠绊?張春平[12]建立了粗糙表面管道模型，對粗糙微細(xì)通道內(nèi)的流動和換熱特性進(jìn)行了研究，發(fā)現(xiàn)孔道尺度越小，粗糙表面對流動和換熱特性的影響越大.盛漢乾[13]建立了微波加熱多孔瀝青路面耦合模型，分析了含濕狀態(tài)下孔隙率等結(jié)構(gòu)參數(shù)對微波加熱效果的影響.可以看出，多孔材質(zhì)的內(nèi)部結(jié)構(gòu)、含濕狀態(tài)和相變都對熱質(zhì)耦合傳遞過程有著重要影響.

為了準(zhǔn)確體現(xiàn)內(nèi)部結(jié)構(gòu)、含濕狀態(tài)和相變對熱質(zhì)耦合傳遞過程的影響，本文運用分形理論構(gòu)建了含濕相變粗糙表面孔道模型，推導(dǎo)出了含有明確物理參數(shù)的滲流系數(shù)和耦合等效導(dǎo)熱系數(shù)的表達(dá)式，分析了多孔材質(zhì)的結(jié)構(gòu)參數(shù)、含濕飽和度和相變對熱質(zhì)耦合傳遞的影響.

1 多孔材質(zhì)的分形特征

2 含濕相變粗糙表面孔道模型

2.1 Gauss 函數(shù)粗糙表面模擬

對于多孔材質(zhì)孔道粗糙表面的粗糙度的定義大致分為兩類：一類為粗糙元的高度與其底部等效半徑的比值，稱為絕對粗糙度；另一類為粗糙元的高度與孔道半徑的比值，稱為相對粗糙度.因為相對粗糙度與孔道之間的聯(lián)系更加明顯，本文選取相對粗糙度對孔道粗糙表面進(jìn)行描述：

式中，?為相對粗糙度；h為粗糙元的高度，m.

在直角坐標(biāo)系下，假設(shè)m個點Pi(xi,yi,zi)，其中i的取值區(qū)間為[1，m]，x和y方向為固定間距取值，z方向為粗糙元的隨機(jī)高度，xi，yi，zi的表達(dá)式為

式中，Δx=0.1，Δy=0.1 分別為x和y方向的增量，?為滿足要求的Gauss 函數(shù)隨機(jī)生成的相對粗糙度.

粗糙表面的粗糙元為隨機(jī)分布并且相對粗糙度?的取值區(qū)間一般為0.05～0.1，為了保證99.7%相對粗糙度?的取值分布在此區(qū)間，取Gauss 函數(shù)置信區(qū)間為

可求出函數(shù)均值u=0.075，函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差n=0.008.

故可構(gòu)建出符合相對粗糙度?取值區(qū)間的Gauss 函數(shù)為

式中，函數(shù)方差σ=n2.

圖1 為孔道粗糙表面的三維仿真圖，其中孔道半徑r=20 μm，并展開x和y方向長度為20 μm 的粗糙平面.將其劃分為200 個網(wǎng)格點，并進(jìn)行矩陣排列，每一個(xi，yi)點對應(yīng)一個隨機(jī)高度zi=?r.可以看出粗糙元的高度分布符合隨機(jī)分布并且符合上述相對粗糙度?的取值區(qū)間.

圖1 Gauss 函數(shù)三維粗糙表面模型Fig.1 The Gauss function 3D rough surface model

2.2 孔道有效半徑

根據(jù)上述可知，粗糙元的存在對多孔材質(zhì)孔道半徑的影響不可忽略.此外，當(dāng)孔道內(nèi)存在濕相并且發(fā)生相變時，孔道半徑會隨著飽和度s的變化而變化，進(jìn)而影響其內(nèi)部的熱質(zhì)耦合傳遞過程，使其耦合傳遞過程更加復(fù)雜.所以當(dāng)粗糙表面孔道存在含濕相變問題時，其非濕相孔道有效半徑可以表示為與相對粗糙度?和飽和度s有關(guān)的函數(shù)：

從式(13)可以看出相對粗糙度?和飽和度s都是其重要的影響因素.

3 含濕相變粗糙表面多孔材質(zhì)滲流系數(shù)

3.1 滲流量

3.2 滲流系數(shù)

4 含濕相變粗糙表面多孔材質(zhì)耦合等效導(dǎo)熱系數(shù)

含濕相變粗糙表面多孔材質(zhì)內(nèi)部的傳熱過程十分復(fù)雜.其內(nèi)部包括固相、濕相、氣相各自和彼此之間的傳熱過程，此外滲流過程也會極大地影響傳熱過程.下文分析了各相的傳熱過程以及熱質(zhì)耦合傳遞過程，并推導(dǎo)出熱質(zhì)耦合作用下的等效導(dǎo)熱系數(shù).

4.1 固相傳熱過程

固相的傳熱過程主要包括固相之間的熱量傳遞、固相的熱量儲存以及固相和濕相之間的熱量傳遞：

式中，(ρc)m為固相密度比熱容積，kJ/( kg·m3·K)；?Tm/?t為固相溫度變化梯度，℃/s；?Tm/?l為固相兩端溫度梯度，℃/m；Q1為固相與濕相之間的對流換熱量，kJ；λm為固相在Tm下的導(dǎo)熱系數(shù)，W/(m·K).

4.2 濕相傳熱過程

濕相的傳熱過程主要包括濕相傳質(zhì)過程引起的熱量傳遞，濕相的熱量儲存，濕相和固相、氣相之間的熱量傳遞以及濕相相變引起的熱量傳遞：

式中，(ρc)w為濕相密度比熱容積，kJ/( kg·m3·K)；?Tw/?t為濕相溫度變化梯度，℃/s；?Tw/?l為濕相兩端溫度梯度，℃/m；Q2為濕相與固相、氣相之間的對流換熱量，kJ；γ 為濕相相變潛熱系數(shù)；λw為固相在Tw下的導(dǎo)熱系數(shù)，W/(m·K)；uw=kcwΔP/(μwL0)為濕相的滲流速度，m/s；M=(s1–s)ρv為濕相的相變質(zhì)量，kg.

4.3 氣相傳熱過程

氣相的傳熱過程主要包括氣相傳質(zhì)過程引起的熱量傳遞、氣相的熱量儲存以及氣相和濕相之間的熱量傳遞：

式中，(ρc)g為濕相密度比熱容積，kJ/( kg·m3·K)；?Tg/?t為氣相溫度變化梯度，℃/s；?Tg/?l為氣相兩端溫度梯度，℃/m；Q3為氣相與濕相之間的對流換熱量，kJ；λg為氣相在Tg下的導(dǎo)熱系數(shù)，W/(m·K)；ug=kcgΔP/(μgL0)為氣相的滲流速度，m/s.

根據(jù)能量守恒有

4.4 熱質(zhì)耦合等效導(dǎo)熱系數(shù)

聯(lián)立式(21)～(24)，根據(jù)Fourier 熱傳導(dǎo)定律，在考慮相對粗糙度、飽和度以及耦合作用情況下的熱質(zhì)耦合等效導(dǎo)熱系數(shù)的表達(dá)式為

式中，λdeff為等效導(dǎo)熱系數(shù)，W/(m·K)；?Tdeff/?l為等效溫度梯度，℃/m.可以看出，對于多孔材質(zhì)而言，其內(nèi)部結(jié)構(gòu)參數(shù)、傳質(zhì)過程和相變對傳熱過程有著重要的影響.

5 分析與討論

上文已給出多孔材質(zhì)孔道相對粗糙度的取值區(qū)間為0.05～0.1.分形維數(shù)可由分形理論與孔道半徑求得，當(dāng)rmin/rmax→ 10–3，孔隙率取值在0.25～0.5 時，面積分形維數(shù)Df取值為1.8～1.9，迂曲分形維數(shù)Dt取值為1.1～1.2.

5.1 等效導(dǎo)熱系數(shù)與孔隙率的關(guān)系

圖2 為多孔材質(zhì)等效導(dǎo)熱系數(shù)λdeff的數(shù)值解與理論解的對比.從圖2 中可以看出，當(dāng)不考慮耦合和相變因素時，式(25)得到的數(shù)值解與文獻(xiàn)[15]中的理論解吻合得很好.當(dāng)考慮耦合和相變因素時，等效導(dǎo)熱系數(shù)λdeff會有所增大，并且增大幅度隨著孔隙率φ 的增加而增大.這是因為孔隙率φ 的增加會增大濕相的含量，從而導(dǎo)致滲流量和相變量增加，并且滲流和相變引起的熱量傳遞遠(yuǎn)大于固相和氣相引起的熱量傳遞.通過以上分析可知，滲流和相變引起的熱量傳遞在等效導(dǎo)熱系數(shù)中的占比較大.

圖2 等效導(dǎo)熱系數(shù)λdeff 與孔隙率φ 的關(guān)系Fig.2 The relationship between equivalent thermal conductivity λdeff and porosity φ

5.2 環(huán)狀滲流系數(shù)的影響因素

圖3 為在不同的面積分形維數(shù)Df下濕相環(huán)狀滲流系數(shù)kcw與飽和度s的關(guān)系.圖3 表明，當(dāng)相對粗糙度ε=0.075，迂曲分形維數(shù)Dt=1.15，面積分形維數(shù)Df分別為1.8，1.85，1.9 時，kcw隨著s的增大而增大，并且kcw的變化幅度逐漸減小，在s=0.7 后，kcw趨近于濕相飽和滲流系數(shù).這是因為s增大，濕相含量增加，滲流量增加，并且隨著s的增大，濕相含量的增加量越來越少.同時，圖3 也表明，當(dāng)s相同時，Df越大，kcw越大.這是因為Df越大，孔隙率越大，并且大孔徑孔道的數(shù)量增加，流動性能提高，有利于滲流.

圖3 面積分形維數(shù)Df 對環(huán)狀滲流系數(shù)kcw 的影響Fig.3 The influence of area fractal dimension Df on annular seepage coefficient kcw

圖4 給出了在不同的迂曲分形維數(shù)Dt下濕相環(huán)狀滲流系數(shù)kcw與飽和度s的關(guān)系.圖4 表明，當(dāng)ε=0.075，Df=1.85，Dt分別為1.1，1.15，1.2 時，kcw隨著s的增大而增大.圖4 也表明，當(dāng)s相同時，Dt越大，kcw越小.這是因為Dt越大，孔道的迂曲程度越大，滲流過程中阻力越大，越不利于滲流.

圖4 迂曲分形維數(shù)Dt 對環(huán)狀滲流系數(shù)kcw 的影響Fig.4 The influence of tortuous fractal dimension Dt on annular seepage coefficient kcw

圖5 給出了在不同的飽和度s下濕相環(huán)狀滲流系數(shù)kcw與相對粗糙度ε 的關(guān)系.圖5 表明，當(dāng)Df=1.85，Dt=1.15，s分別為0.4，0.5，0.6 時，kcw隨著ε 的增大而減小，并且隨著ε 的增大，不同s取值下的kcw差距逐漸減小.這是因為相對粗糙度ε 越大，孔道有效半徑越小，滲流量減少，kcw減小，并且ε 越大，影響作用越明顯.同時，圖5 也表明，當(dāng)ε 相同時，s越大，kcw越大.這是因為s越大，濕相含量越大，滲流量越大，kcw越大.

圖5 飽和度s 對環(huán)狀滲流系數(shù)kcw 的影響Fig.5 The influence of saturation s on annular seepage coefficient kcw

5.3 等效導(dǎo)熱系數(shù)的影響因素

圖6 給出了在不同滲流系數(shù)下等效導(dǎo)熱系數(shù)λdeff與相對粗糙度ε 的關(guān)系.圖6 表明，當(dāng)滲流系數(shù)相同時，λdeff隨著ε 的增大而減小.這是因為隨著相對粗糙度ε 的增大，孔道的有效半徑減小，孔隙率φ 減小，雖然固相的熱量傳遞有所增加，但增加量遠(yuǎn)小于濕相和相變的熱量傳遞減少量，與圖2 分析一致.同時，圖6 也表明，當(dāng)ε 相同時，λdeff隨著滲流系數(shù)的增加而增大.這是因為滲流系數(shù)增加，濕相和氣相的滲流速度增加，滲流量增加，滲流過程對熱量傳遞的影響增大.

圖6 滲流系數(shù)對等效導(dǎo)熱系數(shù)λdeff 的影響Fig.6 The effect of the seepage coefficient on equivalent thermal conductivity λdeff

圖7 給出了在相同初始飽和度s1=0.5 時，不同飽和度s下的等效導(dǎo)熱系數(shù)λdeff與相對粗糙度ε 的關(guān)系.圖7表明，當(dāng)ε 相同時，λdeff隨著s的減小而增大.這是因為飽和度s減小，相變量增加，相變的熱量傳遞增加量大于滲流的熱量傳遞減少量.同時，圖7 也表明，當(dāng)ε 越來越大，不同s下的λdeff差距越來越小.一方面是因為相變對熱量傳遞的影響越來越??；另一方面是因為有效半徑減小，孔隙率φ 減小，相變引起的氣體膨脹壓強(qiáng)差對滲流速度的促進(jìn)效果越來越明顯，同一ε 下，滲流量增加，滲流對熱量傳遞的影響增大.

圖7 飽和度s 對等效導(dǎo)熱系數(shù)λdeff 的影響Fig.7 The influence of saturation s on equivalent thermal conductivity λdeff

6 結(jié)論

本文根據(jù)Gauss 隨機(jī)分布函數(shù)建立了含濕粗糙表面孔道模型，運用分形理論推導(dǎo)出了含濕相變粗糙表面多孔材質(zhì)的滲流系數(shù)和耦合等效導(dǎo)熱系數(shù)的表達(dá)式.定量分析了面積分形維數(shù)、迂曲分形維數(shù)、含濕飽和度及相對粗糙度對滲流系數(shù)、耦合等效導(dǎo)熱系數(shù)的影響.結(jié)果表明：

1)濕相非飽和滲流過程中，環(huán)狀滲流系數(shù)隨著飽和度的增加而增大，并且增大幅度逐漸減小.當(dāng)飽和度到達(dá)0.7 后，環(huán)狀滲流系數(shù)趨近于飽和滲流系數(shù).

2)熱量傳遞過程中，滲流和相變引起的熱量傳遞對等效導(dǎo)熱系數(shù)的影響不可忽略.

3)相同初始飽和度的情況下，孔隙率越小，相變對熱量傳遞的效果越來越不明顯，相變引起的氣體膨脹壓強(qiáng)差越來越明顯.