關(guān)于均勻帶電球面上電場(chǎng)強(qiáng)度的求解

蔡莉莉 張曉燕

（華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部物理教研室，河北廊坊 065201）

關(guān)于均勻帶電球面上電場(chǎng)強(qiáng)度的求解

蔡莉莉 張曉燕

（華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部物理教研室，河北廊坊 065201）

由于均勻帶電球面上的電場(chǎng)強(qiáng)度無(wú)法用高斯定理求出，現(xiàn)行大部分大學(xué)物理基礎(chǔ)教材在討論均勻帶電球面產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)分布時(shí)，只用高斯定理求出了該帶電系統(tǒng)內(nèi)外空間電場(chǎng)的分布，并沒有給出球面上場(chǎng)強(qiáng)的計(jì)算方法，只是指出在球面上場(chǎng)強(qiáng)值不連續(xù)．文章利用疊加原理和電容器能量的變化兩種方法分別導(dǎo)出了均勻帶電球面上任一點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)值，驗(yàn)證了均勻帶電球面的場(chǎng)強(qiáng)是不連續(xù)的，兩種方法思路截然不同，但得到的結(jié)果完全相同，該結(jié)果使得高斯定理求出的均勻帶電球面在空間電場(chǎng)分布的結(jié)論更加完整．

均勻帶電球面；高斯定理；電場(chǎng)強(qiáng)度；疊加原理；電容器能量

在靜電學(xué)中求解電荷在空間激發(fā)的場(chǎng)強(qiáng)是靜電場(chǎng)的基礎(chǔ)，當(dāng)電荷呈對(duì)稱分布時(shí)其所激發(fā)的電場(chǎng)也呈對(duì)稱分布，這時(shí)只要選取恰當(dāng)?shù)母咚姑婢洼^容易地求出場(chǎng)強(qiáng)分布［1］．例如求半徑為R的均勻帶電量為q的球面電場(chǎng)強(qiáng)度分布問(wèn)題，用高斯定理不難求出球面內(nèi)外的場(chǎng)強(qiáng)為

該結(jié)論沒有給出球面上任一點(diǎn)（即r＝R）的電場(chǎng)強(qiáng)度，大部分大學(xué)物理教材中只是指出在球面上場(chǎng)強(qiáng)值不連續(xù)或有一突變［2，3］，但并未給出其具體值，這是由于球面上的場(chǎng)強(qiáng)既不能用兩邊取極限的辦法求出，也無(wú)法用高斯定理求解．如果把球面本身作為高斯面就無(wú)法確定電荷是在面內(nèi)還是在面外，由于電荷的面分布是一種理想化的電荷分布模型，實(shí)際的帶電面總有一定的厚度［4］．對(duì)于理想化的均勻帶電球面上的場(chǎng)強(qiáng)如何求解是初學(xué)者經(jīng)常會(huì)提出的疑問(wèn)，以下我們總結(jié)了求均勻帶電球面上任一點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)的兩種方法．

1 疊加原理求球面上一點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度

關(guān)于球面上場(chǎng)強(qiáng)的求解最直接的方法就是用疊加原理通過(guò)積分的方法計(jì)算，即把均勻帶電球面看作是由無(wú)限多個(gè)以場(chǎng)點(diǎn)與球心的連線為軸、半徑不同的圓環(huán)帶組成，應(yīng)用均勻帶電圓環(huán)軸線上的場(chǎng)強(qiáng)公式結(jié)論來(lái)計(jì)算，該法簡(jiǎn)單，也容易接受．

圖1所示為一個(gè)半徑為R的均勻帶電球面，帶電量為q，求解球面上任一點(diǎn)P點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)．可將球面分割成無(wú)限多個(gè)半徑不同的無(wú)限窄的環(huán)帶，在球面上取如圖所示的圓環(huán)帶微元，該環(huán)帶可近似看成是圓環(huán)，其環(huán)面垂直于軸線OP．所有帶電圓環(huán)的場(chǎng)強(qiáng)在P點(diǎn)的疊加形成該點(diǎn)的總場(chǎng)強(qiáng)．其中球面的電荷面密度為

所取環(huán)帶面積

環(huán)帶所帶電量為

將式（1）、式（2）代入式（3）得

根據(jù)帶電圓環(huán)在其軸線上的場(chǎng)強(qiáng)公式的結(jié)論［5］

可得該圓環(huán)帶在球面上P點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)大小為

P點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)方向沿x軸正向，根據(jù)疊加原理，帶電球面上P點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)是所有這些帶電環(huán)帶在該點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)dE的矢量和．因?yàn)楦鱾€(gè)小圓環(huán)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)方向都相同，矢量和變?yōu)榇鷶?shù)和，所以合場(chǎng)強(qiáng)為

根據(jù)圖1中的幾何關(guān)系可知

將式（4）、式（6）、式（7）代入式（5），得

2 用球形電容器的能量變化求解球面場(chǎng)強(qiáng)

利用疊加原理雖然容易理解，但是涉及積分的計(jì)算，計(jì)算量比較大，以下利用球形電容器能量的變化這一模型來(lái)計(jì)算球面上的電場(chǎng)強(qiáng)度大?。O(shè)想將球形電容器的外殼移動(dòng)dR，根據(jù)能量守恒原理，外力克服靜電力所做的功等于球形電容器靜電勢(shì)能的變化，從而求出球形電容器極板所受的靜電場(chǎng)力，進(jìn)而求出極板上的場(chǎng)強(qiáng)．設(shè)球形電容器內(nèi)外球殼的電荷各為＋q和－q（如圖2所示），球殼的內(nèi)外半徑分別為R1和R2，則球形電容器的電容可表示為［6］

由于兩球殼之間的距離d＝R2－R1很小，因此R1≈R2＝R，則上式可化簡(jiǎn)為

電容器中電場(chǎng)儲(chǔ)存的能量為［7］

式（9）代入式（10）得

根據(jù)能量守恒定律，當(dāng)內(nèi)球殼發(fā)生虛位移dR時(shí)，外力克服靜電力F所做的功Fdr轉(zhuǎn)化為電容器所儲(chǔ)存的靜電能，則有

3 結(jié)語(yǔ)

通過(guò)上述兩種方法的計(jì)算，給出了半徑為R均勻帶電量為q的球面上任一點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度的確定值，得出其具體表達(dá)式為，其值恰好等于從帶電面外無(wú)限接近帶電面時(shí)的電場(chǎng)強(qiáng)度與帶電面內(nèi)電場(chǎng)強(qiáng)度為零之和的一半，這也驗(yàn)證了均勻帶電球面的場(chǎng)強(qiáng)是不連續(xù)的，場(chǎng)強(qiáng)在球面處確有一間斷點(diǎn)．在教學(xué)中，可簡(jiǎn)要引入計(jì)算方法，便于加深學(xué)生對(duì)均勻帶電球面產(chǎn)生電場(chǎng)規(guī)律的認(rèn)識(shí)，同時(shí)啟發(fā)學(xué)生的發(fā)散思維，糾正學(xué)生認(rèn)為面上場(chǎng)強(qiáng)為零或?yàn)榈腻e(cuò)誤認(rèn)識(shí)，從而形成面內(nèi)、面上、面外的整體認(rèn)識(shí)．

［1］ 趙凱華，陳熙謀．電磁學(xué)［M］．北京：高等教育出版社，2003：24－25．

［2］ 梁燦彬，秦光戎，梁竹?。姶艑W(xué)［M］．2版．北京：高等教育出版社，2004：21－22．

［3］ 張三慧．大學(xué)基礎(chǔ)物理學(xué)：下冊(cè)［M］．北京：清華大學(xué)出版社，2003：349－350．

［4］ 白俊彪．均勻帶電球面上電場(chǎng)強(qiáng)度的計(jì)算［J］．思茅師范高等?？茖W(xué)校學(xué)報(bào)，2005，21（3）：79－80．

［5］ 吳百詩(shī)．大學(xué)物理：上冊(cè)（第三次修訂本）［M］．西安：西安交通大學(xué)出版社，2008：116．

［6］ 程守洙，江之永．普通物理學(xué)：第2冊(cè)［M］．4版．北京：高等教育出版社，1995：273．

［7］ 劉景世．“均勻帶電球面上的電場(chǎng)強(qiáng)度如何計(jì)算”的再討論［J］．河南教育學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2011，20（4）：32－33．

SOLUTION ABOUT ELECTRIC FIELD INTENSITY ON UNIFORM CHARGED SPHERICAL SURFACE

Cai Lili Zhang Xiaoyan

（Foundation Department，North China Institute of Science and Technology，Langfang，Hebei 065201）

Electric field intensity on uniform charged spherical surface cannot be calculated with the Gauss theorem．Most of the current college physics textbooks only show the distribution of electric field intensity inside and outside spherical surface with the Gauss theorem when the electric filed intensity produced by the uniform charged spherical surface are discussed．But how to calculate the electric field intensity on spherical surface is not provided，except pointing out that the intensity value is discontinuous on the spherical surface．This paper gives the specific numerical of electric field intensity on spherical surface using superposition principle and capacitor energy variety．It is also verified that the electric field intensity on uniform charged spherical surface is discontinuous．With completely two different methods，we obtain the exactly identical results，which makes the results solved by Gauss theorem on the spatial distribution of electric field intensity produced by uniform charged spherical surface more complete．

uniform charged spherical surface；Gauss theorem；electric field intensity；super－position principle；capacitor energy

2014－07－04

蔡莉莉，女，講師，主要從事大學(xué)物理教學(xué)工作，研究方向?yàn)榘雽?dǎo)體物理．lily2004c＠163．com